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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.4 生活中的优化问题举例 第 1 课时变化率问题、导数的概念 核心必知 1预习教材，问题导入 根据以下提纲，预习教材P101P104的内容，回答下列问题 某厂家计划用一种材料生产一种盛500 ml溶液的圆柱形易拉罐 (1)生产这种易拉罐，如何计算材料用的多少呢？ 提示：计算出圆柱的表面积即可 (2)如何制作使用材料才能最省？ 提示：要使用料最省，只需圆柱的表面积最小可设圆柱的底面半径为x，列出圆柱表 面积S2x2 1 000 x (x0)，求S最小时，圆柱的半径、高即可 2归纳总结，核心必记 (1)优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、
2、效率最高等问题， 这些问题通常称为优化问题 (2)解决优化问题的基本思路 问题思考 在实际问题中，如果在定义域内函数只有一个极值点，则函数在该点处取最值吗？ 提示： 根据函数的极值与单调性的关系可以判断，函数在该点处取最值，并且极小值点 对应最小值，极大值点对应最大值 课前反思 (1)生活中的优化问题主要涉及哪些问题？ ； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)解决优化问题的基本思路是什么？ 讲一讲 1某市在市内主干道北京路一侧修建圆形休闲广场如图，圆形广场的圆心为O，半 径为 100 m，并与北京路一边所在直线l相切于点M.点A为上半圆弧上一点，过点A作l的 垂线，垂足为点B.市园
3、林局计划在ABM内进行绿化设ABM的面积为S(单位： m2)， AON(单位：弧度 ) (1)将S表示为的函数； (2)当绿化面积S最大时，试确定点A的位置，并求最大面积 尝试解答 (1)BMAOsin 100sin ， ABMOAOcos 100100cos ，(0， ) 则S 1 2 MBAB 1 2100sin (100 100cos ) 5 000(sin sin cos )，(0， ) (2)S 5 000(2cos 2 cos 1) 5 000(2cos 1)(cos 1)令S 0， 得 cos 1 2 或 cos 1(舍去 )， 此时 3. 当变化时，S，S的变化情况如下表： 积
4、一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以，当 3时， S取得最大值Smax3 7503 m2，此时AB 150 m，即点A到北京路 一边l的距离为150 m. (1)平面图形中的最值问题一般涉及线段、三角形、四边形等图形，主要研究与面积相 关的最值问题，一般将面积用变量表示出来后求导数，求极值，从而求最值 (2)立体几何中的最值问题往往涉及空间图形的表面积、体积，在此基础上解决与实际 相关的问题 解决此类问题必须熟悉简单几何体的表面积与体积公式，如果已知图形是由简 单几何体组合而成，则要分析其组合关系，将图形进行拆分或组合，以便简化求值过程 练一练 1请你设计一个包装盒如图所示，ABCD是
5、边长为60 cm 的正方形硬纸片，切去阴 影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合 于图中的点P，正好形成一个正四棱柱形状的包装盒E、F在AB上，是被切去的一个等 腰直角三角形斜边的两个端点设AEFBx(cm) (1)若广告商要求包装盒的侧面积S(cm2)最大，试问x应取何值？ (2)某厂商要求包装盒的容积V(cm3)最大，试问x应取何值？并求出此时包装盒的高与底 面边长的比值 解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm) 由已知得a2x，h 602x 2 2(30 x)， 0x30. (1)S4ah8x(30x) 8(x 15) 21 800，
6、所以当x15 时，S取得最大值 (2)Va 2h2 2(x330x2)，V 62x(20x) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 由V 0 得x0(舍)或x20. 当x(0，20)时，V 0；当x(20，30)时，V 0. 所以当x20 时，V取得极大值，也是最大值 此时 h a 1 2，即包装盒的高与底面边长的比值为 1 2. 讲一讲 2 为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗，房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层某 幢建筑物要建造可使用20 年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6 万元该建筑物每 年的能源消耗费用C(单位：万元 )与隔热层厚度x(单位： cm)满足关系：C(x) k 3x
