全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数.pdf

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1、全国高考理科数学试题分类汇编3：三角函数 一、选择题 1 （2019 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯 WORD 版） ）已知 2 10 cos2sin,R， 则2tan A. 3 4 B. 4 3 C. 4 3 D. 3 4 【答案】C 2 （2019 年高考陕西卷（理） ）设ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 coscossinbCcBaA ，则ABC的形状为 (A) 锐角三角形(B) 直角三角形(C) 钝角三角形(D) 不确定 【答案】B 3（ 2019年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 天 津数 学 （ 理 ） 试 题 （ 含 答 案 ）

2、在 ABC中 ， ,2,3, 4 ABBCABC则 sinBAC = (A) 10 10 (B) 10 5 (C) 3 10 10 (D) 5 5 【答案】C 4 （2019 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理） 试题（含答案）将函数 sin(2)yx 的图象沿x轴 向左平移 8 个单位后，得到一个偶函数的图象，则的一个可能取值为 (A) 3 4 (B) 4 (C)0 (D) 4 【答案】B 5 （2019 年普通高等学校招生统一考试辽宁数学（理）试题（WORD 版） ）在 ABC，内角,A B C所对的 边长分别为, , .a b c 1 sincossincos, 2 aBCcBAb且

3、ab，则B A. 6 B. 3 C. 2 3 D. 5 6 【答案】A 6 （2019 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）已知函数 =cossin 2fxxx，下列结论中错误的是 (A) yfx 的图像关于 ,0 中心对称 (B)yf x的图像关于直线 2 x对称 (C)fx的最大值为 3 2 (D)fx既奇函数，又是周期函数 【答案】C 7 （2019 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案）函数cossinyxxx的图象大致 为 【答案】D 8 （2019 年高考四川卷 （理） ）函数( )2sin(),(0,) 22 f xx的部分图

4、象如图所示，则 ,的值分别是 ( ) (A)2, 3 (B)2, 6 (C)4, 6 (D)4, 3 【答案】A 9 （2019 年上海市春季高考数学试卷(含答案 ) ）既是偶函数又在区间(0)，上单调递减的函数是( ) (A)sinyx(B)cos yx (C)sin 2yx (D)cos 2yx 【答案】B 10 （2019 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理） 试题（含答案） 00 4cos50tan40 ( ) A.2 B. 23 2 C.3 D.221 【答案】C 11 （ 2019年 高 考 湖 南 卷 （ 理 ）在 锐 角 中ABC，角,A B所 对 的 边 长 分 别 为,

5、a b. 若 2 sin3 ,aBbA则角等于 A. 12 B. 6 C. 4 D. 3 【答案】D 12 （ 2019 年高考湖北卷（理）将函数3cossinyxx xR的图像向左平移0m m个长度单位 后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值是 ( ) A. 12 B. 6 C. 3 D. 5 6 【答案】B 二、填空题 13 （2019 年普通高等学校招生统一考试浙江数学（理）试题（纯WORD 版） ）ABC中， 0 90C，M 是BC的中点，若 3 1 sinBAM，则BACsin_. 【答案】 6 3 14（2019 年高考新课标1 （理） ）设当x时，函数( )sin2cosf

6、xxx取得最大值，则cos_ 【答案】 2 5 5 . 15 （ 2019 年普通高等学校招生统一考试福建数学（理）试题（纯WORD 版） ）如图ABC中，已知点D 在 BC边上， ADAC ， 22 sin,3 2,3 3 BACABAD则BD的长为 _ 【答案】3 16 （ 2019 年上海市春季高考数学试卷( 含答案 ) ）函数2sinyx的最小正周期是_ 【答案】 2 17 （ 2019 年高考四川卷（理）设sin2sin，(,) 2 ，则tan2的值是 _. 【答案】3 18 （ 2019年 高 考 上 海 卷 （ 理 ）若 12 cos cossinsin,sin 2sin2 23

