《高中数学第三章.3导数的几何意义学案含解析新人教A版选修6.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学第三章.3导数的几何意义学案含解析新人教A版选修6.pdf（13页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 31.3 导数的几何意义 导数的几何意义 提出问题 如图，Pn的坐标为 (xn，f(xn)(n 1,2,3，4， )，P的坐标为 (x0，y0)，直线PT为在点P 处的切线 问题 1：割线PPn的斜率kn是什么？ 提示：割线PPn的斜率kn yn xn fxnfx0 xnx0 . 问题 2：当点Pn趋近于点P时，割线PPn与在点P处的切线PT有什么关系？ 提示：当点Pn趋近于点P时，割线PPn趋近于在点P处的切线PT. 问题 3：当Pn无限趋近于点P时，kn与切线PT的斜率k有什么关系？ 提示：kn无限趋近于切线PT的斜率k. 问题 4：如何求得过点
2、P的切线PT的斜率？ 提示：函数f(x)在xx0处的导数就是切线PT的斜率k， 即k lim x0 fx0xfx0 x f(x0) 导入新知 导数的几何意义 函 数f(x) 在xx0处 的 导 数 就 是 切 线PT的 斜 率k， 即kf (x0) lim x0 fx0xfx0 x . 化解疑难 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 曲线yf(x)在点P处的切线的斜率， 即函数yf(x)在点P处的导数， 反映了曲线在点P 处的变化率 . 导函数 提出问题 已知函数f(x)x22. 问题 1：如何求f(x0)? 提示：f (x0) lim x 0 x0x 22 x202 x lim x0 (
3、2x0x) 2x0. 问题 2：若x0是一变量x，f(x)是常量吗？ 提示：f (x) 2x，说明f(x)不是常量，而是关于x的函数 导入新知 导函数的定义 对于函数yf(x)，当xx0时，f(x0) 是一个确定的数，当x变化时，f(x) 便是一个 关于x的函数，我们称它为函数yf(x)的导函数 (简称为导数 )，即f(x)y lim x 0 fxxfx x . 化解疑难 函数yf(x)“在点x0处的导数”“导函数”“导数”之间的区别与联系 (1)函数在点x0处的导数，就是在该点的函数改变量与自变量改变量的比的极限，它是 一个数值，不是变数 (2)导函数也简称导数，所以 “导数” f(x)在一
4、点x0处的导数 (特殊 )导函数 (一般 ) (3)函数yf(x)在点x0处的导数f(x0)就是导函数f (x)在点xx0处的函数值 曲线的切线方程 例 1 若函数f(x)x 1 x，求它与 x轴交点处的切线方程 解 由f(x)x 1 x0，得 x 1， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 即与x轴的交点坐标为(1,0)，(1,0) f(x) lim x0 xx 1 xx x 1 x x lim x0 1 1 xxx 1 1 x2， 切线的斜率k1 1 12. 切线的方程为y 2(x1)或y2(x 1)， 即 2xy2 0或 2xy20. 类题通法 求曲线在点P(x0，y0)处的切线方程
5、的步骤 (1)求出函数yf(x)在x0处的导数f(x0)，得到切线的斜率kf(x0) (2)根据直线的点斜式方程，得到切线方程yy0f(x0)(xx0) 活学活用 已知曲线y3x2，求过点A(1,3)的曲线的切线方程 解: y x 31x 2312 x 63x， y|x1 lim x 0 (63x)6. 曲线在点A(1,3)处的切线斜率为6. 所求的切线方程为y36(x1)， 即 6xy3 0. 求切点坐标 例 2 已知抛物线y2x21，问： (1)抛物线上哪一点的切线的倾斜角为45？ (2)抛物线上哪一点的切线平行于直线4xy20? (3)抛物线上哪一点的切线垂直于直线x8y30? 解 设点
6、的坐标为(x0，y0)，则 y2(x0x)21 2x2 014x0x 2(x) 2. y x4x 02x. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 当x无限趋近于零时， y x无限趋近于 4x0， 即f (x0)4x0. (1)抛物线的切线的倾斜角为45， 斜率为 tan 45 1， 即f (x0)4x01，得x0 1 4， 该点为 1 4， 9 8 . (2)抛物线的切线平行于直线4xy20， 斜率为 4， 即f (x0)4x04，得x01，该点为 (1,3) (3)抛物线的切线与直线x8y30 垂直， 斜率为 8，即f(x0)4x08， 得x02，该点为 (2,9) 类题通法 求曲线切点
7、坐标的五个步骤 (1)先设切点坐标 (x0，y0)； (2)求导数f(x)； (3)求切线的斜率f(x0)； (4)由斜率间的关系列出关于x0的方程，求出x0； (5)由于点 (x0，y0)在曲线f(x)上，将 (x0，y0)代入求得y0的值，得切点坐标(x0，y0) 活学活用 已知曲线y2x2a在点P处的切线方程为8xy150，求切点P的坐标和实数a的 值 解：设切点P的坐标为 (x0，y0)，切线斜率为k. 由y lim x0 y x lim x0 2xx 2 a2x2a x lim x0 (4x2x) 4x， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 得ky|xx0 4x0. 根据题意得