7、5(0 x 10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8 万元，设f(x)为隔热层建造费用与20 年的能源 消耗费用之和 (1)求k的值及f(x)的表达式； (2)隔热层修建多厚时，总费用f(x)达到最小，并求最小值 尝试解答 (1)由题设，隔热层厚度为x cm，每年能源消耗费用为C(x) k 3x5， 再由C(0)8，得k40， 因此C(x) 40 3x5. 而建造费用为C1(x)6x. 最后得隔热层建造费用与20 年的能源消耗费用之和为 f(x)20C(x)C1(x)20 40 3x56x 800 3x56x(0 x10) (2)f(x)6 2 400 （ 3x5） 2， 令f (x)0，
8、即 2 400 （3x5）26， 解得x5，x 25 3 (舍去 ) 当 0x0， 故x5 是f(x)的最小值点， 对应的最小值为f(5) 65 800 15570. 所以，当隔热层修建5 cm 厚时，总费用达到最小值70 万元 实际生活中用料最省、费用最低、 损耗最小、 最节省时间等都需要利用导数求解相应函 数的最小值， 此时根据f(x)0 求出极值点 (注意根据实际意义舍去不合适的极值点)后，函 数在该点附近满足左减右增，则此时唯一的极小值就是所求函数的最小值 练一练 2一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为10 km/h 时， 燃料费是每小时6 元，而其他与速度无关
9、的费用是每小时96 元，问此轮船以多大的速度航 行时，能使每千米的费用总和最少？ 解：设燃料费ykv3，因为当v10 时，y 6，k 3 500， y 3 500 v3. 每千米总费用：S1 v 3 500 v396 3 500 v2 96 v ， S 3 250v 96 v2 . 令S 0 得v20， 当v(0，20)时，S0. v20 km/h 是S的极小值点，也是最小值点， v20 km/h 时，每千米的费用总和最少 知识点 3 利润最大问题 讲一讲 3某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200 元，如果生产出一件次 品，则损失100元已知该厂制造电子元件过程中，次品率p与日
10、产量x的函数关系是：p 3x 4x32(xN *) (1)将该厂的日盈利额T(元)表示为日产量x(件)的函数； (2)为获最大盈利，该厂的日产量应定为多少件？ 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 尝试解答 (1)因为次品率p 3x 4x32， 所以当每天生产x件时，有x 3x 4x32件次品， 有x1 3x 4x32 件正品 所以T200x 1 3x 4x32 100x 3x 4x32 25 64xx2 x8 (xN *) (2)T 25 （x32）（x16） （x 8） 2 ， 由T 0，得x16 或x 32(舍去 ) 当 00； 当x16 时，T0， r l 6是其唯一的极值点 当r
11、 l 6时， V取得最大值，最大值为 l 6 3 . 2用边长为48 cm 的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四角各截去一个面积 相等的小正方形，然后把四边折起，就能焊成一个铁盒所做的铁盒容积最大时，在四角截 去的正方形的边长为( ) A 6 cm B8 cm C10 cm D12 cm 解析：选 B 设截去的小正方形的边长为x cm，铁盒的容积V cm3.由题意，得Vx(48 2x)2(00；当x(8，24)时，V20 时f(x)0，故x 20 时，f(x)最小 答案： 20 5甲、乙两地相距400 千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过100 千米 / 时，已知该汽车每小时的运
