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1、第1页（共 13 页） 绝密启用前 6月 7日 15:00-17:00 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（全国卷） 数学（理工农医类） 总分： 150分 考试时间： 120分钟 祝考试顺利 注意事项： 1、本试卷分第I 卷（选择题）和第II 卷（非选择题）两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、 准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证条形码粘贴在答题卡的指定位置。 2、选择题的作答：选出每小题答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试 题卷、草稿纸、答题卡上的非答题区域均无效。 3、填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试题卷、草稿 纸
2、、答题卡上的非答题区域均无效。 4、考试结束后，将本试卷和答题卡一并上交。 第 I 卷 一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求 的。 1.（2019全国卷理）已知集合 1,0,1,2A， 2 |1Bx x，则ABI（） A. 1,0,1B.0,1C. 1,1 D. 0,1,2 【解析】因为 2 |1 |11Bx xxx，又 1,0,1,2A，所以ABI1,0,1 .故选 A. 【答案】 A 2.（2019全国卷理）若(1i)2iz，则 z（） A.1iB.1iC.1iD.1i 【解析】由(1i)2iz，得 2i2i(1i)2i(1i) i(
3、1i)1i 1i(1i)(1i)2 z.故选 D 【答案】 D 3.（2019 全国卷理）西游记三国演义水浒传和红楼梦是中国古典文学瑰宝， 并称为中国古典小说四大名著某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况，随机调查了100位 学生，其中阅读过西游记或红楼梦的学生共有90位，阅读过红楼梦的学生共有80 位，阅读过西游记且阅读过红楼梦的学生共有 60位，则该校阅读过西游记的学生 人数与该校学生总数比值的估计值为（） A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8 【解析】设调查的100 位学生中阅读过西游记的学生人数为x，则806090x，解得70x， 所以该校阅读过西游记的学生人数与该校总人数的比值的
4、估计值为 70 0.7 100 ，故选 C. 第2页（共 13 页） 【答案】 C 4.（2019全国卷理） 24 (12)(1)xx的展开式中 3 x 的系数为（） A.12B.16C.20D.24 【解析】 24 (12)(1)xx的展开式中 3 x 的系数为 31 44 1C2C12.故选 A. 【答案】 A 5.（ 2019 全国卷理）已知各项均为正数的等比数列 n a的前4项和为15,且 531 34aaa ，则 3 a（） A.16B.8C.4D.2 【解析】设正数的等比数列 n a的公比为q，则 1 23 1111 42 111 15 0 , , , 34 0a aa qa qa
5、 q a qqa q a 解得 1 1, 2, a q 所以 2 31 4aa q故选 C. 【答案】 C 6.（2019全国卷理）已知曲线eln x yaxx 在点 (1, e)a处的切线方程为2yxb，则（） A.ea，1bB.ea，1b C. 1 ea，1bD. 1 ea，1b 【解析】eln1 x yax， 1 |e1 x kya，所以切线方程为e( e1)(1)yaax， 即( e1)1yax.又因为切线方程为2yx b， 所以 e12 1 a b ， ， 即 1 ea，1b.故选 D. 【答案】 D 7.（2019全国卷理）函数 3 2 22 xx x y 在6,6 的图象大致为（
