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1、全国高考文科数学(全国 1 卷 word 最强解析版 ) 1 / 17 全国高考文科数学 (全国 1 卷 word最强解析版 ) 2019 年全国文科数学试题(全国卷 1） 第 I 卷（选择题） 1设集合1,3,5,7A，| 25Bxx，则ABI （ A）1 ， 3 （B）3 ， 5 （C ）5 ， 7 （D）1， 7 【答案】 B 【解析】 试题分析：集合A与集合B公共元素有3， 5 ，故5 , 3BA，选 B. 考点：集合运算 2设(12i)(i)a的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a= （ A） 3 （B） 2 （C）2 （D ）3 【答案】 A 【解析】 试题分析：设iaaiai
2、)21(2)(21(，由已知，得aa212，解 得3a，选 A. 考点：复数的概念 3为美化环境，从红、 黄、白、紫 4 种颜色的花中任选2 种花种在一个花坛中，余 下的 2 种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是 （ A） 1 3 （B） 1 2 （C） 1 3 （D） 5 6 【答案】 A 【解析】 试题分析：将4 中颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下 2 种种在另一个花坛， 有 6 种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有2 种，故概率为 3 1 ，选 A. 考点：古典概型 4ABC的内角 A、B、C的对边分别为a、b、c. 已知5a，2c， 2 cos 3 A
3、， 则 b= （ A）2（B）3（C）2 （ D）3 【答案】 D 【解析】 试题分析： 由余弦定理得 3 2 2245 2 bb，解得3b（ 3 1 b舍去） ，选 D. 考点：余弦定理 5直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到l 的距离为其短轴长的 1 4 ， 则该椭圆的离心率为 （ A） 1 3 （B） 1 2 （C） 2 3 （D） 3 4 【答案】 B 【解析】 试题分析：如图，由题意得在椭圆中， 11 OFc,OBb,OD2bb 42 在Rt OFB中，|OF|OB| BF|OD |，且 222 abc，代入解得 22 a4c，所以椭圆得离心率得： 1 e 2 ，故选
4、 B. 考点：椭圆的几何性质 6如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径. 若该几何体的体积是 28 3 ，则它的表面积是 （ A）17 （ B）18 （ C）20 （ D ）28 【答案】 A 【解析】 试 题 分 析 ： 由 三 视 图 知 ： 该 几 何 体 是 7 8 个 球 ，设 球 的 半 径 为R，则 3 7428 VR 833 ，解得R2，所以它的表面积 是 22 73 42217 84 ，故选 A 考点：三视图及球的表面积与体积 y x O B F D 全国高考文科数学(全国 1 卷 word 最强解析版 ) 3 / 17 7若将函数y=2sin
5、（ 2x+ 6 ）的图像向右平移 1 4 个周期后，所得图像对应的函数为 （ A）y=2sin （2x+ 4 ）（B）y=2sin （ 2x+ 3 ） （ C）y=2sin （2x 4 ）（D）y=2sin （ 2x 3 ） 【答案】 D 【解析】 试题分析： 函数y2sin(2x) 6 的周期为，将函数y2sin(2x) 6 的图像向右 平移 1 4 个周期即 4 个单位，所得函数为y2sin2(x)2sin(2x) 463 ， 故选 D. 考点：三角函数图像的平移 8若 ab0， 0 c1，则 （ A）logaclogbc （B）logca logcb （C）a cbc （D）c acb
6、【答案】 B 【解析】 试题分析：对于选项A： ab 1gc1gc log c,logc lg alg b ，0c1Q1gc0，而 ab0，所以lgalg b，但不能确定lg a lg b、的正负，所以它们的大小不能 确定 ; 对于选项B： cb 1ga1gb log a,logc lg clg c ，而lga lg b， 两边同乘以一个负 数 1 lg c 改变不等号方向所以选项B 正确 ; 对于选项C：利用 c yx在第一象限内是增函 数即可得到 cc ab，所以 C错误 ; 对于选项 D：利用 x yc在R上为减函数易得为错 误 . 所以本题选B. 考点：指数函数与对数函数的性质 9函数
