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1、第二章随机变量及其分布 2.2 二项分布及其应用 2.2.3 独立重复试验与二项分布 A 级基础巩固 一、选择题 1(2019 课标全国 卷)投篮测试中，每人投3 次，至少投中 2 次 才能通过测试已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是 否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为( ) A0.648 B0.432 C0.36 D0.312 解析：根据独立重复试验公式得， 该同学通过测试的概率为C2 30.6 2 0.40.6 30.648. 答案： A 2某电子管正品率为 3 4，次品率为 1 4，现对该批电子管进行测试， 设第 次首次测到正品，则P( 3)( ) AC 2 3 1
2、4 23 4 BC2 3 3 4 21 4 C. 1 4 23 4 D. 3 4 21 4 解析： 前两次测到的都是次品，第三次测到的是正品， 所以 P( 3) 1 4 1 4 3 4 1 4 2 3 4. 答案： C 3在某次试验中，事件A 出现的概率为 p，则在 n 次独立重复试 验中 A 出现 k 次的概率为 ( ) A1p k B(1p) kpnk C1(1p) k DC k n(1p) kpnk 解析： A 出现 1 次的概率为 1p， 由二项分布概率公式可得 A 出 现 k 次的概率为 Ck n(1p) kpnk. 答案： D 4若 XB(10，0.8)，则 P(X8)等于( )
3、AC 8 100.8 80.22 BC8 100.8 20.28 C0.8 80.22 D0.8 20.28 解析： 因为 XB(10，0.8)，所以 P(Xk)Ck 100.8 k(10.8)10k， 所以 P(X8)C8 100.8 80.22. 答案： A 5一袋中有 5 个白球， 3 个红球，现从袋中往外取球，每次任取 一个记下颜色后放回，直到红球出现10 次时停止，设停止时共取了 次球，则 P( 12)等于( ) AC 9 12 3 8 10 5 8 2 BC 9 11 3 8 10 5 8 2 CC 9 11 5 8 10 3 8 2 DC9 11 3 8 9 5 8 2 解析：当
4、 12 时，表示前 11 次中取到 9 次红球，第 12 次取到 红球，所以 P( 12)C9 11 3 8 9 5 8 23 8. 答案： B 二、填空题 6下列例子中随机变量 服从二项分布的有 _ 随机变量 表示重复抛掷一枚骰子n 次中出现点数是3 的倍数 的次数； 某射手击中目标的概率为0.9，从开始射击到击中目标所需的射 击次数 ； 有一批产品共有N 件， 其中 M 件为次品，采用有放回抽取方法， 表示 n 次抽取中出现次品的件数(MN)； 有一批产品共有N 件， 其中 M 件为次品，采用不放回抽取方法， 表示 n 次抽取中出现次品的件数 解析： 对于，设事件 A 为“抛掷一枚骰子出现
5、的点数是3 的倍 数” ，P(A)1 3.而在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生了 k 次(k0， 1，2，n)的概率 P( k)Ck n 1 3 k 2 3 nk ，符合二项分布的定义，即 有 B n， 1 3 .对于 ， 的取值是 1，2，3，P( k)0.90.1 k 1(k1，2，3，n)，显然不符合二项分布的定义，因此 不服从二 项分布 和的区别是： 是“有放回 ”抽取，而 是“无放回 ” 抽取，显然 中 n 次试验是不独立的，因此不服从二项分布，对于 有 B n， M N .故应填. 答案： 7设随机变量XB(2，p)，随机变量YB(3，p)，若 P(X1) 5 9，则 P(
6、Y1)_ 解析： 因为 XB(2，p)，所以 P(X1)1P(X0)1C0 2(1 p)2 5 9，解得 p 1 3.又 YB(3，p)，所以 P(Y1)1P(Y0)1C 0 3 (1p) 319 27. 答案： 19 27 8口袋里放有大小相同的两个红球和一个白球，有放回地每次摸 取一个球，定义数列 an：an 1，第n次摸取红球， 1，第n次摸取白球， 如果 Sn为数列 an的前 n 项和，那么 S53 的概率为 _ 解析： 由题意知有放回地摸球为独立重复试验，且试验次数为5， 这 5 次中有 1 次摸得红球每次摸取红球的概率为 2 3，所以 S53 时， 概率为 C1 5 2 3 1 1