6、） A.B. C.D. 第3页（共 13 页） 【解析】因为 3 2 ( ), 6,6 22 xx x yf xx ，所以 33 2()2 ()( ) 2222 xxxx xx fxfx ，所以( )fx 是 奇函数，排除选项C.当4x时， 3 44 24128 (7,8) 1 22 16 16 y ，排除选项A，D.故选 B. 【答案】 B 8.（ 2019 全 国 卷 理 ） 如 图 ， 点N为 正 方 形ABCD的 中 心 ，ECD为 正 三 角 形 ， 平 面 ECDABCD平面，M是线段ED的中点，则（） A.BMEN，且直线BM，EN是相交直线 B.BMEN，且直线BM，EN是相交
7、直线 C.BMEN，且直线BM，EN是异面直线 D.BMEN，且直线BM，EN是异面直线 【解析】取CD 的中点 O，连接 EO，ON.由ECD是正三角形，平面ECD 平面 ABCD，知 EO平 面 ABCD，所以 EOCD，EOON.又 N 是正方形ABCD 的中心，所以ONCD. 以 CD 的中点 O 为原点， ON uuu r 方向为 x 正方向建立空间直角坐标系，如图所示. 不妨设2AD，则(0,0,3)E，(0,1,0)N， 13 ,0, 22 M，( 1,2,0)B， 所以 22 |1(3)2EN， 2 33 |47 24 BM ， 所以 ENBM . 连接 BD，BE， 因为点
8、N 是正方形ABCD 的中心，所以点N 在 BD 上，且BNDN， 所以 BM， EN 是DBE的中位线， 所以 BM， EN 必相交 .故选 B. 第4页（共 13 页） 【答案】 B 9.（2019全国卷理）执行如图的程序框图，如果输入的为0.01，则输出 s的值等于（） A. 4 1 2 2 B. 5 1 2 2 C. 6 1 2 2 D. 7 1 2 2 【解析】0.01， 1 1,0,011, 2 xssxx不成立； 11 1, 24 sxx不成立； 111 1, 248 sxx不成立； 1111 1, 24816 sxx不成立； 11111 1, 2481632 sxx不成立； 1
9、11111 1, 248163264 sxx不成立； 1111111 1, 248163264128 sxx成立， 此时输出 6 1 2 2 s，故选 C. 【答案】 C 第5页（共 13 页） 10.（2019 全国卷理）双曲线C： 22 1 42 xy 的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为 坐标原点，若| |POPF ，则PFO的面积为（） A. 3 2 4 B. 3 2 2 C. 2 2 D. 3 2 【解析】双曲线 22 1 42 xy 的右焦点坐标为坐标为(6,0) ，一条渐近线的方程为 2 2 yx ，不妨设点 P在第一象限，由于| |POPF ，则点 P的横坐标为 6 2
10、，纵坐标为 263 222 ，即 PFO 的底边 长为6 ，高为 3 2 ，所以它的面积为 1332 6 224 .故选 A. 【答案】 A 11.（2019 全国卷理）设( )f x 是定义域为R的偶函数，且在(0,) 单调递减，则（） A. 23 32 3 1 log22 4 fffB. 23 32 3 1 log22 4 fff C. 23 32 3 1 22log 4 fffD. 23 32 3 1 22log 4 fff 【解析】因为( )f x 是定义域为R 的偶函数，所以 333 1 log(log 4)(log 4) 4 fff， 又因为 23 32 3 (log 4)1220
11、f，且函数( )f x 在 (0,) 上单调递增减， 所以 23 32 3 1 22log 4 fff ，故选 C. 【答案】 C 12.（ 2019 全国卷理）设函数 sin(0) 5 ( )xf x，已知( )f x 在 0,2 有且仅有5个零 点，下述四个结论：( )f x 在 (0,2 ) 有且仅有3个极大值点；( )f x 在 (0,2 ) 有且仅有2个极 小值点；( )f x 在 0, 10 单调递增；的取值范围是 12 29 , 510 其中所有正确结论的编号是 （） A.B.C.D. 第6页（共 13 页） 【解析】已知 sin(0) 5 ( )xf x在 0,2 上有且仅有5