7、 y=2x 2e|x| 在 2， 2的图像大致为 （ A）（B） （ C）（D） 【答案】 D 【解析】 试题分析：函数f （x）=2x 2e|x| 在 2， 2上是偶函数，其图象关于y轴对称， 因 为 22 (2)8,081fee，所 以 排 除,A B选 项 ； 当0,2x时 ， 4 x yxe有一零点，设为 0 x，当 0 (0,)xx时，( )fx为减函数，当 0 (,2)xx时，( )fx为增函数故选D 10执行右面的程序框图，如果输入的0,1,xyn=1，则输出 , x y的值满足 n=n+1 结束 输出 x,y x 2+y2 36？ x=x+ n-1 2 ，y=ny 输入 x,y
8、,n 开始 （ A）2yx （ B）3yx （ C）4yx （ D）5yx 【答案】 C 【解析】 试题分析：第一次循环：0,1,2xyn， 第二次循环： 1 ,2,3 2 xyn， 第三次循环： 3 ,6,3 2 xyn，此时满足条件 22 36xy，循环结束， 全国高考文科数学(全国 1 卷 word 最强解析版 ) 5 / 17 3 ,6 2 xy，满足4yx故选 C 考点：程序框图与算法案例 11 平面过正文体ABCD A1B1C1D1的顶点 A 11 /CB D平面，ABCDmI 平面， 11 ABB AnI 平面，则 m ， n所成角的正弦值为 （ A） 3 2 （B） 2 2 （
9、C） 3 3 （D） 1 3 【答案】 A 【解析】 试 题 分 析 ： 如 图 ，设 平 面 11 CB DI平 面ABCD=m，平 面 11 CB DI平 面 11 ABB A=n，因为/ /平面 11 CB D，所以/ /,/ /mm nn，则,m n所成的角等 于,m n所成的角 . 延长 AD， 过 1 D作 11 / /D EB C，连接 11 ,CE B D，则CE为m， 同理 11B F为n，而111/ /,/ /BDCE B FA B，则,m n所成的角即为1,A B BD所成的 角，即为60，故,m n所成角的正弦值为 3 2 ，选 A. 考点：平面的截面问题，面面平行的性
10、质定理，异面直线所成的角. 12若函数 1 ( )sin2sin 3 f xx -xax在,单调递增，则 a 的取值范围是 （ A）1,1（B） 1 1, 3 （C） 1 1 , 3 3 （D） 1 1, 3 【答案】 C 【解析】 试题分析： 2 1cos2cos0 3 fxxax对xR恒成立， 故 2 2 12cos1cos0 3 xax，即 2 45 coscos0 33 axx恒成立， 即 2 45 0 33 tat对1,1t恒成立，构造 2 45 33 f ttat，开口向下 的二次函数ft的最小值的可能值为端点值， 故只需保证 1 10 3 1 10 3 ft ft ，解得 11
11、33 a剟故选 C 考点：三角变换及导数的应用 全国高考文科数学(全国 1 卷 word 最强解析版 ) 7 / 17 第 II 卷（非选择题） 请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分 二、填空题（题型注释） 13设向量 a=（x， x+1 ） ， b= （1， 2 ） ，且 a b，则 x= . 【答案】 2 3 【解析】 试题分析：由题意， 2 0,2(1)0,. 3 a bxxx r r 考点：向量的数量积及坐标运算 14 已知 是第四象限角，且 sin（+ 4 ）= 3 5 ，则 tan（ 4 ）= . 【答案】 3 4 【解析】 试题分析：由题意， 43 cos(),tan()t
12、an()tan(). 4544244 得 2a . 正方体的对角线等于其外接球的直径2R， 所以 22 232 3,=4=12RaSR球面 ，故选 A. 考点：三角变换 15设直线 y=x+2a 与圆 C：x 2+y2-2ay-2=0 相交于 A， B 两点，若，则 圆 C的面积为 . 【答案】3 【解析】 试题分析：圆 22 :220Cxyay，即 222 :()2Cxyaa，圆心为 (0, )Ca，由| 2 3,ABC到直线2yxa的距离为 |02| 2 aa ，所以由 222 2 3|02 | ()()2 22 aa a得 2 1,a所以圆的面积为 2 (2)3a. 考点：直线与圆 16