12、输成本P(元)关于速度v(千米 / 时)的函数是P 1 19 200 v 4 1 160v 3 15v， (1)求全程运输成本Q(元 )关于速度v的函数关系式； (2)为使全程运输成本最少，汽车应以多大的速度行驶？并求此时运输成本的最小值 解： (1)QP 400 v 1 19 200 v 4 1 160v 315v 400 v 1 19 200 v3 1 160v 215 400 v3 48 5 2v 26 000(00， v80 千米 / 时时，全程运输成本取得极小值，即最小值，且QminQ(80) 2 000 3 (元) 题组 3 利润最大问题 6已知某生产厂家的年利润y(单位：万元 )
13、与年产量x(单位：万件 )的函数关系式为y 1 3x 381x234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( ) A 13万件B11 万件C9 万件D7 万件 解析：选 C 因为yx2 81，所以当 (9， )时，y0， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 所以函数y 1 3x 381x234在(9， )上单调递减，在 (0，9)上单调递增，所以x 9时函 数取最大值 7某商场从生产厂家以每件20元购进一批商品，若该商品零售价定为p元，销售量为 Q件，则销售量Q与零售价p有如下关系：Q8 300170pp2.则最大毛利润为(毛利润 销售收入进货支出)( ) A 30 元B 60 元
14、C28 000 元D23 000 元 解析：选 D 设毛利润为L(p)，由题意知 L(p)pQ20QQ(p20) (8 300170pp2)(p20) p3150p211 700p166 000， 所以L(p) 3p 2300p11 700. 令L(p)0，解得p30 或p 130(舍去 ) 此时，L(30) 23 000. 因为在p30 附近的左侧L(p)0，右侧L(p)0)，贷款的利率为0.048 ，假设银行吸收的存款能全部放贷出去若存款利率 为x(x(0，0.048)，为使银行获得最大收益，则存款利率应定为_ 解析：存款利率为x，依题意：存款量是kx2，银行应支付的利息是kx3，贷款的收
15、益是 0.048kx2，x(0，0.048)所以银行的收益是y0.048kx2kx3(00；当 0.0320；x 26 3 ， 11 时，L(x)0.所以当x4 时，y最小 2设底为等边三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( ) A. 3 VB.32VC.34VD23V 解析：选 C 设底面边长为x，高为h， 3 4 x2hV，h 4V 3x2 43V 3x2 . S表2 3 4 x23xh 3 2 x2 43V x ， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 S(x)3x 43V x2 ，令S(x)0 可得3x 43V x2 ，x34V，x 3 4V. 当 0 3 4V
16、时，S(x)0， 当x 3 4V时，S(x)最小 3某厂要围建一个面积为512 m2的矩形堆料场，一边可以利用原有的墙壁，其他三边 要砌新墙，当砌新墙所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为( ) A 32 m，16 m B30 m， 15 m C40 m，20 m D36 m，18 m 解析：选 A 设建堆料场与原墙平行的一边边长为x m，其他两边边长为y m，则xy 512，堆料场的周长lx2y 512 y 2y(y0)，令l 512 y2 2 0，解得y 16(另一负根舍 去)，当 016 时，l0，所以当y16 时，函数取得极小值，也就 是最小值，此时x 512 16 32. 4某公司生
17、产一种产品，固定成本为20 000元，每生产一单位的产品，成本增加100 元，若总收入R与年产量x(0x390)的关系是R(x) x3 900400x(0 x390)，则当总利润 最大时，每年生产的产品单位数是( ) A 150 B200 C250 D300 解析： 选 D 由题意可得总利润P(x) x3 900300 x20 000，0x390，由P(x) x 2 3003000，得 x 300. 当 0x0；当 3000，当h 203 3 时，V0，f(x)是递增的， x 23 3 ，2 时，f(x)0，得1020，函数f(x)在(0， )上单调递增 当a0. 设x1，x2(x10， 所以
