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1、 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 3.2 简单的三角恒等变换 问题导学 一、求值问题 活动与探究1 已知 sin 8 17且 3 2，求sin 2，cos 2，tan 2的值 迁移与应用 若 4， 2 ，sin 2 37 8 ，则 sin ( ) A 3 5 B 4 5 C 7 4 D 3 4 1解给值求值问题，其关键是找岀已知式与所求式之间的角、运算及函数的差异，一 般可以适当变换已知式或变换所求式 2给值求值的重要思想是建立已知式与所求式之间的联系，应注意“配角”方法的应 用 二、三角函数式的化简 活动与探究2 已知 3 2 ，化简： 1sin 1cos 1cos 1sin 1c
2、os 1cos 迁移与应用 化简 sin 4 4sin 2 4 tan 4 得( ) A sin 2Bcos 2C sin D cos (1)对于三角函数式的化简有下面的要求：能求岀值的应求岀值；使三角函数种数 尽量少； 使三角函数式中的项数尽量少；尽量使分母不含有三角函数；尽量使被开方 数不含三角函数 (2)化简的方法： 弦切互化，异名化同名，异角化同角； 降幂或升幂 三、三角恒等变换的综合应用 活动与探究3 已知函数f(x)cos2 x 2sin x 2cos x 2 1 2 (1)求函数f(x)的最小正周期和值域； (2)若f() 32 10 ，求 sin 2的值 迁移与应用 积一时之跬
3、步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 已知函数f(x)4cos xsinx 6 1 (1)求f(x)的最小正周期； (2)求f(x)在区间 6 ， 4 上的最大值和最小值 解决关于三角函数的综合应用题，首先运用三角恒等变换将函数化成一个角的三角函数 式，而后结合三角函数的图象与性质进一步求周期、最值、单调性、奇偶性、对称性或图象 的平移、 伸缩变换等 解决此类问题的关键在于灵活地选取公式进行三角变换，化成一个角 的三角函数 当堂检测 1已知 cos 1 5， 5 2 3，那么 sin 2 ( ) A 10 5 B 10 5 C 15 5 D 15 5 2设f(tan x)tan 2x，则f(2)(
4、) A 4 5 B 4 3 C 2 3 D4 3已知 2 ， ，且 cos 3 5，则 tan 2等于 ( ) A 2 B 2 C 1 2 D 1 2 4在ABC中，若 cos A 1 3，则 sin 2BC 2 cos 2A等于 _ 5化简： sin 22x 2cos2xcos 2x_ 提示：用最精炼的语言把你当堂掌握的核心知识的精华部分和 基本技能的要领部分写下来并进行识记。 答案： 课前预习导学 【预习导引】 1 1cos 2 1cos 2 1cos 2 1cos 2 1cos 1cos 1cos 1cos 预习交流 1提示：符号由 2所在象限决定 2a2b2 sin a a 2b2co
5、s b a2b2 sin() a a2b2 b a 2 b2 预习交流 2提示：可以由 sin 和 cos 的符号来确定所在象限， 由 sin 或 cos 的值 确定角的大小 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 课堂合作探究 【问题导学】 活动与探究1思路分析：已知条件中的角与所求结论中的角 2成二倍关系，解答本题 可根据半角公式求值 解： sin 8 17 ， 3 2， cos 15 17 又 2 2 3 4， sin 2 1cos 2 1 15 17 2 417 17 ， cos 2 1 cos 2 1 15 17 2 17 17 ， tan 2 sin 2 cos 2 4 迁移与应
6、用D 解析： 由 4， 2 ，得 2 2，cos 2 1sin 22 1 8， sin 1cos 2 2 3 4 活动与探究2思路分析：先用二倍角公式“升幂”，再根据 2的范围开方化简 解：原式 sin 2cos 2 2 2 cos 2 2 sin 2 sin 2cos 2 2 2 cos 2 2 sin 2 ， 3 2 ， 2 2 3 4 ， cos 20， sin 2 0 原式 sin 2cos 2 2 2 sin 2cos 2 sin 2cos 2 2 2 sin 2cos 2 sin 2cos 2 2 sin 2cos 2 2 2cos 2 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 迁
7、移与应用A 解析： 4sin 2 4 tan 4 4cos 2 4 tan 4 4cos 4 sin 4 2sin 222cos 2 ， 原式 sin 4 4sin 2 4 tan 4 sin 4 2cos 2 2sin 2cos 2 2cos 2 sin 2 活动与探究3思路分析： (1)先利用余弦的二倍角公式和辅助角公式将f(x)化成f(x) Asin( x)形式再求解 (2)利用同角间三角函数关系与二倍角正弦公式求值 解： (1)由已知f(x) cos 2x 2sin x 2cos x 2 1 2 1 2 (1cos x) 1 2sin x 1 2 2 2 cosx 4 所以函数f(x)
8、的最小正周期为2，值域为 2 2 ， 2 2 (2)由(1)知，f(x) 2 2 cos 4 32 10 ， cos 4 3 5 cos sin 32 5 ，平方得1sin 2 18 25 sin 2 7 25 迁移与应用解： (1)因为f(x)4cos xsinx 6 1 4cos x 3 2 sin x 1 2cos x 1 3sin 2x2cos 2x1 3sin 2xcos 2x2sin 2x 6 ， 所以f(x)的最小正周期为 (2)因为 6 x 4，所以 62x 6 2 3 于是，当 2x 6 2，即 x 6时， f(x)取得最大值2； 当 2x 6 6，即 x 6时， f(x)取
9、得最小值 1 【当堂检测】 积一时之跬步臻千里之遥程 马鸣风萧萧整理 1D 解析： 5 2 3， 5 4 2 3 2 sin 2 0 由 cos 12sin2 2，得 sin 2 1cos 2 1 1 5 1 2 15 5 2B 解析： 由f(tan x)tan 2x 2tan x 1tan2x，知 f(x) 2x 1x2， f(2) 22 122 4 3 3A 解析： 2， ， 2 4， 2 ， sin 2 1cos 2 25 5 ， cos 2 1cos 2 5 5 tan 2 sin 2 cos 2 2 4 1 9 解析：在ABC中， BC 2 2 A 2， sin 2B C 2 cos 2A sin 2 2 A 2 cos 2Acos2A 2 cos 2A 1cos A 2 2cos 2A1 1 9 52cos 2x 解析： 原式 4sin2xcos 2x2cos2xcos 2x2cos2x(2sin2xcos 2x)2cos2x(2sin2x 12sin 2x)2cos2x