8、4x08，x02， 分别代入y2x2a和y8x 15， 得y08a1， 得 a 7， y01. 故所求切点为P(2,1)，a 7. 导数几何意义的综合应用 例 3 设函数f(x)x3ax 2 9x1(a 0)，若曲线yf(x)的斜率最小的切线与直线12x y6 平行，求a的值 解 yf(x0x)f(x0) (x0x)3a(x0x)29(x0x) 1(x30ax 2 09x01) (3x20 2ax0 9)x(3x0a)(x)2(x)3， y x3x 2 02ax09(3x0a)x(x)2. lim x0 y x3x 2 0 2ax0 9， 即f (x0)3x202ax093x0 a 3 29a
9、 2 3. 当x0 a 3时， f (x0)取最小值 9 a 2 3. 斜率最小的切线与12xy 6平行， 该切线斜率为12. 9 a 2 3 12. 解得a 3.又a0，a 3. 类题通法 解决导数几何意义的综合应用问题的关键是对函数进行求导，利用题目所提供的诸如斜 率的值、斜率的最值、斜率的范围等建立方程或不等式求解此处常与函数、不等式等知识 点结合 活学活用 已知抛物线yx2，直线xy20，求抛物线上的点到直线的最短距离 解：根据题意可知与直线xy20 平行的抛物线yx2的切线对应的切点到直线x 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 y2 0的距离最短设切点坐标为(x0，x20)，
10、则y | 0 xx lim x 0 x0x 2 x20 x 2x01， 所以x0 1 2，所以切点坐标为 1 2， 1 4 . 切点到直线xy20 的距离为 d 1 2 1 42 2 72 8 ， 所以抛物线上的点到直线xy20 的最短距离为 72 8 . 7.导数的几何意义理解的误区 典例 已知曲线y2x27，求曲线过点P(3,9)的切线方程 解 y lim x 0 y x lim x0 2xx 27 2x27 x lim x0 (4x2x)4x. 由于 23 27 119， 故点P(3,9)不在曲线上 设所求切线的切点为A(x0，y0)， 则切线的斜率为k 4x0， 故所求的切线方程为yy
11、04x0(xx0) 将P(3,9)及y02x2 0 7代入上式， 得 9(2x207) 4x0(3x0)， 解得x02 或x04， 所以切点为 (2,1)或(4,25) 从而所求切线方程为8xy150 或 16xy390. 易错防范 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1解答本题误认为切线斜率kf(3)因点P(3,9)不在曲线上，从而点P不是切点， 故切线斜率不是在x3 处的导数 2求曲线的切线要注意“过点P的切线”与“在点P处的切线”的差异过点P的切 线，点P不一定是切点，也不一定在曲线上 3如果已知点不在曲线上，求曲线的切线方程，要先设出切点的坐标，再根据导数的 定义求出切点处的导数
12、，最后求出切线的直线方程 成功破障 求经过点 (2,0)且与曲线y 1 x相切的直线方程 解 可以验证点 (2,0)不在曲线上，设切点为P(x0，y0)由y| xx0 lim x0 1 x0x 1 x0 x lim x0 x xx0xx0 lim x0 1 x0x0x 1 x20， 故所求直线方程为yy0 1 x20(xx 0)， 由点 (2,0)在所求的直线上， 得x20y02x0， 再由P(x0，y0)在曲线y 1 x上， 得x0y01， 联立可解得：x01，y01， 所以直线方程为xy20. 随堂即时演练 1设f(x0)0，则曲线yf(x)在点 (x0，f(x0)处的切线 ( ) A不存
13、在B与x轴平行或重合 C与x轴垂直D与x轴斜交 解析：选 B f(x0) 0，说明曲线yf(x)在点 (x0，f(x0)处的切线斜率为0，所以与x轴 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 平行或重合 2在曲线yx2上切线倾斜角为 4的点是 ( ) A(0,0) B(2,4) C. 1 4， 1 16 D. 1 2， 1 4 解析：选 D yx2， ky lim x 0 y x lim x0 xx 2 x2 x lim x0 (2xx)2x， 2xtan 41， x 1 2，则 y 1 4. 3对于函数f(x)ax4，若f(1)2，则a_. 解析：因为f(x0) lim x0 ax0x4ax
14、04 x a， f(1)2，所以a2. 答案： 2 4设函数yf(x)在xx0处可导，且f(x0) 0，则曲线yf(x)在点 (x0，f(x0)处的切线 的倾斜角的范围是_ 解析：已知f(x0)0，设切线的倾斜角为， 则 tan 0.又0， )， 所以 0， 2 . 答案：0， 2 5在抛物线yx2上求一点P，使在该点处的切线垂直于直线2x6y50. 解：设点P的坐标为 (x0，y0)， 则抛物线yx2在点P处的切线斜率为 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 f(x0) lim x0 x0x 2 x20 x 2x0. 直线 2x6y 50 的斜率为 1 3. 由题设知 2x0 1 3 1