18、x(0，x1)时，g(x)0，f(x)0，函数f(x)单调递增， x(x2， )时，g(x)1，即a2 时，函数f(x)在(， 1)上为增函数，在(1，a1)上为减函数，在(a 1， )上为增函数 依题意当x(1，4)时，f(x)0. 故 4a16， 即 5a7. 因此a的取值范围是 5，7 对点训练 2求函数f(x)a 2ln xx2 ax(a0)的单调区间 解：因为f(x)a2ln xx2ax，其中x0， 所以f(x)a 2 x 2xa （xa）（ 2xa） x . 由于a0， 所以f(x)的增区间为 (0，a)，减区间为 (a， ) 3已知函数f(x)x a x b(x0)，其中a，bR
19、，若曲线yf(x)在点P(1，f(1)处的切 线方程为y 3x1. (1)求函数f(x)的解析式； (2)求函数f(x)的单调区间 解： (1)f (x)1 a x2， 由导数的几何意义得f(1) 3， 于是a4， 由切点P(1，f(1)在直线y 3x 1上得 1ab 2，解得b 7. 所以函数f(x)的解析式为f(x)x 4 x7(x0) (2)f(x)1 4 x2 x24 x2 (x0)， 由f (x)0 得x2 或x0，知ax 22ax10 在 R 上恒成立 因此4a 24a 4a(a1)0， 又由a0，得 0g(x)，则构造函数(x)f(x)g(x)，只需证(x)0 即可，由此转化成求
20、 (x)最小值问题，借助于导数解决 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 典例 6 证明x3x2x1sin x(x0，xR) 证明：令f(x)x3x2x1， 则f (x)3x22x 1. 该导函数对应的一元二次方程的判别式4 120 恒成立， 所以f(x)在 R 上是递增的 因为x0， 所以f(x)f(0)1. 而 sin x1， 所以x3x2x1sin x成立 对点训练 6证明不等式ln x 2（x1） x1 ，其中x1. 证明：设f(x)ln x 2（x1） x1 (x1)， 则f (x) 1 x 4 （x1） 2 （x1） 2 x（x1） 2. x1，f(x)0， 即f(x)在(1，
21、 )内为单调递增函数 又f(1) 0， 当x1 时，f(x)f(1)0， 即 ln x 2（x1） x1 0， ln x 2（x 1） x1 . 解决恒成立问题的方法： (1)若关于x的不等式f(x)m在区间D上恒成立，则转化为f(x)maxm. (2)若关于x的不等式f(x)m在区间D上恒成立，则转化为f(x)minm. (3)导数是解决函数f(x)的最大值或最小值问题的有力工具 典例 7 已知函数f(x)xln x. (1)若函数g(x)f(x)ax在区间 e2， )上为增函数，求a的取值范围； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)若对任意x(0， )，f(x) x2mx 3
22、2 恒成立，求实数m的最大值 解： (1)由题意得g (x)f(x)aln xa1. 函数g(x)在区间 e2， )上为增函数， 当xe2， )时，g(x)0， 即 ln xa10 在e2， )上恒成立 a 1ln x. 又当xe2， )时， ln x2， ) 1 ln x(， 3， a 3， 即a的取值范围为3， ) (2)由题知， 2f(x)x2mx3， 即mx 2xln xx23. 又x0， m 2xlnxx23 x . 令h(x) 2xln xx23 x ， h(x) （2xln xx23）x（ 2xln xx23）x x2 （2ln x22x）x（ 2xln xx23） x2 2xx
23、23 x2 ， 令h(x)0. 解得x1，或x 3(舍) 当x(0，1)时，h (x)0，函数h(x)在 (1， )上单调递增 h(x)minh(1)4， 即m的最大值为4. 对点训练 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 7已知函数f(x)x3 1 2x 2 bxc. (1)若f(x)有极值，求b的取值范围； (2)若f(x)在x1 处取得极值，当x1，2时，则f(x)0 得 112b0，解得b0.解得c2 或c0，当x()2，2 时，f(x)1，所以kx2x5 在(1， )上恒成立， 令g(x)x2x 5，由二次函数的性质得g(x)在(1， )上是增函数， 所以g(x)g(1) 3，
24、所以所求k的取值范围是为(， 3 法二：直线yk(x1)过定点 (1，0)且f(1)0， 曲线f(x)在点 (1，0)处切线斜率f(1) 3， 由(2)中草图知要使x(1， )时，f(x)k(x1)恒成立需k 3.故实数k的取值范围 为(， 3 对点训练 8设函数f(x) x2 2 kln x，k0. (1)求f(x)的单调区间和极值； 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)证明若f(x)有零点，则f(x)在区间 (1，e)上仅有一个零点 解： (1)f(x)的定义域为 (0， )， f(x)x k x x2k x . 因为k0， 所以令f(x)0 得xk， 列表如下： 减区间为 (
