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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.1.4 空间向量的直角坐标运算 自我小测 1已知A(3,4,5)，B(0,2,1)，O(0,0,0)，若OC 2 5AB ，则C的坐标是 ( ) A. 6 5， 4 5， 8 5 B. 6 5 ， 4 5， 8 5 C. 6 5， 4 5， 8 5 D. 6 5 ， 4 5， 8 5 2已知A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离 |CM | ( ) A. 53 4 B. 53 2 C. 53 2 D. 13 2 3若a(1，2)，b(2， 1,2)，且a与b夹角的余弦值为 8 9，则 ( ) A 2 B
2、2 C 2 或 2 55 D 2 或 2 55 4已知a(2,4,5)，b(3，x，y)，若ab，则 ( ) Ax6，y 15 Bx3，y 15 2 Cx3，y15 D x6，y 15 2 5 若ABC中， C90，A(1,2， 3k)，B(2,1,0)，C(4,0， 2k)， 则k的值为 ( ) A.10 B10 C25 D 10 6正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1 2AB，则异面直线A1B与AD1所成角的余弦值 为( ) A. 1 5 B. 2 5 C. 3 5 D. 4 5 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 7已知点A，B，C的坐标分别为 (0,1,0) ， (1,0
3、， 1)， (2,1,1) ，点P的坐标为 (x,0，z)， 若PA AB ，PA AC ，则P点的坐标为 _ 8已知A，B，C三点的坐标分别是(2， 1,2)，(4,5，1)，(2,2,3)，AP 1 2(AB AC )， 则点P的坐标是 _ 9.已知向量a(2， 1,2)，则与a共线且ax 18 的向量x_. 10 如图所示， 在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，O，O1分别为底面ABCD、 底面A1B1C1D1 的中心，AB 6，AA14，M为B1B的中点，N在C1C上，且C1NNC13. (1)若以O为原点，分别以OA，OB，OO1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐 标系，求
4、图中各点的坐标； (2)若以D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐 标系，求图中各点的坐标 11如图所示，BC2，原点O是BC的中点，点A的坐标为 3 2 ， 1 2，0 ，点 D在平 面yOz内，且BDC90，DCB30. (1)求向量CD 的坐标； (2)求向量AD 与BC 的夹角的余弦值 12正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为4的正方形，A1C1与B1D1交于 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 点N，BC1与B1C交于点M，且AMBN，建立空间直角坐标系 (1)求AA1的长； (2)求BN ，AD1 ； (3)对于n个向
5、量a1，a2，an，如果存在不全为零的n个实数 1，2，n，使得1a1 2a2nan0 成立，则这 n个向量a1，a2，an叫做线性相关，不是线性相关的向 量叫线性无关，判断AM ，BN ，CD 是否线性相关，并说明理由 参考答案 1解析： 设C(a，b，c)，AB (3， 2， 4)， 2 5 (3， 2， 4)(a，b，c)， (a，b，c) 6 5， 4 5 ， 8 5 .故选 A. 答案： A 2解析： 由题意，得M2， 3 2， 3 ，则 CM 2， 1 2，3 ， 所以 |CM | 22 1 2 232 53 2 . 答案： C 3解析：ab246， |a| 5 2，| b| 9.
6、 cosa，b ab |a|b| 6 5 2 9 8 9. 55 2 108 4 0，解得 2 或 2 55 . 答案： C 4解析：ab 2 3 4 x 5 y x6， y 15 2 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： D 5解析：CB (6,1,2k)，CA (3,2， k)， 则CB CA (6)(3)2 2k(k) 2k2200， k10. 答案： D 6解析： 建立如图所示坐标系，由题意设A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,2)，A1(1,0,2) 由AD1 (1,0,2)，A1B (0,1， 2)， cos A1B ，AD1 4 55 4 5.异面直
7、线 A1B与AD1所成角的余弦值为 4 5，故选 D. 答案： D 7解析：PA (x,1，z)， AB (1， 1， 1)，AC (2,0,1)， x1z0， 2xz0， x 1， z2， P(1,0,2) 答案： ( 1,0,2) 8解析： CB (6,3， 4)，设P(a，b，c)， 则(a2，b1，c2) 3， 3 2， 2 ， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 a5，b 1 2 ，c0，P5， 1 2，0 . 答案：5， 1 2，0 9解析： 设x(x，y，z)，又ax 18， 2xy 2z 18， 又ax，x2，y，z2， 由知，x 4，y2，z 4， x(4,2， 4)
8、答案： ( 4,2， 4) 10解： (1)正方形ABCD中，AB6， ACBD62，从而OAOCOBOD32. 各点坐标分别为A(32，0,0)，B(0,32， 0)，C(32， 0,0)，D(0，32，0)，O(0,0,0)， O1(0,0,4)，A1(32，0,4)，B1(0,32，4)，C1(32，0,4)，D1(0， 32， 4)，M(0,32，2)， N( 32，0,3) (2)同理，A(6,0,0)，B(6,6,0) ，C(0,6,0)，D(0,0,0)，A1(6,0,4)，B1(6,6,4)，C1(0,6,4)，D1(0,0,4)， O(3,3,0)，O1(3,3,4)，M(6
9、,6,2)，N(0,6,3) 11解：B(0， 1,0)，C(0,1,0) ，CB (0， 2,0) (1)由题意设D(0，m，n)(m0)， 则BD (0，m 1，n)，CD (0，m1，n) 因为BDC 90，所以BD CD ， 即(m1)(m1)n20. 因为 cosDCB CB CD |CB |CD | 2m1 2m 1 2 n2 3 2 ， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以求解组成的方程组得 m 1 2， n 3 2 或 m 1 2， n 3 2 (舍去 )或 m1， n0 (舍 去)， 所以D0， 1 2， 3 2 ，所以CD 0， 3 2， 3 2 . (2)AD
10、3 2 ， 1， 3 2 ，BC (0,2,0) ， 所以cosAD ，BC AD BC |AD | BC | 2 10 4 2 10 5 ，所以AD 与BC 的夹角的余弦 值为 10 5 . 12解： (1)以D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直 角坐标系 设AA1的长为a，则B(4,4,0) ，N(2,2，a)， BN (2， 2，a)，A(4,0,0)，M2，4， a 2 ，AM 2，4， a 2 ，由BN AM 得BN AM 0，即a22. (2)BN (2， 2,22)，AD1 (4,0,22)， cosBN ，AD1 BN AD1 |BN |AD1 | 6 3 ， BN ，AD1 arccos 6 3 . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (3)由AM (2,4，2)，BN (2， 2,22)，CD (0， 4,0)， 1(2,4，2)2(2， 2,22)3(0， 4,0)(0,0,0)， 得 123 0，则AM ，BN ，CD 线性无关