15、， 解得x0 3 2，此时 y0 9 4， 所以点P的坐标为 3 2 ， 9 4 . 课时达标检测 一、选择题 1下列说法正确的是( ) A曲线的切线和曲线有且只有一个交点 B过曲线上的一点作曲线的切线，这点一定是切点 C若f(x0)不存在，则曲线yf(x)在点 (x0，f(x0)处无切线 D若yf(x)在点 (x0，f(x0)处有切线，则f(x0)不一定存在 解析：选 D 曲线的切线和曲线除有一个公共切点外，还可能有其他的公共点，故A、 B 错误；f(x0)不存在，曲线yf(x)在点 (x0，f(x0)的切线的斜率不存在，但切线可能存在， 此时切线方程为xx0，故 C 错误、 D 正确 2y
16、 1 x在点 1 2， 2 处的切线方程是 ( ) Ayx2 Byx 1 2 Cy4x4 Dy 4x2 解析：选 C 先求y 1 x的导数： y 1 xx 1 x x xxx ， y x 1 xxx ， lim x0 y x lim x 0 1 xxx 1 x2，即 y 1 x2， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以y 1 x在点 1 2， 2 处的切线斜率为 ky|x 1 24. 所以切线方程是y 24x 1 2 ， 即y 4x4. 3若曲线yf(x)在点 (x0，f(x0)处的切线方程为3xy50，则 ( ) Af(x0)0 Bf(x0)0 Cf(x)0 Df (x0)不存在
17、解析：选 B 由y 3x5，知f(x0) 30. 4设曲线yax 2 在点 (1，a)处的切线与直线2xy60 平行，则a的值为 ( ) A 1 B. 1 2 C 1 2 D 1 选 A y li m x 0 a1x 2a 12 x li m x 0(2aax)2a. 2a2，a1. 5曲线yf(x)x3在点P处切线的斜率为k，当k3 时点P的坐标为 ( ) A(2， 8) B(1， 1)或(1,1) C(2,8) D. 1 2， 1 8 解析：选 B 设点P的坐标为 (x0，y0)， 则kf(x0)li m x 0 fx0xfx0 x li m x0 x0x 3x3 0 x li m x0(
18、 x)23x203x0x 3x2 0. k3， 3x203， x01 或x0 1， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 y01 或y0 1. 点P的坐标为 (1， 1)或(1,1) 二、填空题 6曲线y 1 x1 在点 A2， 1 2 处的切线的斜率为_ 解析：y 1 2x1 1 2 1 22x 22x x 22x ， y x 1 22x ， 即k lim x0 y x lim x 0 1 22x 1 4. 答案： 1 4 7已知函数yf(x)在点 (2,1)处的切线与直线3xy20 平行，则y|x2_. 解析：因为直线3xy20 的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y|x 2 3. 答
19、案： 3 8如图是函数f(x)及f(x)在点P(2，f(2)处切线的图象，则f(2)f(2)_. 解析：由题图可知切线方程为y 9 8 x 9 2， 所以f(2) 9 4 ，f(2) 9 8 ， 所以f(2)f(2) 9 8. 答案： 9 8 三、解答题 9已知抛物线yx24 与直线yx10.求： (1)它们的交点坐标； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)抛物线在交点处的切线方程 解： (1)由 yx2 4， yx10， 得 x 2， y8 或 x3， y13， 抛物线与直线的交点坐标为(2,8)或(3,13) (2)yx24， y li m x0 xx 24 x2 4 x li
20、 m x 0 x 22xx x li m x 0( x2x)2x. y|x 2 4，y |x36， 即在点 ( 2,8)处的切线斜率为4， 在点 (3,13) 处的切线斜率为6. 在点 ( 2,8)处的切线方程为4xy0； 在点 (3,13) 处的切线方程为6xy 50. 10已知曲线y 1 tx上两点 P(2， 1)，Q1， 1 2 . 求： (1)曲线在点P处、点Q处的切线的斜率； (2)曲线在点P，Q处的切线方程 解：将P(2， 1)代入y 1 tx，得 t1. y 1 1x. y x fxxfx x 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1 1xx 1 1x x x 1xx1xx 1 1xx1x . 当x趋近于 0 时， y x趋近于 1 1x 2. (1)曲线在点P处的切线斜率为 1 12 2 1； 曲线在点Q处的切线斜率为 1 112 1 4. (2)曲线在点P处的切线方程为y( 1)x2，即xy30； 曲线在点Q处的切线方程为y 1 2 1 4x(1)，即 x4y30.