25、0，k)，增区间为 (k， ) 当xk时，取得极小值f(k) kkln k 2 . (2)当k1，即 00， 所以f(x)在区间 (1，e)上没有零点 当 10， f()e ek 2 0，f()k kkln k 2 k（1ln k） 2 0，此时函数没有零点 当ke，即ke 时，f(x)在()1，e 上单调递减，f(1) 1 20， f(e) ek 2 0，函数为增函数； 当y 2 3，2 时， S0，f(x)在区间 (64，640)内为增函数 所以f(x)在x64 处取得最小值， 此时nm x 1 640 64 19. 故需新建 9 个桥墩才能使y最小 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整
26、理 时间： 120分钟满分： 150分 一、选择题 (本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的) 1已知f(x) ln x x2 ，则f(e) ( ) A. 1 e 3 B. 1 e 2 C 1 e 2 D 1 e 3 解析：选 D f(x) x2 x 2xlnx x4 12ln x x3 ， f(e) 12ln e e 3 1 e 3. 2若函数f(x) 1 3 x3f(1)x2x，则f(1)的值为 ( ) A 0 B2 C 1 D 1 解析：选 A f(x) 1 3x 3 f(1)x 2 x， f(x)x2 2f(1)x1， f(1)
27、 12f(1)1， f(1) 0. 3曲线y x x2在点 ( 1， 1)处的切线方程为 ( ) Ay2x1 By 2x1 Cy 2x3 D y 2x2 解析：选 A y x（x2）x（x2） （x2） 2 2 （x2） 2， ky| x 1 2 （ 12）22， 切线方程为：y12(x1)， 即y 2x1. 4已知对任意实数x，有f(x)f(x)，g(x)g(x)且x0 时，f(x)0，g (x)0， 则x0，g(x)0 Bf(x)0，g(x)0 Df(x)0 时单调递增，所以x0; g(x)为偶 函数且x0 时单调递增，所以x0，f(x)ln x12ax，由于函数f(x)有两个极值点，则f
28、 (x) 0 有两个不等的正根，即函数yln x1 与y2ax的图象有两个不同的交点(x0)，则 a0.设函数yln x 1上任一点 (x0，1ln x0)处的切线为l，则kly 1 x0，当 l过坐标原点 时， 1 x0 1ln x0 x0 ?x01，令 2a1?a 1 2，结合图象知 0f(x)，则当ab时，下列不等式成立的是( ) Aeaf(a)e bf(b) Be bf(a )e af(b) Ce bf (b)eaf(a) D e af(b)ebf(a ) 解析：选 D f（x） e x e xf（ x） exf（x） （ e x）2 e xf（ x）f（x） （ex） 2 b， 积一
29、时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 f（a） e a ebf(a) 11设函数f(x)是奇函数f(x)(xR)的导函数，f(1)0，当x0 时，xf(x)f(x)0 成立的x的取值范围是 ( ) A(， 1)(0， 1) B(1， 0) (1， ) C(， 1)(1， 0) D (0， 1)(1， ) 解析：选 A 当x0 时，令F(x) f（x） x ，则F(x) xf（x）f（x） x2 0 时，F(x) f（x） x 为减函数 f(x)为奇函数，且由f(1) 0，得f(1)0，故F(1)0. 在区间 (0，1)上，F(x)0；在 (1， )上，F(x)0；当x1 时，f(x)0； 当x
30、(1，0)时，f(x)0 的解集为 (， 1)(0，1) 12若定义在R 上的函数f(x)满足f(0) 1，其导函数f(x)满足f(x)k1，则下列 结论中一定错误的是( ) Af 1 k 1 k1 Cf 1 k1 k k1 解析：选 C 构造函数F(x)f(x)kx， 则F(x)f(x)k0， 函数F(x)在 R 上为单调递增函数 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1 k10， F 1 k1 F(0) F(0)f(0) 1，f 1 k1 k k11， 即f 1 k 1 k k11 1 k1， f 1 k1 1 k1 ，故 C 错误 二、填空题 (本大题共4小题，每小题5 分，共 20