12、个零点，如图， 其图像的右端点的横坐标在区间 , )a b 上，此时( )f x 在 (0,2 ) 上 有且仅有3 个极大值点，( )f x 在 (0,2 ) 上可能有2 或 3 个极小值点，所以正确，不正确；当 0,2 x时， ,2 555 x ，由( )f x 在 0,2 上有且仅有 5个零点可得 5 2 56 ，解 得的取值范围是 12 29 , 510 ，所以正确；当 0, 10 x时， 49 551051002 x，所以 ( )f x 在 0, 10 单调递增，所以正确.故选 D. 【答案】 D 第卷 二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分。 13. （ 2019 全 国 卷 理
13、） 已 知 a ，b为 单 位 向 量 ， 且0a b， 若25cab ， 则 cos,a c 【解析】由题意得 2 2 (25 )2|522 cos, 3 | 25 |145 | 25 | gg g g aabaa b a c |a |ab |a |ab . 【答案】 2 3 14. （ 2019 全 国 卷 理 ） 记 n S 为 等 差 数 列 n a的 前 n 项 和 ， 1 0a， 21 3aa ， 则 10 5 S S 【解析】由 1 0a， 21 3aa ，可得 1 2d a ， 所以 1011 109 10100 2 Sada ， 511 54 525 2 Sad a ， 所以
14、 10 5 4 S S . 第7页（共 13 页） 【答案】 4 15.（2019 全国卷理）设 1 F ， 2 F 为椭圆C： 22 1 3620 xy 的两个焦点，M为C上一点且在第一象 限若 12 MF F为等腰三角形，则M的坐标为 【解析】设 1 F 为椭圆的左焦点，分析可知点M 在以1F 为圆心，焦距为半径的圆上，即在圆 22 (4)64xy上. 因为点 M 在椭圆 22 1 3620 xy 上， 所以联立方程可得 22 22 1 3 (4)6 2 4 60 xy xy， ， 解得 3 15. x y ， 又因为点M 在第一象限，所以点M 的坐标为 (3, 15) . 【答案】 (3
15、, 15) 16.（2019 全国卷理）学生到工厂劳动实践，利用3D打印技术制作模型如图，该模型为长方 体 1111 -ABCD AB C D 挖去四棱锥-O EFGH后所得的几何体，其中O为长方体的中心，E，F， G，H分 别 为 所 在 棱 的 中 点 ，6cmABBC，14cmAA，3D打 印 所 用 原 料 密 度 为 3 0.9g / cm ，不考虑打印损耗，制作该模型所需原料的质量为g 【解析】由题知，挖去的四棱锥的是一个菱形，对角线长分别是6 cm 和 4 cm， 故 311 46312(cm ) 32 V挖去的四棱锥. 又 3 664144(cm )V长方体， 所以模型的体积为
16、 3 14412132(cm )VV 长方体挖去的四棱锥 ， 所以制作该模型所需原料的质量为1320.9118.8(g) . 【答案】118.8 三、解答题：本题共70 分。 17.（2019 全国卷理）为了解甲、乙两种离子在小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将200只 小鼠随机分成A，B 两组，每组 100只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶 第8页（共 13 页） 液每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔浓度相同经过一段时间后用某种科学方法测算出残 留在小鼠体内离子的百分比根据试验数据分别得到如下直方图： 记C为事件：“ 乙离子残留在体内的百分比不低于5.5” ，根据直方图
17、得到()P C的估计值为 0.70 （ 1）求乙离子残留百分比直方图中a ，b的值； （ 2）分别估计甲、乙离子残留百分比的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代 表） 【解析】（ 1）由题得 0.200.150.70.a 解得0.35.a 由0.05 0.151()10.70.bP C 解得0.10.b （2）由甲离子的直方图可得，甲离子残留百分比的平均值为： 0.1520.20 30.3040.20 50.1060.05 74.05. 乙离子残留百分比的平均值为：0.05 30.1040.15 50.3560.2070.15 86. 18. （ 2019 全 国 卷 理 ）ABC的