7、 xyxyxy，则 sin()_xy 【答案】 2 sin() 3 xy. 19 （ 2019年 高 考 上 海 卷 （ 理 ） ）已 知 ABC 的 内 角A、 B、 C 所 对 应 边 分 别 为a、 b、 c ，若 222 32330aabbc，则角 C的大小是 _( 结果用反三角函数值表示) 【答案】 1 arccos3C 20 （ 2019 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理）WORD 版含答案（已校对） ）已知是第三象限角， 1 sin 3 a，则cota_. 【答案】2 2 21 （ 2019 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题）

8、 ）函数 ) 4 2sin(3xy的最小正周期为_. 【答案】 22 （2019 年上海市春季高考数学试卷(含答案 ) ）在 ABC中， 角A B C 、 所对边长分别为 a b c、 ，若 5860abB o ，则b=_ 【答案】7 23 （2019 年普通高等学校招生统一考试安徽数学（理）试题（纯WORD 版） ）设 ABC的内角 ,A B C所对边的长分别为, ,a b c. 若2bca，则3sin5sin,AB则角C_. 【答案】 3 2 24 （2019 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学（理）（纯 WORD 版含答案）设为第二象限角，若 1 tan() 42 ，则sincos_

9、. 【答案】 10 5 25 （ 2019 年高考江西卷（理）函数 2 sin 22 3 sinyxx的最小正周期为T为_. 【答案】 26 （ 2019 年上海市春季高考数学试卷( 含答案 ) ）函数4sin3cosyxx的最大值是 _ 【答案】5 三、解答题 27 （ 2019 年高考北京卷（理）在ABC中，a=3，b=26，B=2A. (I) 求 cosA的值 ; (II)求c的值 . 【答案】解:(I)因为a=3，b=26，B=2A. 所以在 ABC 中，由正弦定理得 32 6 sinsin 2AA . 所以 2sincos2 6 sin3 AA A . 故 6 cos 3 A. (I

10、I)由 (I)知 6 cos 3 A，所 以 2 3 sin1cos 3 AA. 又 因 为 B=2A ，所 以 21 cos2cos1 3 BA. 所以 2 22 sin1cos 3 BB. 在ABC中， 5 3 sinsin()sincoscossin 9 CABABAB. 所以 sin 5 sin aC c A . 28 （ 2019 年高考陕西卷（理）已知向量 1 (cos ,),(3sin,cos2), 2 xxxxabR ，设函数( )f xa b . ( ) 求f (x)的最小正周期 . ( ) 求f (x)在0, 2 上的最大值和最小值. 【答案】解:( ) ( )f xa b

11、=) 6 2sin(2cos 2 1 2sin 2 3 2cos 2 1 sin3cosxxxxxx. 最小正周期 2 2 T. 所以), 6 2sin()(xxf最小正周期为. ( ) 上的图像知，在，由标准函数时，当 6 5 , 6 - sin 6 5 , 6 - ) 6 2( 2 , 0xyxx . 1 , 2 1 ) 2 (), 6 - () 6 2sin()(ffxxf. 所以，f (x)在0, 2 上的最大值和最小值分别为 2 1 , 1. 29 （2019 年普通高等学校招生统一考试重庆数学（理）试题（含答案）在 ABCV 中，内角,A B C的对 边分别是, ,a b c，且

12、222 2ababc. (1) 求C; (2)设 2 coscos 3 22 coscos, 5cos5 AB AB，求tan的值 . 【 答案】 由题意得 30 （ 2019年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 天 津 数 学 （ 理 ） 试 题 （ 含 答 案 ）已 知 函 数 2 ( )2sin 26sincos2cos 4 1,f xxxxxx R . ( ) 求f(x) 的最小正周期 ; ( ) 求f(x) 在区间0, 2 上的最大值和最小值. 【答案】 31 （ 2019年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试 辽 宁 数 学 （ 理 ） 试 题 （ WOR

13、D版 ）设 向 量 3 sin ,sin,cos ,sinx,0,. 2 axxbxx (I) 若.abx求 的值；(II)设函数,.fxa bfxg 求的最大值 【答案】 32 （ 2019 年高考上海卷（理）(6 分+8 分) 已知函数( )2sin()f xx，其中常数 0; (1) 若( )yf x在 2 , 43 上单调递增，求的取值范围 ; (2) 令2， 将函数( )yf x的图像向左平移 6 个单位，再向上平移1 个单位，得到函数( )yg x 的图像，区间 , a b(,a bR且ab) 满足 :( )yg x在 , a b上至少含有30 个零点，在所有满足上 述条件的 ,