31、分，把答案填在题中横线上) 13若曲线yax 2 ln x 在点 (1，a)处的切线平行于x轴，则a_ 解析：由曲线在点(1，a)处的切线平行于x轴得切线的斜率为0，由y 2ax 1 x及导数 的几何意义得y|x12a10，解得a 1 2. 答案： 1 2 14函数yxe x 在其极值点处的切线方程为_ 解析：由题知y e x xe x，令 y 0，解得x 1， 代入函数解析式可得极值点的坐标为 1， 1 e ， 又极值点处的切线为平行于x轴的直线，故切线方程为y 1 e. 答案：y 1 e 15 已知a0) (1)求f(x)的最小值； (2)若曲线yf(x)在点 (1，f(1)处的切线方程为
32、y 3 2 x，求a，b的值 解： (1)法一：由题设和均值不等式可知， f(x)ax 1 ax b2b， 当且仅当ax 1等号成立， 即当x 1 a 时，f(x)取最小值为2b. 法二：f(x)的导数f(x)a 1 ax 2 a2x21 ax 2 ， 当x 1 a时， f(x)0，f(x)在 1 a ，上单调递增； 当 00，即 (x22)e x0， 注意到 e x0，所以 x220，解得20，因此 x2 (a2)xa0 在(1， 1)上恒成立，也就是a x2 2x x 1 x1 1 x1在(1， 1)上恒成立 设yx1 1 x1，则 y 1 1 （x1）20，即 yx1 1 x1在(1，1
33、)上单调递增， 则y0 时，f(x)2aaln 2 a. 解： (1)f(x)的定义域为 (0， )， f(x)2e 2xa x. 当a 0时，f(x)0，f(x)没有零点； 当a0 时，设u(x)e 2x， v(x) a x， 因为u(x)e2x在 (0， )上单调递增，v(x) a x在(0， )上单调递增， 所以f(x)在(0， )上单调递增 又f (a)0，当b满足 00 时，f(x)存在唯一零点 (2)证明：由 (1)，可设f(x)在(0， )上的唯一零点为x0，当x(0，x0)时，f(x)0. 故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0， )上单调递增， 所以当xx0时，f(x)
34、取得最小值，最小值为f(x0) 由于 2e2x0 a x00， 所以f(x0) a 2x02ax 0aln 2 a2a aln 2 a. 故当a0 时，f(x)2aaln 2 a . 20已知函数f(x) ln x x . (1)判断函数f(x)的单调性； (2)若yxf(x)1 x的图象总在直线 ya的上方，求实数a的取值范围 解： (1)f (x) 1ln x x2 . 当 00，f(x)为增函数； 当xe 时，f(x)0 恒成立 令g(x)ln x 1 x， 则g(x) 1 x 1 x2 1 x 1 1 x . 当x(1， )时，g(x) 1 x 1 1 x 0，则g(x)是(1， )上
35、的增函数； 当x(0，1)时，g(x)0)， 当a 0时，f(x)0，f(x)在 (0， )上是增函数， f(x)不存在最小值； 当a a时，f (x)0. xa时，f(x)取得最小值， f(a)ln(a)12，解得a e. (2)g(x)ln xx2， 故g(x)ln xx2在(0，e上恒成立 设h(x)ln xx2，则h(x) 1 x2x 12x2 x ， 由h(x)0 及 00，当 2 2 0(0g(0) 0，x(0，1)， 即当x(0，1)时，f(x)2x x3 3 . (3)由(2)知，当k 2时，f(x)k x x3 3 对x(0，1)恒成立 当k2 时，令h(x)f(x)k x
36、x3 3 ， 则h(x)f (x)k(1x2) kx4k2 1x2 . 所以当 02 时，f(x) k x x3 3 并非对x(0， 1)恒成立 综上可知，k的最大值为2. 模块综合检测 时间： 120分钟满分： 150分 一、选择题 (本大题共12 小题，每小题5 分，共60 分，在每小题给出的四个选项中只 有一项是符合题目要求的) 1设a，b是向量，命题“若ab，则 |a| |b| ”的逆命题是( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 A若ab，则 |a| |b| B若ab，则 |a| |b| C若 |a| |b| ，则ab D若 |a| |b| ，则ab 解析：选 D 命题若p则