18、内 角A，B，C的 对 边 分 别 为 a ，b， c 已 知 sinsin 2 AC abA （ 1）求B； （ 2）若ABC为锐角三角形，且1c，求ABC面积的取值范围 【解析】（ 1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2 AC ABA 因为sin0A， 所以 sinsin 2 AC B 由180ABC o ，可得 sincos 22 ACB ，故 cos2sincos 222 BBB 因为 cos0 2 B ，故 1 sin 22 B ，因此60B o 第9页（共 13 页） （2）由题设及（ 1）知ABC 的面积 3 4 ABCSa 由正弦定理得 sinsin(120)3
19、1 sinsin2tan2 cAC a CCC o 由于ABC为锐角三角形，故090A oo ， 090C oo ，由（1）知120AC o ，所以 3090C oo ，故 1 2 2 a，从而 33 82 ABC S 因此，ABC面积的取值范围是 33 , 82 19.（2019 全国卷理）图1是由矩形ADEB，RtABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其 中 1AB ，2BEBF，60FBC o 将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG， 如图2 （ 1）证明：图 2中的A，C，G，D四点共面，且ABCBCGE平面平面 ； （ 2）求图2中的二面角-B CG A的大小 【解析】（
20、 1）由已知得ADBEP，CGBEP， 所以AD CGP， 故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面 由已知得ABBE，ABBC，故ABBCGE平面 又因为ABABC平面， 所以ABCBCGE平面平面 （2）作EHBC，垂足为H 因为EHBCGE平面，BCGEABC平面平面， 所以EHABC平面 由已知，菱形BCGE的边长为2，60EBC o ，可求得1BH，3EH 以H为坐标原点，HC u uu r 的方向为x轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Hxyz， 则( 1,1,0)A，(1,0,0)C，(2,0,3)G，(1,0,3)CG uu u r ，(2,1,0)AC uuu
21、 r 第10页（共 13 页） 设平面ACGD的法向量为( , , )x y zn，则 0, 0, CG AC uuu r uuu r n n 即 30, 20. xz xy 所以可取(3,6,3)n 又平面BCGE的法向量可取为(0,1,0)m， 所以 3 cos , |2 n m n m nm 因此二面角-B CG A的大小为 30 o 20.（2019 全国卷理）已知函数 32 ( )2f xxax b （ 1）讨论( )f x 的单调性； （ 2）是否存在a ，b，使得( )f x 在区间 0,1 的最小值为1且最大值为1?若存在，求出a ，b的 所有值；若不存在，说明理由 （1） 2
22、 ( )622 (3)fxxaxxxa ， 令( )0fx，得0x或 3 a x， 若0a，则当(,0), 3 a xU时，( )0fx； 当0, 3 a x时，( )0fx， 故( )f x 在 (,0) ，, 3 a 单调递增，在0, 3 a 单调递减； 若0a，( )f x 在 (,) 单调递增； 若0a，则当,(0,) 3 a xU时，( )0fx； 当,0 3 a x时，( )0fx， 故( )f x 在, 3 a ， (0,) 单调递增，在,0 3 a 单调递减 （2）满足题设条件的a ，b存在 （i）当0a时，由（1）知，( )f x 在 0,1 单调递增， 所以( )f x 在
23、区间 0,1 的最小值为(0)fb ，最大值为(1)2fa b 此时 a，b满足题设条件当且仅当1b，21ab，即0a，1b （ii）当3a时，由（1）知，( )f x 在 0,1 单调递减， 所以( )f x 在区间 0,1 的最大值为(0)fb ，最小值为(1)2fab 此时 a，b满足题设条件当且仅当21ab，1b，即4a，1b 第11页（共 13 页） （iii）当0 3a 时，由（ 1）知，( )f x 在 0,1 的最小值为 3 327 aa fb，最大值为b或 2ab 若 3 1 27 a b，1b，则 3 3 2a，与03a矛盾 若 3 1 27 a b，21ab，则 3 3a