14、a b中，求ba的最小值 . 【答案】(1) 因为0，根据题意有 3 42 0 24 32 (2) ( )2sin(2)f xx，( )2sin(2()12sin(2)1 63 g xxx 1 ( )0sin(2) 323 g xxxk或 7 , 12 xkkZ， 即( )g x的零点相离间隔依次为 3 和 2 3 ， 故若( )yg x在 , a b上至少含有30 个零点，则ba的最小值为 243 1415 333 . 33 （2019 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学（理） WORD 版含答案 （已校对） ）设ABC的内角,A B C 的对边分别为, ,a b c，()()abcabc

15、ac. (I) 求B (II)若 31 sinsin 4 AC，求C. 【答案】 34 （ 2019年 高 考 四 川 卷 （ 理 ）在 ABC 中 ，角,A B C的 对 边 分 别 为, ,a b c，且 23 2coscossin()sincos() 25 AB BABBAC. ( ) 求cosA的值 ; ( ) 若4 2a，5b，求向量BA u u u r 在BC uuu r 方向上的投影. 【答案】解:由 23 2coscossinsincos 25 AB BABBAC，得 3 cos1 cossinsincos 5 ABBABBB ， 即 3 coscossinsin 5 ABBA

16、BB， 则 3 cos 5 ABB，即 3 cos 5 A 由 3 cos,0 5 AA，得 4 sin 5 A， 由正弦定理，有 sinsin ab AB ，所以， sin2 sin 2 bA B a . 由题知ab，则AB，故 4 B. 根据余弦定理，有 2 22 3 4 2525 5 cc ， 解得1c或7c( 舍去 ). 故向量BA uu u r 在BC uuu r 方向上的投影为 2 cos 2 BAB uu u r 35 （ 2019 年普通高等学校招生统一考试山东数学（理）试题（含答案） ）设ABC的内角 ,A B C所对的边 分别为 , ,a b c， 且6ac，2b， 7 c

17、os 9 B. ( ) 求,a c的值; () 求sin()AB的值 . 【答案】解:( ) 由余弦定理 222 2cosbacacB ，得 2 2 2(1 cos )bacacB ， 又 6ac ， 2b ， 7 cos 9 B ，所以 9ac ，解得 3a ， 3c . ( ) 在 ABC中， 2 4 2 sin1cos 9 BB ， 由正弦定理得 sin2 2 sin 3 aB A b ， 因为 ac ，所以A为锐角，所以 2 1 cos1sin 3 AA 因此 10 2 sin()sincoscossin 27 ABABAB . 36 （ 2019年 普 通 高 等 学 校 招 生 统

18、 一 考 试 安 徽 数 学 （ 理 ） 试 题 （ 纯WORD版 ）已 知 函 数 ( )4cossin(0) 4 f xxx 的最小正周期为. ( ) 求的值; () 讨论( )f x在区间 0,2 上的单调性 . 【答案】解: ( )2) 4 2sin(2)12cos2(sin2)cos(sincos22xxxxxx 1 2 2 . 所以1,2) 4 2sin(2)(xxf ( ) ；解得，令时，当 824 2 4 , 4 ) 4 2( 2 , 0xxxx 所以. 28 8 , 0)(上单调递减，上单调递增；在在xfy 37 （ 2019年 普 通 高 等 学 校 招 生 统 一 考 试

19、 福 建 数 学 （ 理 ） 试 题（ 纯WORD版 ）已 知 函 数 ( )sin()(0,0)f xx的周期为，图像的一个对称中心为(,0) 4 ，将函数( )f x图 像上的所有点的横坐标伸长为原来的2 倍( 纵坐标不变 ) ，在将所得图像向右平移 2 个单位长度后得到函 数( )g x的图像 . (1) 求函数( )f x与( )g x的解析式 ; (2) 是否存在 0 (,) 64 x，使得 0000 (),(),() ()f xg xf xg x按照某种顺序成等差数列?若存在，请确定 0 x的个数 ; 若不存在，说明理由 . (3) 求实数a与正整数n，使得( )( )( )F x