13、某高科技企业生产产品A和产品 B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要 甲材料 1.5kg ，乙材料 1kg，用 5 个工时； 生产一件产品B需要甲材料0.5kg ，乙 材料 0.3kg ，用 3 个工时，生产一件产品A 的利润为2100 元，生产一件产品B 的利润为900 元。该企业现有甲材料150kg，乙材料 90kg，则在不超过600 个工时 的条件下，生产产品A、产品 B的利润之和的最大值为元 . 【答案】216000 【解析】 试题分析：设生产产品A、产品B分别为x、y件，利润之和为z元，那么 1.50.5150, 0.390, 53600, 0, 0. xy xy xy x y
14、 , , , 目标函数2100900zxy. 二元一次不等式组等价于 3300, 103900, 53600, 0, 0. xy xy xy x y ? , , 作出二元一次不等式组表示的平面区域（如图），即可行域 . 将2100900zxy变形，得 7 3900 z yx，平行直线 7 3 yx，当直线 7 3900 z yx经过点M时，z取得最大值 . 解方程组 103900 53600 xy xy ，得M的坐标(60,100). 所以当60x，100y时， max 210060900100216000z. 故生产产品A、产品B的利润之和的最大值为216000元. 考点：线性规划的应用 评
15、卷人得分 三、解答题（题型注释） 17 已知 n a是公 差为3的 等 差数列，数 列 n b满 足 全国高考文科数学(全国 1 卷 word 最强解析版 ) 9 / 17 1211 1 = 3 nnnn bba bbnb1， . （）求 n a的通项公式； （）求 n b的前 n 项和 . 【答案】（）31 n an（） 1 31 . 22 3 n 【解析】 试题分析：（）用等差数列通项公式求；（）求出通项，再利用等比数列求和公式 来求。 试题解析：（） 由已知， 122112 1 ,1, 3 a bbb bb得 122112 1 ,1, 3 a bbb bb 得 1 2a，所以数列 n a
16、是首项为2，公差为3 的等差数列，通项公式为 31 n an. （）由（）和 11nnnn a bbnb，得 1 3 n n b b，因此 n b是首项为1，公 比为 1 3 的等比数列 . 记 n b的前n项和为 n S，则 1 1 1( ) 31 3 . 1 22 3 1 3 n n n S 考点：等差数列与等比数列 18如图，在已知正三棱锥P-ABC 的侧面是直角三角形， PA=6 ，顶点 P 在平面 ABC内的正投影为点E，连接 PE并延长交 AB于点 G. P A B D C G E （）证明G是 AB的中点； （）在图中作出点E在平面 PAC内的正投影F （说明作法及理由） ，并求
17、四面体PDEF 的体积 【答案】（）见解析（）作图见解析，体积为 4 3 【解析】 试题分析： 证明.ABPG由PAPB可得G是AB的中点 . （） 在平面PAB内，过 点E作PB的平行线交 PA于点F，F即为E在平面PAC内的正投影 . 根据 正三棱 锥的侧面是直角三角形且6PA，可得2,2 2.DEPE在等腰直角三角形 EFP中，可得2.EFPF四面体PDEF的体积 114 22 2. 323 V 试题解析：（）因为P在平面ABC内的正投影为D，所以.ABPD 因为D在平面PAB内的正投影为E，所以.ABDE 所以 AB 平面PED，故.ABPG 又由已知可得，PAPB，从而G是AB的中点
18、 . （）在平面PAB内，过点E作PB的平行线交PA于点F，F即为E在平面 PAC内的正投影 . 理由如下： 由已知可得 PBPA，PBPC， 又/ /EFPB，所以EFPC， 因此EF平面PAC，即点F为E在平面PAC内的正投影 . 连接CG，因为P在平面ABC内的正投影为D，所以D是正三角形ABC的中心 . 由（）知，G是AB的中点，所以D在CG上，故 2 . 3 CDCG 由 题设 可得PC平 面PAB，DE平面PAB，所以/ /DEPC ， 因此 21 ,. 33 PEPG DEPC 由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且6PA，可得2,2 2.DEPE 在等腰直角三角形EFP中，可得2
19、.EFPF 所以四面体PDEF的体积 114 222. 323 V 考点：线面位置关系及几何体体积的结束 19某公司计划购买1 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰. 机器有一易损零件， 在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元. 在机器使用期间， 如果备件不足再购买，则每个 500 元. 现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零 件，为此搜集并整理了100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面 柱状图： 全国高考文科数学(全国 1 卷 word 最强解析版 ) 11 / 17 161718192021 频数 更换的易损零件数 0 6 10 16 20 24 记