7、 3 4 10 243. 答案： 10 243 三、解答题 9某单位为绿化环境，移栽了甲、乙两种大树各2 棵设甲、乙 两种大树移栽的成活率分别为 5 6和 4 5，且各棵大树是否成活互不影响， 求移栽的 4 棵大树中 (1)至少有 1 棵成活的概率； (2)两种大树各成活1 棵的概率 解：设 Ak表示第 k 棵甲种大树成活， k1，2，Bl表示第 l 棵乙种 大树成活， l1，2， 则 A1，A2，B1，B2相互独立，且 P(A1)P(A2) 5 6，P(B1)P(B2) 4 5. (2)由独立重复试验中事件发生的概率公式知，所求概率为 PC1 2 5 6 1 6 C1 2 4 5 1 5 1
8、0 36 8 25 80 900 4 45. 10. 一名学生骑自行车去上学，从他家到学校的途中有6 个交通 岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是 1 3. 设 X 为这名学生在途中遇到红灯的次数，求X 的分布列 解：依据已知条件，可将遇到每个交通岗看作一次试验，遇到红 灯的概率都是 1 3，且每次试验结果都是相互独立的，所以 XB 6，1 3 . 故 P(Xk)Ck 6 1 3 k 11 3 6k Ck 6 1 3 k 2 3 6k ，k0，1，2，6. 因此所求 X 的分布列为： X 0123456 P 64 729 64 243 80 243 160 729 20
9、 243 4 243 1 729 B 级能力提升 1在 4 次独立重复试验中， 随机事件 A 恰好发生 1 次的概率不大 于其恰好发生 2 次的概率，则事件A 在一次试验中发生的概率p的取 值范围是 ( ) A0.4，1) B(0，0.4 C0.6，1) D(0，0.6 解析： 由条件知 P( 1)P( 2)， 所以 C1 4p(1p) 3C2 4p 2(1p)2，2(1p)3p， 所以 p0.4. 又 0p1，所以 0.4p1. 答案： A 2在一次数学考试中，第14 题和第 15 题为选做题规定每位考 生必须且只需在其中选做一题 设 4 名考生选做这两题的可能性均为 1 2. 其中甲、乙
10、2 名学生选做同一道题的概率是_ 解析： 设事件 A 表示“甲选做第 14 题”，事件 B 表示“乙选做 第 14 题” ，则甲、乙 2 名学生选做同一道题的事件为“AB A B ” ， 且事件 A，B 相互独立 所以 P(AB AB )P(A)P(B)P( A )P( B ) 1 2 1 2 1 1 2 11 2 1 2. 答案： 1 2 3甲、乙两支排球队进行比赛， 约定先胜 3 局者获得比赛的胜利， 比赛随即结束除第五局甲队获胜的概率是 1 2外，其余每局比赛甲队获 胜的概率都是 2 3.假设各局比赛结果相互独立 (1)分别求甲队以 30，31，32 胜利的概率； (2)若比赛结果为 3
11、0 或 31，则胜利方得 3 分、对方得 0 分； 若比赛结果为 32，则胜利方得 2 分、对方得 1 分求乙队得分 X 的 分布列 解：(1)记“甲队以 30 胜利”为事件 A1， “甲队以 31 胜利” 为事件 A2， “甲队以 32 胜利”为事件 A3. 由题意，各局比赛结果相互独立， 故 P(A1) 2 3 3 8 27， P(A2)C 2 3 2 3 2 12 3 2 3 8 27， P(A3)C2 4 2 3 2 12 3 2 1 2 4 27. 所以，甲队以 30 胜利、以 31 胜利的概率都为 8 27. 以 32 胜利的概率为 4 27. (2)设“乙队以 32 胜利”为事件 A4， 由题意，各局比赛结果相互独立，所以 P(A4)C 2 4 12 3 2 2 3 2 12 3 4 27. 由题意，随机变量X 的所有可能的取值为0，1，2，3. 根据事件的互斥性得 P(X0)P(A1A2)P(A1)P(A2) 16 27； P(X1)P(A3) 4 27； P(X2)P(A4) 4 27； P(X3)1P(X0)P(X1)P(X2) 3 27. 故 X 的分布列为： X 0123 P 16 27 4 27 4 27 3 27