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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.1.2 指数函数 5 分钟训练 1.下列关于自变量x 的函数中 ,是指数函数的是( ) A.y=(a+1) x(a-1 且 a 0) B.y=(-3)x C.y=-(-3) x D.y=3 x+1 答案： A 解析： a -1 且 a0,a+1 0且 a+11,y=(a+1) x(a -1 且 a0)为指数函数 . 2.函数 y=a|x|(a1)的图象是 ( ) 答案： B 解析： 函数 f(|x|) 是偶函数 ,应先画出x0 时 f(x)的图象 ,然后沿 y轴翻折过去 ,得到 x 0时函 数的图象 .当 x0 时,y=a|x|=ax的图象过 (
2、0,1)点,在第一象限 ,图象下凸 ,是增函数 ,故选 B. 3.已知 f（x）=3-ax+1的图象恒过定点P，则点 P 的坐标为 ( ) A.（ 0，3）B.（ -1， 2） C.（-1，3）D.（3，-1） 答案： B 解析： 由 y=ax的图象恒过 (0，1)点，可知当本题中的x+1=0 即 x=-1 时，y=2,与 a 的取值无关 . 由 x=-1 时， y=3-a0=2 得定点 P(-1，2)，故选 B. 4.函数 y=2x的图象与函数y=0.5x的图象关于 _对称 ; 函数 y=2 x 的图象与函数y=-2 x 的图象关于 _对称 . 答案： y轴x 轴 10 分钟训练 1.已知镭
3、经过100年剩留原来质量的95.76%，设质量为1 的镭经过x 年后剩余量为y，则 x、 y 之间的函数关系式是( ) A.y=0.957 6xB.y=0.957 6 x-1 C.y= 100 9576.0 x D.y= x 100 9576.0 答案： C 解析： 依题意有 :100 年后质量为1的镭剩余量y1=195.76%，200年后质量为1 的镭剩余量 为 y2=195.76% 95.76%， x 年后， y= 100 9576.0 x ，故选 C. 2.函数 f(x)=a x-b 的图象如图所示,其中 a、b 为常数 ,则下列结论正确的是( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整
4、理 A.a1,b0 B.a1,b0 C.0a1,b0 D.0a1,b 0 答案： D 解析： 由题图可知 ,函数 f(x)=a x-b 是单调递减的 ,0a1.又由于函数图象与y 轴的交点在点 (0,1)的下方 ,即函数 f(x)=a x-b 的图象是由函数f(x)=a x 的图象向左平移得到的, -b 0,即 b 0. 3.函数 y= x 31的定义域是 ( ) A. 0,+) B.(- ,0 C.1,+) D.(- ,+) 答案： B 解析： 要使函数有意义,必须 1-3x 0,即 3 x1,3x 30, x0,函数的定义域是(-,0. 4.（2007 山东日照实验高中函数过关测试,12）
5、下列说法不正确的是( ) A.函数 y= 2 xx aa (a0,a 1)是奇函数 B.函数 f(x)= 1 )1( x x a xa (a0,a1)是偶函数 C.若 f(x)=3 x,则 f(x+y)=f(x)f(y) D.若 f(x)=a x(a0,a1),且 x 1x2,则 2 1 f(x1)+f(x2) f( 2 21 xx ) 答案： D 解析： 由函数的凹凸性可知D 不成立 . 5.已知函数y=a 2x+2ax-1(a0,a1)在区间 -1,1上的最大值是 14,则 a的值为 _. 答案： 3 或 3 1 解析： y=a2x+2a x-1=(ax+1)2-2, 函数 y=a2x+2
6、a x-1 在 -1,1上的最大值是 14, (a x+1)2 的最大值为16. 当 a1,x=1 时,(a+1)2=16,得 a=3; 当 0a1,x=-1 时,( a 1 +1) 2=16,得 a= 3 1 . 6.求下列函数的单调区间和值域. (1)y= xx 2 3; 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 (2)y=a2x-2a x-1(a0,a1). 解： (1)设 y=3 u,u=-x2-x. 则 y随 u 的增大而增大,随 u 的减小而减小,u的增区间即是y 的增区间 ,u的减区间即为y的减 区间 . u=-x 2-x=-(x+ 2 1 )2+ 4 1 在(-, 2 1 上递
7、增 ,在( 2 1 ,+)上递减 . y= xx2 3的增区间为 (- , 2 1 ,减区间为 ( 2 1 ,+). u=-x 2-x 4 1 , 0y= xx2 3 4 1 3, 即函数 y= xx 2 3的值域为 (0, 4 3. (2)y=(ax-1)2-2(a0,a1),设 u=a x. y=(u-1) 2-2 在 u 1,+)时是关于 u 的增函数 ,在 u(-,1)时是关于u 的减函数 , 当 a x1 时,原函数的单调性与 u=ax的单调性相同;当 a x1 时,原函数的单调性与 u=ax的单 调性相反 . 若 a1,ax1x0,a x1 x0, 在 0,+)上,函数 y=a2x