20、f xag x在(0,)n内恰 有 2019 个零点 . 【答案】解:( ) 由函数( )sin()f xx的周期为，0，得2 又曲线( )yf x的一个对称中心为(,0) 4 ，(0,) 故()sin(2)0 44 f，得 2 ，所以( )cos2f xx 将函数( )fx图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍 ( 纵坐标不变) 后可得cosyx的图象，再将 cosyx的图象向右平移 2 个单位长度后得到函数( )sing xx ( ) 当(,) 64 x时， 12 sin 22 x， 1 0cos2 2 x 所以sincos2sincos2xxxx 问题转化为方程2cos2sinsincos

21、2xxxx在(,) 64 内是否有解 设( )sinsincos22cos 2G xxxxx，(,) 64 x 则( )coscos cos22sin 2 (2sin)G xxxxxx 因为(,) 64 x，所以( )0Gx，( )G x在(,) 64 内单调递增 又 1 ()0 64 G， 2 ()0 42 G 且函数( )G x的图象连续不断，故可知函数( )G x在(,) 64 内存在唯一零点 0 x， 即存在唯一的 0 (,) 64 x满足题意 ( ) 依题意，( )sincos2F xaxx，令( )sincos20F xaxx 当sin0x，即()xkkZ时，cos21x，从而()

22、xkkZ不是方程( )0F x的解，所 以方程( )0F x等价于关于x的方程 cos2 sin x a x ，()xkkZ 现研究(0,)( ,2 )xU时方程解的情况 令 cos2 ( ) sin x h x x ，(0,)( ,2 )xU 则问题转化为研究直线ya与曲线( )yh x在(0,)(,2 )xU的交点情况 2 2 cos (2sin1) ( ) sin xx h x x ，令( )0h x，得 2 x或 3 2 x 当x变化时，( )h x和( )h x变化情况如下表 x (0,) 22 (,) 2 3 ( ,) 2 3 2 3 (,2 ) 2 ( )h x 00 ( )h

23、xZ 1 Z 当0x且x趋近于0时，( )h x趋向于 当x且x趋近于时，( )h x趋向于 当x且x趋近于时，( )h x趋向于 当2x且x趋近于2时，( )h x趋向于 故当1a时，直线ya与曲线( )yh x在(0,)内有无交点，在(,2 )内有2个交点 ; 当1a时，直线ya与曲线( )yh x在(0,)内有2个交点，在( ,2 )内无交点 ; 当11a时，直线ya与曲线( )yh x在(0,)内有2个交点，在( ,2 )内有2个交点 由函数( )h x的周期性，可知当1a时，直线ya与曲线( )yh x在(0,)n内总有偶数个交点， 从而不存在正整数n，使得直线ya与曲线( )yh

24、x在(0,)n内恰有2013个交点 ; 当1a时，直 线ya与曲线( )yh x在(0,)( ,2 )U内有3个交点，由周期性，20133 671，所以 671 21342n 综上，当1a，1342n时，函数( )( )( )F xf xag x在(0,)n内恰有2013个零点 38 （ 2019 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题） ）本小题满分 14 分. 已知(cos,sin)(cos,sin)ab rr ，0. (1) 若|2ab rr ，求证 :ab rr ;(2) 设(0,1)c r ，若abc rrr ，求,的值 . 【答案】解:(1)

25、 2|ba 2| 2 ba即22 222 bbaaba， 又1sincos| 222 2 aa， 1sincos| 222 2 bb222ba0baba (2) ) 1 ,0()sinsin,cos(cosba 1sinsin 0coscos 即 sin1sin coscos 两 边 分 别 平 方 再 相 加 得 :sin221 2 1 sin 2 1 sin0 6 1 , 6 5 39 （ 2019 年普通高等学校招生统一考试广东省数学（理）卷 （纯 WORD 版） ）已知函数( )2 cos 12 fxx ， xR. ( ) 求 6 f的值; () 若 3 cos 5 ， 3 ,2 2

