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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.1.1-3.1.2 空间向量的数乘运算 课时作业 A 组基础巩固 1若a与b不共线，且mab，nab，pa，则 ( ) Am，n，p共线Bm与p共线 Cn与p共线Dm，n，p共面 解析：由于 (ab)(ab)2a， 即mn2p，即p 1 2m 1 2n， 又m与n不共线，所以m，n，p共面 答案： D 2已知正方体ABCD-A1B1C1D1中，A1E 1 4A 1C1 ，若AE xAA1 y(AB AD )，则 ( ) Ax1，y 1 2 Bx 1 2， y1 Cx1，y 1 3 Dx 1，y 1 4 解析：AE AA1 A1E AA1 1 4A
2、 1C1 AA1 1 4(AB AD )，所以x1，y 1 4 . 答案： D 3已知空间向量a，b，且AB a2b，BC 5a6b，CD 7a2b，则一定共线的三点是 ( ) AA，B，DBA，B，C CB，C，DDA，C，D 解析：BD BC CD 2a4b2AB ，A，B，D三点共线 答案： A 4已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则在下列各结论中正确的结论共有( ) OA OD 与OB1 OC1 是一对相反向量； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 OB OC 与OA1 OD1 是一对相反向量； OA OB OC OD 与OA1 OB1 OC1 OD1 是一对相反向
3、量； OA1 OA 与OC OC1 是一对相反向量 A1 个B 2个C3 个D4 个 解析：利用图形及向量的运算可知是相等向量，是相反向量 答案： C 5若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有OP 3 4OA 1 8 OB 1 8OC ，则P，A，B，C 四点 ( ) A不共面B共面 C共线D不共线 解析： 3 4 1 8 1 81， P，A，B，C四点共面 答案： B 6在ABC中，已知D是AB边上一点，若AD 2DB ，CD 1 3CA CB ， 则_. 解析：CD CB DB CB 1 3AB CB 1 3(CB CA ) 2 3CB 1 3CA ， 又CD 1 3CA CB ，所以
4、 2 3. 答案： 2 3 7.如图，已知空间四边形ABCD中，AB a2c，CD 5a6b8c，对角 线AC，BD的中点分别为E、F，则EF _(用向量a，b，c表示 ) 解析：设G为BC的中点，连接EG，FG，则EF EG GF 1 2AB 1 2 CD 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1 2(a2c) 1 2(5a 6b8c) 3a 3b5c. 答案： 3a3b5c 8设e1，e2是空间两个不共线的向量，若AB e1ke2，BC 5e14e2， DC e12e2，且A，B，D三点共线，则实数k_. 解析：BC 5e14e2，DC e12e2， BD BC CD 5e14e2e1
5、2e26e16e2. 又AB e1ke2，A，B，D三点共线， 存在实数u，使AB uBD ，即e1ke26ue16ue2， e1，e2不共线， 16u， k6u， k1. 答案： 1 9.如图所示， 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，设AA1 a，AB b，AD c， M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量： (1)AP ；(2)A1N ；(3)MP . 解析： (1)P是C1D1的中点， AP AA1 A1D1 D1P aAD 1 2D 1C1 ac 1 2AB ac 1 2b. (2)N是BC的中点， A1N A1A AB BN ab 1 2B
6、C ab 1 2AD ab 1 2c. (3)M是AA1的中点， MP MA AP 1 2 A1A AP 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1 2 aac 1 2b 1 2a 1 2b c. 10.如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D 上，且BE 1 3BB 1，DF 2 3DD 1. (1)证明：A，E，C1，F四点共面； (2)若EF xAB yAD zAA1 ，求xyz的值 解析： (1)证明：ABCD-A1B1C1D1是平行六面体， AA1 BB1 CC1 DD1 ， BE 1 3AA 1 ，DF 2 3AA 1 ， AC1 AB AD AA
7、1 AB AD 1 3AA 1 2 3AA 1 AB 1 3AA 1 AD 2 3AA 1 AB BE AD DF AE AF ，由向量共面的充分必要条件 知A，E，C1，F四点共面 (2)EF AF AE AD DF (AB BE )AD 2 3DD 1 AB 1 3BB 1 AB AD 1 3AA 1 ，又 EF xAB yAD zAA1 ，x 1，y1，z 1 3， xyz 1 3. B 组能力提升 1若a，b是平面内的两个向量，则( ) A内任一向量p a b(，R) B若存在，R 使 a b0，则 0 C若a，b不共线，则空间任一向量p a b(，R) D若a，b不共线，则内任一向量
8、p a b(，R) 解析：当a与b共线时， A 项不正确；当a与b是相反向量，0 时， a b0，故 B 项不正确；若a与b不共线，则平面内任意向量可以用a，b表示，对空间向量则不一定， 故 C 项不正确， D 项正确 答案： D 2已知向量c，d不共线，设向量akcd，bck2d.若a与b共线， 则实数k的值为 ( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A0 B1 C 1 D2 解析：c，d不共线，c0，且d 0. a与b共线，存在实数，使得a b成立，即kcd(ck2d)， 整理得 (k)c(1 k2)d 0. k0 1 k20 ，解得k 1.故选 C. 答案： C 3在直三棱柱A
9、BC-A1B1C1中，若CA a，CB b，CC1 c，则A1B _. 解析：如图，A1B B1B B1A1 B1B BA CC1 (CA CB ) c(ab)cab. 答案：cab 4如图所示，已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N 分别为OA，BC的中点，点G在线段MN上，且MG 2GN ，若OG xOA yOB zOC ，则x，y，z的值分别为 _ 解析：由题意知OM 1 2OA ，ON 1 2(OB OC )，MN ON OM 1 2(OB OC ) 1 2OA ，又MG 2GN ， MG 2 3MN 1 3OA 1 3OB 1 3 OC ， 故OG OM MG 1 2O
10、A 1 3OA 1 3OB 1 3OC 1 6OA 1 3OB 1 3OC ， x 1 6，y 1 3， z 1 3. 答案： 1 6， 1 3， 1 3 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 5.如图所示，已知四边形ABCD，ABEF都是平行四边形且不共面，M，N 分别是AC、BF的中点，判断CE 与MN 是否共线 解析：M，N分别是AC，BF的中点，且四边形ABCD，ABEF都是平行 四边形， MN MA AF FN 1 2 CA AF 1 2FB . 又MN MC CE EB BN 1 2CA CE AF 1 2FB ， 2MN 1 2 CA AF 1 2 FB 1 2CA CE A
11、F 1 2FB CE ，即CE 2MN . CE 与MN 共线 6.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为BB1和A1D1的中点证明： 向量A1B ，B1C ，EF 是共面向量 证明：法一EF EB BA1 A1F 1 2B 1B A1B 1 2A 1D1 1 2(B 1B BC )A1B 1 2B 1C A1B . 由向量共面的充分必要条件知，A1B ，B1C ，EF 是共面向量 法二 连接A1D、BD， 取A1D中点G， 连接FG、BG， 则有FG綊 1 2DD 1， BE綊 1 2DD 1， FG綊BE. 四边形BEFG为平行四边形 EFBG. EF平面A1BD. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 同理，B1CA1D，B1C平面A1BD， A1B ，B1C ，EF 都与平面A1BD平行， A1B ，B1C ，EF 共面