24、或3 3a或0a，与03a矛盾 综上，当且仅当0a，1b或4a，1b时， ( )f x 在 0,1 的最小值为1，最大值为1 21.（2019 全国卷理）已知曲线C： 2 2 x y，D为直线 1 2 y上的动点，过D作C的两条切 线，切点分别为 A，B （ 1）证明：直线AB过定点； （ 2）若以 5 0, 2 E 为圆心的圆与直线 AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面 积 【解析】（ 1）设 1 , 2 Dt， 11 (,)A xy，则 2 11 2x y 由于 yx，所以切线DA的斜率为 1 x ，故 1 1 1 1 2 y x xt 整理得 11 2210txy 设
25、22 (,)B xy，同理可得 22 2210txy 故直线 AB的方程为 2210txy 所以直线AB过定点 1 0, 2 （2）由（1）得直线AB的方程为 1 2 ytx 由 2 1 , 2 2 ytx x y 可得 2 210xtx 于是 12 2xx t， 12 1x x， 2 1212 ()121yyt xxt， 2222 121212 11()42(1)ABt xxtxxx xt 设 1 d ， 2 d 分别为点D，E到直线AB的距离，则 2 1 1dt， 2 2 2 1 d t 因此，四边形ADBE的面积 22 12 1 ()(3)1 2 SAB ddtt 第12页（共 13 页
26、） 设M为线段AB的中点，则 21 , 2 Mt t 由于 EMAB uuu u ru uu r ，而 2 ( ,2)EMt t uuu u r ， AB u uu r 与向量 (1, ) t 平行， 所以 2 (2)0ttt，解得0t或1t 当 0t 时， 3S ；当 1t 时，4 2S 因此，四边形ADBE的面积为3或 4 2 22.（2019 全国卷理）如图，在极坐标系Ox中，(2,0)A， 2, 4 B， 3 2, 4 C，(2, )D， 弧AB，BC，CD所在圆的圆心分别是(1,0) ， 1, 2 ， (1, ) ，曲线 1 M 是弧AB，曲线 2 M 是弧 BC，曲线 3 M是弧C
27、D （ 1）分别写出 1 M ， 2 M， 3 M的极坐标方程； （ 2）曲线M由 1 M ， 2 M， 3 M 构成，若点P在M上，且 3OP，求P的极坐标 【解析】（ 1）由题设可得，弧AB，BC，CD所在圆的极坐标方程分别为2cos，2sin， 2cos 所以 1 M 的极坐标方程为 2cos0 4 ， 2 M 的极坐标方程为 3 2sin 44 ， 3 M 的极坐标方程为 3 2cos 4 （2）设(, )P，由题设及（1）知： 若 0 4 ，则 2cos 3 ，解得 6 ； 若 3 44 ，则 2sin 3，解得 3 或 2 3 ； 若 3 4 ，则2cos3，解得 5 6 综上，P
28、的极坐标为 3, 6 或 3, 3 或 2 3, 3 或 5 3, 6 第13页（共 13 页） 23.（2019 全国卷理）设, ,x y zR ，且1xyz （ 1）求 222 (1)(1)(1)xyz的最小值； （ 2）若 2221 (2)(1)() 3 xyza成立，证明：3a或1a 【解析】（ 1）由于 2 (1)(1)(1)xyz(1)(1)(1)(1)(1)(1)xyyzzx 222 3(1)(1)(1) ,xyz 故由已知得 2224 (1)(1)(1) 3 xyz， 当且仅当 5 3 x， 1 3 y， 1 3 z时等号成立 所以 222 (1)(1)(1)xyz的最小值为 4 3 （2）由于 2 (2)(1)()xyza(2)(1)(1)()()(2)xyyzazax 222 3(2)(1)() ,xyza 故由已知得 2 222(2) (2)(1)() 3 a xyza， 当且仅当 4 3 a x， 1 3 a y， 22 3 a z时等号成立 因此 222 (2)(1)()xyza的最小值为 2 (2) 3 a 由题设知 2 (2)1 33 a ， 解得3a或1a