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1、绝密启用前 普通高等学校招生全国统一考试（新课标） 理科数学 注意事项： 1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写 在答题卡上。写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本大题共12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的。 1已知集合A= 22 ( , )1x yxy，B=( ,)x yyx，则 AIB 中元素的个数为 A3 B2 C1 D0 2设复
2、数z满足 (1+i) z=2i，则 z= A 1 2 B 2 2 C2D2 3某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014 年 1 月至 2016 年 12 月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图 根据该折线图，下列结论错误的是 A月接待游客量逐月增加 B年接待游客量逐年增加 C各年的月接待游客量高峰期大致在7,8 月份 D各年 1 月至 6 月的月接待游客量相对7月至 12 月，波动性更小，变化比较平稳 4(x+y)(2x-y)5的展开式中 x 3 y 3 的系数为 A-80 B-40 C40 D80 5已知双曲线C： 22 22 1 xy ab
3、 (a 0,b 0)的一条渐近线方程为 5 2 yx,且与椭圆 22 1 123 xy 有公共焦点，则 C 的方程为 A 22 1 810 xy B 22 1 45 xy C 22 1 54 xy D 22 1 43 xy 6设函数f(x)=cos(x+ 3 )，则下列结论错误的是 Af(x)的一个周期为 -2 By=f(x)的图像关于直线x= 8 3 对称 Cf(x+) 的一个零点为x= 6 Df(x)在 ( 2 , )单调递减 7执行下面的程序框图，为使输出 S的值小于91，则输入的正整数N 的最小值为 A5 B4 C3 D2 8已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2 的同一个球的
4、球面上，则该圆 柱的体积为 AB 3 4 C 2 D 4 9等差数列 n a的首项为1，公差不为0若 a2，a3，a6成等比数列，则 n a前 6 项的和为 A-24 B-3 C3 D8 10已知椭圆C： 22 22 1 xy ab ，（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段 A1A2为直径的圆与直线20bxayab相切，则 C 的离心率为 A 6 3 B 3 3 C 2 3 D 1 3 11已知函数 211 ( )2() xx f xxxa ee有唯一零点，则 a= A 1 2 B 1 3 C 1 2 D1 12 在矩形 ABCD 中，AB=1 ，AD=2 ，动点 P 在以点 C 为
5、圆心且与BD 相切的圆上 若 AP uu u r =AB uuu r +AD uu u r ，则+的最大值为 A 3 B22C5D2 二、填空题：本题共4 小题，每小题 5 分，共 20 分。 13若x，y满足约束条件 y0 20 0 x xy y ，则z34xy的最小值为 _ 14设等比数列 n a满足 a1 + a2 = 1, a1a3 = 3，则 a4 = _ 15设函数 10 ( ) 20 x xx fx x ， ， 则满足 1 ( )()1 2 f xf x的 x 的取值范围是 _。 16a，b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线 与 a，b 都
6、垂直，斜边 AB 以直线 AC 为旋转轴旋转，有下列结论： 当直线 AB 与 a 成 60 角时，AB 与 b 成 30 角； 当直线 AB 与 a 成 60 角时，AB 与 b 成 60 角； 直线 AB 与 a所成角的最小值为45 ； 直线 AB 与 a所成角的最小值为60 ； 其中正确的是_。（填写所有正确结论的编号） 三、解答题：共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第1721 题为必考题， 每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。 （一）必考题：共60 分。 17（ 12 分） ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知sinA+