37、q的逆命题为若q则p，故选 D. 2.下列命题中的假命题是( ) A?xR，2x 10 B?xN *，(x 1)20 C?xR，lg x1 D ?xR, tan x2 解析：选 B 当x1N *时， x10，不满足 (x1)20， B 为假命题 3已知条件p：x 1，条件q： 1 x1，则綈 q是p的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选 A q：x0 或x1，綈q：0x1，由集合法判断知綈q是p的充分不 必要条件，故选A. 4双曲线 x2 m212 y2 4m21 的焦距是 ( ) A 4 B22 C8 D与m有关 解析：选 C 依题意，a
38、2 m212，b24m2，所以ca 2 b2164.所以焦距2c 8. 5设f(x)10xlg x，则f(1)等于 ( ) A 10 B10ln 10lg e C. 10 ln 10ln 10 D 11ln 10 解析：选 B f(x)10xln 10 1 xln 10， 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 f(1) 10ln 10lg e，故选 B. 6抛物线y212x的准线与双曲线 x2 9 y2 3 1 的两条渐近线所围成的三角形面积等于 ( ) A 33 B23 C2 D.3 解析：选A 抛物线y212x的准线为x 3，双曲线的渐近线为y 3 3 x，则准线 与渐近线交点为(3，
39、3)、(3，3)所围成三角形面积S 1 23 2 333. 7若命题“ ?xR，使x2(a1)x 10”是假命题，则实数a的取值范围为( ) A 1a3 B 1a3 C 3a3 D 1a1 解析：选 B 根据题意可得 ?xR，都有x2(a1)x10， (a 1) 24 0. 1a3. 8对于命题p：双曲线 x2 4 y 2 m21(m 0)的离心率为2；命题q：椭圆 x2 m2 y21(m0) 的离心率为 3 2 ，则p是q的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分也不必要条件 解析：选A 双曲线 x2 4 y2 m 21(m0)的离心率为2 时可得m 2；椭圆 x2
40、 m 2y 21(m 0)的离心率为 3 2 时，可得m 2或m 1 2.所以 p是q的充分不必要条件 9若a0，b0，且函数f(x)4x3ax 22bx2在 x 1处有极值，则ab的最大值等 于( ) A 2 B 3 C6 D9 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 解析：选 D f(x) 12x2 2ax2b， 4a 296b0，又 x1是极值点， f(1) 122a2b0，即ab6， ab （ab） 2 4 9， 当且仅当ab时“”成立， ab的最大值为9，故选 D. 10设函数f(x) 1 3xln x(x0)，则yf(x)( ) A在区间 1 e，1 ，(1，e)内均有零点 B在
41、区间 1 e，1 ，(1，e)内均无零点 C在区间 1 e，1 内无零点，在区间 (1，e)内有零点 D在区间 1 e ，1 内有零点，在区间(1，e)内无零点 解析： 选 C 由题意得f (x) x 3 3x ，令f(x)0 得x3；令f(x)0 得 0x3；f (x) 0得x 3，故知函数f(x)在区间 (0，3)上为减函数，在区间(3， )上为增函数，在点x 3 处有极小值1ln 30；又f(1) 1 30， f(e) e 310， f 1 e 1 3e 1 0.故选 C. 11过点P(0，3)的直线与双曲线 x2 4 y 2 3 1 只有一个公共点，则这样的直线有( ) A 1条B 2
42、条 C3 条D 4条 解析：选 D 数形结合 直线与双曲线只有一个公共点，有两个可能：一是直线恰与双 曲线相切，二是直线与双曲线的渐近线平行根据图形的对称性共有4 条 12已知a为常数，函数f(x)x(ln xax)有两个极值点x1，x2(x1x2)，则 ( ) Af(x1)0，f(x2) 1 2 Bf(x1) 0，f(x2) 1 2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 Cf(x1) 0，f(x2) 1 2 Df(x1)0，f(x2) 1 2 解析：选 D 函数f(x)x(ln xax)有两个极值点x1，x2(x1x2)，则f(x) ln x2ax1 有两个零点， 即方程 ln x2ax1 有两个根， 由数形结合易知0a 1 2且 0x 11x2，因为 在(