20、x 表示 1 台机器在三年使用期内需更换的易损零件数， y表示 1 台机器在购买易损 零件上所需的费用（单位：元），n表示购机的同时购买的易损零件数. （）若 n=19， 求 y 与 x 的函数解析式； （）若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5 ，求n 的最小值； （）假设这100 台机器在购机的同时每台都购买19 个易损零件，或每台都购买20 个易损零件，分别计算这100 台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作 为决策依据，购买 1 台机器的同时应购买19 个还是 20 个易损零件？ 【答案】（）)( ,19,5700500 ,19,3800 Nx xx x y（）
21、 19（） 19 【解析】 试题分析： （）分 x19 及 x.19 ，分别求解析式；（）通过频率大小进行比较； （） 分别求出您9， n=20的所需费用的平均数来确定。 试题解析：（）当19x时 ，3800y；当19x时 ， 5700500)19(5003800xxy，所 以y与x的 函 数 解 析 式 为 )( ,19,5700500 ,19,3800 Nx xx x y. （）由柱状图知，需更换的零件数不大于18 的概率为0.46 ，不大于19 的概率 为 0.7 ，故n的最小值为19. （） 若每台机器在购机同时都购买19 个易损零件，则这 100 台机器中有70 台在购 买易损零件上
22、的费用为3800， 20台的费用为4300， 10台的费用为4800，因此 这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数为 4050)104500904000( 100 1 . 比较两个平均数可知，购买 1 台机器的同时应购买19 个易损零件 . 考点：函数解析式、概率与统计 20在直角坐标系xOy中，直线l:y=t（t 0）交y 轴于点M ，交抛物线C： 2 2(0)ypx p于点 P， M 关于点 P的对称点为N，连结 ON并延长交C于点 H. （）求 OH ON ； （）除H以外，直线 MH与 C是否有其它公共点？说明理由. 【答案】（） 2（）没有 【解析】 试题分析：先确定),(
23、2 t p t N，ON的方程为x t p y，代入pxy2 2 整理得 02 22 xtpx，解得 0 1 x ， p t x 2 2 2 ，因此)2, 2 ( 2 t p t H，所以N为OH的 中点，即2 | | ON OH . （） 直线 MH 的方程为x t p ty 2 ，与pxy2 2 联立得044 22 ttyy，解得 tyy2 21 ，即直线MH与C只有一个公共点，所以除H以外直线MH与C没 有其它公共点. 试题解析：（）由已知得),0(tM，), 2 ( 2 t p t P. 又N为M关于点P的对称点，故),( 2 t p t N，ON的方程为x t p y，代入 pxy2
24、 2 整理得02 22 xtpx，解得0 1 x， p t x 2 2 2 ，因此)2, 2 ( 2 t p t H. 所以N为OH的中点，即2 | | ON OH . （）直线MH与C除H以外没有其它公共点. 理由如下： 直 线MH的 方 程 为x t p ty 2 ，即)( 2 ty p t x. 代 入pxy2 2 得 044 22 ttyy，解得tyy2 21，即直线 MH与C只有一个公共点，所 以除H以外直线 MH 与C没有其它公共点. 考点：直线与抛物线 21已知函数. （）讨论的单调性； （）若有两个零点，求a的取值范围 . 【答案】（）见解析（）0, 【解析】 全国高考文科数学
25、(全国 1 卷 word 最强解析版 ) 13 / 17 试题分析：（）求导，根据导函数的符号来确定，主要要根据导函数零点来分类； （）借组第一问的结论来，通过分类判断得a 的取值范围为0,. 试题解析：（） 12112. xx fxxea xxea （ i ）设0a，则当,1x时，0fx；当1,x时，0fx. 所以在,1单调递减，在1,单调递增 . （ ii ）设0a，由0fx得 x=1 或 x=ln （-2a ）. 若 2 e a，则1 x fxxee，所以fx在,单调递增 . 若 2 e a，则ln （ -2a ） 1 ，故 当,ln21,xaU时 ， 0fx； 当 ln2,1xa时，0