7、3cosA=0， a=27,b=2 （1）求 c； （2）设 D 为 BC 边上一点，且ADAC,求ABD 的面积 18（ 12 分） 某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4 元，售价每瓶 6 元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶 2元的价格当天全部处理完根据往年销售经验， 每天需求量与当天最高气温（单位：）有关如果最高气温不低于25，需求量为500 瓶；如果最高气温位于区间20，25），需求量为300 瓶；如果最高气温低于20，需 求量为 200 瓶为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据， 得下面的频数分布表： 最高气温10，15） 15，20） 20
8、，25） 25，30） 30，35） 35，40） 天数2 16 36 25 7 4 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。 （1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列； （2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元），当六月份这种酸奶一天 的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y 的数学期望达到最大值？ 19（ 12 分） 如图，四面体 ABCD 中，ABC 是正三角形，ACD 是直角三角形，ABD= CBD ，AB=BD （1）证明：平面ACD 平面 ABC； （2）过 AC 的平面交BD 于点 E，若平面 AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两部 分，
9、求二面角D AE C 的余弦值 20（ 12 分） 已知抛物线C： y2=2x， 过点（ 2,0）的直线l 交 C 与 A,B 两点，圆 M 是以线段AB 为直径的圆 （1）证明：坐标原点O 在圆 M 上； （2）设圆 M 过点 P（4，-2），求直线 l 与圆 M 的方程 21（ 12 分） 已知函数( )f x=x1alnx （1）若 ( )0f x ，求 a 的值； （2）设 m 为整数，且对于任意正整数n， 2 111 1+1+) 222 n K()(1)(m，求 m 的最小值 （二）选考题：共10 分。请考生在第22、23 题中任选一题作答，如果多做，则按所做 的第一题计分。 22
10、选修 4- 4：坐标系与参数方程（10 分） 在直角坐标系xOy 中，直线 l1的参数方程为 2+ , , xt ykt （t 为参数），直线 l2的参数 方程为 2, , xm m m y k （为参数）设 l1与 l2的交点为P，当 k 变化时，P 的轨迹为曲线C （1）写出 C 的普通方程； （2） 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，设 l3： (cos +sin )-2 =0， M 为 l3与 C 的交点，求 M 的极径 23 选修 4- 5：不等式选讲（10 分） 已知函数f（x）=x+1 x2 （1）求不等式f（x） 1的解集； （2）若不等式f（x） x2 x +m
11、 的解集非空， 求 m 的取值范围 绝密启用前 普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题正式答案 一、选择题 1.B 2.C 3.A 4.C 5.B 6.D 7.D 8.B 9.A 10.A 11.C 12.A 二、填空题 13. -1 14. -8 15. 1 （-， +） 4 16. 三、解答题 17. 解： （1）由已知得 tanA= 2 3，所以A= 3 在 ABC中，由余弦定理得 22 2 2844 cos+2 -24=0 3 c6c cccc ，即 解得（舍去），=4 （2）有题设可得=，所以 26 CADBADBACCAD 故 ABD面积与 ACD面积的比值为 gg g 1 s
12、in 26 1 1 2 ABAD ACAD 又 ABC的面积为 1 42 sin23，所以的面积为3. 2 BACABD 18. 解： （1）由题意知，X所有的可能取值为200,300,500 ，由表格数据知 216 2000.2 90 P X 36 3000.4 90 P X 2574 5000.4 90 P X. 因此 X 的分布列为 X 200300500 P 0.2 0.4 0.4 由题意知，这种酸奶一天的需求量至多为500，至少为 200，因此只需考虑 200500n 当 300500n时， 若最高气温不低于25，则Y=6n-4n=2n 若最高气温位于区间 20，,25 ，则Y=63
13、00+2（n-300 ）-4n=1200-2n; 若最高气温低于20，则Y=6200+2（n-200 ）-4n=800-2n; 因此 EY=2n 0.4+ （1200-2n ） 0.4+(800-2n) 0.2=640-0.4n 当 200300n时， 若最高气温不低于20，则Y=6n-4n=2n; 若最高气温低于20，则Y=6200+2（n-200 ）-4n=800-2n; 因此 EY=2n (0.4+0.4)+(800-2n)0.2=160+1.2n 所以 n=300时， Y 的数学期望达到最大值，最大值为 520元。 19. 解： （1）由题设可得，,ABDCBDADDC从而 又ACD