8、-2ax-1 是增函数 ;在(-,0)上,函数 y=a2x-2ax-1 是减函数 . ax0, 函数值域是-2,+). 30 分钟训练 1.已知 2 1 （ 2 1 ） b（ 2 1 ） a1，则 ( ) A.ab1 B.0ba1 C.ba 1 D.0ab1 答案： D 解析： 不等式 2 1 ( 2 1 )b( 2 1 )a 1 即为 2 1 ( 2 1 )b( 2 1 )a( 2 1 )0，根据指数函数的单调性即 可得指数a、b、 0、1 的大小关系 .根据指数函数y=( 2 1 )x在 R 上是减函数，得0ab1.选 D. 2.若函数 y=ax-（b+1） （a 0，a1）的图象在第一、
9、三、四象限，则有( ) A.a1 且 b1 B.a1 且 b0 C.0a1 且 b 0 D.0 a1 且 b0 答案： B 解析： 指数函数 y=ax的图象如图所示.由图象可以看出a1，-(b+1)-1(向下平移一个单位)， 即 b0. 故选 B. 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.函数 y= | x xa x (0 a1)的图象的大致形状是( ) 答案： D 解析： y= .0, ,0, xa xa x x 4.一种单细胞生物以一分为二的方式进行繁殖,每三分钟分裂一次,假设将一个这种细胞放在 一个盛有营养液的容器中,恰好一小时这种细胞充满容器,假设开始将两个细胞放入容器,同 样充
10、满容器时间是( ) A.27 分钟B.30 分钟C.45 分钟D.57 分钟 答案： D 解析： 设要经过时间为x,由 2 3 2 x =2 20,得 x=57. 5.若函数 f(x)= 1,2) 2 4( , 1, xx a xa x 是 R 上的单调递增函数,则实数 a 的取值范围是 ( ) A.(1,+) B.(1,8) C.(4,8) D. 4,8) 答案： D 解析： 由 f(x)在 R 上是单调递增函数知a1,4- 2 a 0,a 14- 2 a +2 同时成立 ,解不等式组得a 4,8). 6.(探究题 )指数函数 f(x)=m x,g(x)=nx满足不等式 0mn1,则它们的图
11、象是( ) 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 答案： C 解析： 令 x=1,对应的函数值分别为m 和 n,由 0mn1,可知应选C. 7.若 x1、 x2为方程 2x= 1 1 ) 2 1 ( x 的两个实数解 ,则 x1+x2=_. 答案： -1 解析： 由题意得2 x= 1 1 2 x ,即 x=1 1 x ,化简得 x2+x-1=0. 由韦达定理可知x1+x2=-1. 8.已知集合An=x|2 n x2n+1 ,且 x=7m+1,m 、 nN *,则 A6 中各元素之和为_. 答案： 891 解析： 当 n=6 时,64x 128,A6中的各元素为 :71,78,85,92,9
12、9,106,113,120,127,其和为 891. 9.(创新题 )已知 f(x)=x( 12 1 x + 2 1 ). (1)求函数的定义域; (2)判断函数f(x)的奇偶性 ; (3)求证 :f(x)0. 答案： (1)解： 由 2 x-1 0,得 x0, 函数定义域为x|x R,且 x0. (2)解： 在定义域内任取x,则-x 在定义域内 ,则有 f(-x)=xx x x x ) 2 1 21 2 ()( 2 1 12 1 ( =xx x x x x ? ) 12(2 12 )21 (2 21 , 而 f(x)=xx x x x ? )12(2 12 ) 2 1 12 1 (, f(-
13、x)=f(x). 函数 f(x)为偶函数 . (3)证明： 当 x0 时,由指数函数的性质知0 2 x 1,-12x-10. 12 1 x -1. 2 1 2 1 12 1 x . 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 又 x0,f(x)=( 12 1 x + 2 1 )x0. 由 f(x)为偶函数 ,当 x0 时,f(x)0. 总之 ,xR 且 x 0时 ,函数 f(x)0. 10.设函数 f（x）是定义在R 上的增函数，且f（x） 0，对于任意x1、x2R，都有 f（ x1+x2） =f （ x1） f（x2）. （1）求证： f（x1-x2）= )( )( 2 1 xf xf ； （2）若 f（1）=2，解不等式f（ 3x）4f（ x）. 答案： (1)证明： f(x1)=f(x1-x2+x2)=f(x 1-x2)f(x2)， 又 f(x)0， f(x1-x2)= )( )( 2 1 xf xf . (2)解： f(1)=2， 2f(x)=f(1) f(x)=f(1+x) ， 4f(x)=22f(x)=f(1) f(1+x)=f(2+x). 那么 f(3x)4f(x) 可化为 f(3x)f(2+x) ， 又因为函数f(x)是定义在R 上的增函数， 由 f(3x)f(2+x) 得 3x2+x ，即 x1.故不等式f(3x)4f(x) 的解集是 x|x1.