26、fx，所以fx在,ln2, 1,a单调递 增，在 ln2,1a单调递减 . 若 2 e a，则21lna，故 当,1ln2,xaU时 ， 0fx，当1,ln2xa时 ，0fx，所 以fx在 ,1 , ln2,a单调递增，在1,ln2a单调递减 . （）（i ）设0a，则由（ I ）知，fx在,1单调递减，在1,单调 递增 . 又12fefa，取 b满足 b0 且ln 22 ba ， 则 2 3 3 210 22 a fbba ba bb ，所以fx有两个零点 . （ ii ）设 a=0，则2 x fxxe所以fx有一个零点 . （ iii）设 a 0，若 2 e a，则由（ I ）知，fx在1
27、,单调递增 . 又当1x时，fx0，故fx不存在两个零点；若 2 e a，则由（ I ）知， fx在1,ln2a单调递减，在ln2,a单调递增 . 又当1x时fx0， 故fx不存在两个零点. 综上， a的取值范围为0,. 考点：函数单调性，导数应用 22选修 4-1 ：几何证明选讲 如图，OAB是等腰三角形，AOB=120 . 以O为圆心， 1 2 OA为半径作圆 . （）证明：直线AB与eO相切； （）点C， D在O 上，且 A， B， C ， D四点共圆，证明： AB CD. 【答案】（）见解析（）见解析 【解析】 试题分析：（）设E是AB的中点，证明60AOE； （）设O是,A B C
28、D 四点所在圆的圆心，作直线OO，证明OOAB，OOCD由此可证明 /ABCD 试题解析：（）设E是AB的中点，连结OE， 因为,120OAOBAOB，所以OEAB，60AOE 在Rt AOE中， 1 2 OEAO，即O到直线AB的距离等于圆O的半径，所以 直线AB与O相切 E O D C O B A （）因为2OAOD，所以O不是,A B C D四点所在圆的圆心，设O是 ,A B C D四点所在圆的圆心，作直线OO 由已知得O在线段AB的垂直平分线上，又O在线段AB的垂直平分线上，所以 OOAB 同理可证，OOCD所以/ABCD 考点：四点共圆、直线与圆的位置关系及证明 23选修 44：坐标
29、系与参数方程 在直角坐标系xy 中，曲线 C1的参数方程为 cos 1sin xat yat （ t 为参数， a 0） 在 以坐标原点为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C2：=4 cos. （）说明C1是哪一种曲线，并将 C1的方程化为极坐标方程； 全国高考文科数学(全国 1 卷 word 最强解析版 ) 15 / 17 （） 直线 C3的极坐标方程为 0， 其中 0满足 tan0=2， 若曲线 C1与 C2的公 共点都在C3上，求 a 【答案】（）圆， 22 2sin10a（） 1 【解析】 试题分析：（） 把 cos 1sin xat yat 化为直角坐标方程，在化为极坐标方
30、程；（） 2 C： 2 2 24xy， 3 C：2y x ， 1 C 2 C相减为 3 C由此可得1a 试题解析：（） cos 1sin xat yat （t均为参数） 2 22 1xya 1 C为以01，为圆心，a为半径的圆方程为 222 210xyya 222 sinxyy， 22 2sin10a即为 1 C的极坐标方程 （） 2 4cosC ： 两边同乘得 2222 4coscosxyxQ， 22 4xyx 即 2 2 24xy 3 C：化为普通方程为2yx 由题意： 1 C和 2 C的公共方程所在直线即为 3 C 得： 2 4210xya，即为 3 C 2 10a 1a 考点：参数方程
31、、极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用 24选修 45：不等式选讲 已知函数123fxxx. （）在图中画出yfx的图像； （）求不等式1fx的解集 【答案】（）见解析（） 1 135 3 UU， 【解析】 试题分析：（）化为分段函数作图；（）用零点分区间法求解 试题解析：（）如图所示： （） 41 3 321 2 3 4 2 xx fxxx xx ， ， ， 1fx 当1x，41x，解得5x或3x 1x 当 3 1 2 x，321x，解得1x或 1 3 x 1 1 3 x或 3 1 2 x 全国高考文科数学(全国 1 卷 word 最强解析版 ) 17 / 17 当 3 2 x，41x，解得5x或3x 3 3 2 x或5x 综上， 1 3 x或13x或5x 1fx，解集为 1 135 3 UU， 考点：分段函数的图像，绝对值不等式的解法