14、是直角三角形，所以 0 =90ACD 取AC的中点 O，连接 DO,BO,则DO AC,DO=AO 又由于ABCBOAC是正三角形，故 所以DOBDACB为二面角的平面角 222 2222220 , Rt AOBBOAOAB ABBD BODOBOAOABBD ACDABC 在中， 又所以 ，故DOB=90 所以平面平面 （2） 由题设及（ 1）知， OA, OB,OD 两两垂直，以 O 为坐标原点， OA uu u r 的方向为x轴正方 向， OA uuu r 为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系 O xyz- ，则 (1， 0， 0),(0，3， 0),( 1， 0， 0),(0， 0，
15、 1)ABCD 由题设知，四面体 ABCE 的体积为四面体ABCD 的体积的 1 2 ，从而 E 到平面 ABC 的 距离为 D 到平面 ABC 的距离的 1 2 ，即 E 为 DB 的中点，得 E 3 1 0， 22 .故 3 1 1 ， 0， 1 ，2， 0， 0 ，1， 22 ADACAE u uu ruu u ruuu r 设=x,y,zn是平面 DAE 的法向量，则 0 0， 即 31 00， 22 xz AD xyzAE uu u r g uu u r g n n 可取 3 11 3 =,n 设m是平面 AEC 的法向量，则 0， 0， AC AE u uu r g u uu r
16、g m m 同理可得013,m 则 7 7 cos, gn m n m n m 所以二面角D-AE-C 的余弦值为 7 7 20.解 （1）设 1122 2A x ,y,B x ,y,l : xmy 由 2 2 2 xmy yx 可得 2 12 240 则4ymy,y y 又 2 22 12 12 1212 =故= 224 y yyy x,x,x x=4 因此 OA 的斜率与OB 的斜率之积为 12 12 -4 =-1 4 yy xx g 所以 OA OB 故坐标原点O 在圆 M 上. （2）由（ 1）可得 2 121212 + =2+=+4=24yym,xxm yym 故圆心 M 的坐标为
17、2+2， mm，圆 M 的半径 2 22 2rmm 由于圆 M 过点 P（ 4，-2） ，因此0AP BP uuu r u uu r g,故 1212 44220xxyy 即 12121212 4+2200x xxxy yyy 由（ 1）可得 1212 =-4，=4y yx x， 所以 2 210mm，解得 1 1或 2 mm. 当 m=1 时，直线 l 的方程为x-y-2=0 ，圆心 M 的坐标为（ 3,1） ，圆 M 的半径为10， 圆 M 的方程为 22 3110xy 当 1 2 m时，直线 l 的方程为240xy，圆心 M 的坐标为 91 ， - 42 ，圆 M 的 半径为 85 4
18、，圆 M 的方程为 22 9185 + 4216 xy 23.解： （1） 31 2112 32 ,x fxx,x ,x 当1x时， 1fx 无解； 当12x时，由 1fx 得，211x，解得12x 当2x时，由 1fx 解得2x. 所以1fx的解集为1x x. （2）由 2 fxxxm得 2 12mxxxx，而 22 2 12+1+2 35 =-+ 24 5 4 xxxxxxxx x 且当 3 2 x时， 2 5 12= 4 xxxx. 故 m 的取值范围为 5 -， 4 21.解： （ 1）fx的定义域为0， +. 若0a，因为 11 =-+20 22 faln，所以不满足题意； 若0a，
19、由1 axa f x xx 知，当0x,a时，0f x； 当， +xa 时，0f x， 所以fx在0,a单调递减，在， +a单调递增，故 x=a 是fx 在0， +x的唯一最小值点. 由于 10f ，所以当且仅当a=1 时， 0fx . 故 a=1 （2）由（ 1）知当 1， +x 时，10xln x 令 1 =1+2nx 得 11 1+ 22 nn ln，从而 22 1111111 1+1+1+=1-1 2222222 nnn lnlnln 故 2 111 1+1+1+ 222 n e 而 23 111 1+1+1+2 222 ，所以 m 的最小值为3. 22.解： （ 1）消去参数t 得l1 的普通方程 1 2l : yk x ；消去参数m 得l2的普通方程 2 1 2l : yx k 设 P（ x,y）,由题设得 2 1 2 yk x yx k ，消去 k 得 22 40xyy . 所以 C 的普通方程为 22 40xyy （2）C 的极坐标方程为 222 4 02cossin,rqqqp qp 联立 222 4 +-2=0 cossin cossin rqq rqq 得 =2+cossincossinqqqq . 故 1 3 tan q，从而 22 91 =，= 1010 cossinqq 代入 222 -=4cossinrqq得 2 =5r，所以交点 M 的极径为5.