26、，求2 3 f. Z#X#X#K 【答案】( )2 cos2 cos2 cos1 661244 f ; ( ) 22cos 22 cos 2cos2sin 2 33124 f 因为 3 cos 5 ， 3 ,2 2 ，所以 4 sin 5 ， 所以 24 sin22sincos 25 ， 227 cos2cossin 25 所以2 3 fcos2sin 2 72417 252525 . 40 （ 2019 年高考湖南卷（理）已知函数 2 ( )sin()cos(). ( )2sin 632 x f xxxg x. (I) 若是第一象限角，且 3 3 ( ) 5 f. 求()g的值 ; (II)

27、求使( )( )fxg x成立的 x 的取值集合 . 【答案】解: (I) 5 33 sin3)(sin3sin 2 3 cos 2 1 cos 2 1 sin 2 3 )(fxxxxxxf. 5 1 cos1 2 sin2)(, 5 4 cos) 2 , 0(, 5 3 sin 2 g且 (II) 2 1 ) 6 sin(cos 2 1 sin 2 3 cos1sin3)()(xxxxxxgxf Zkkkxkkx, 3 2 2,2 6 5 2 , 6 2 6 41 （ 2019 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷（数学）（已校对纯WORD 版含附加题） ）本小题满分 16 分. 如图，

28、游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另 一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C. 现有甲 . 乙两位游客从A处下山，甲沿 AC匀速步行，速度为min/50m. 在甲出发min2后，乙从A乘缆车到B，在B处停留min1后， 再从匀速步行到C. 假设缆车匀速直线运动的速度为min/130m，山路AC长为m1260，经测量， 13 12 cosA， 5 3 cosC. (1) 求索道AB的长 (2) 问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短? (3) 为使两位游客在 C处互相等待的时间不超过3分钟， 乙步行的速度应控制在什么范围内? 【答案】解

29、:(1) 13 12 cosA， 5 3 cosC ），（、 2 0CA 13 5 sinA， 5 4 sinC 65 63 sincoscossinsinsinsinCACACACAB）（）（ 根据 sinBsinC ACAB 得mC AC AB1040sin sinB (2) 设乙出发t 分钟后，甲. 乙距离为d，则 13 12 )50100(1302)50100()130( 222 ttttd )507037(200 22 ttd 130 1040 0t即80t C B A 37 35 t时，即乙出发 37 35 分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短. (3) 由正弦定理 sinBsinA

30、ACBC 得500 13 5 65 63 1260 sin sinB A AC BC(m) 乙从 B出发时，甲已经走了50(2+8+1)=550(m) ，还需走 710 m 才能到达C 设乙的步行速度为V min/m，则3 50 710500 v 3 50 710500 3 v 14 625 43 1250 v 为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在 14 625 , 43 1250 范围内 法二 : 解:(1)如图作BDCA于点D， 设BD=20k，则DC=25k，AD=48k， AB=52k，由AC=63k=1260m ， 知:AB=52k=1040m. (2)

31、 设乙出发x分钟后到达点M， 此时甲到达N点，如图所示 . 则:AM=130x，AN=50(x+2)， 由余弦定理得:MN 2=AM2+AN2- 2 AMANcosA=7400 x 2-14000 x+10000， 其中 0x8，当x=35 37 (min) 时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短. (3) 由(1) 知:BC=500m ，甲到C用时 : 1260 50 = 126 5 (min). 若甲等乙3 分钟，则乙到C用时 : 126 5 +3= 141 5 (min)，在 BC上用时 : 86 5 (min) . 此时乙的速度最小，且为:500 86 5 = 1250 43 m/

32、min. 若乙等甲3 分钟，则乙到C用时 : 126 5 -3= 111 5 (min)，在 BC上用时 : 56 5 (min) . 此时乙的速度最大，且为:500 56 5 = 625 14 m/min. 故乙步行的速度应控制在 1250 43 ， 625 14 范围内 . 42 （2019 年普通高等学校招生统一考试新课标卷数学 （理） （纯 WORD 版含答案）ABC在内角,A B C的 对边分别为, ,a b c，已知cossinabCcB. C B A D M N ( ) 求B; ( ) 若2b，求ABC面积的最大值. 【答案】 43 （2019 年高考湖北卷（理） ）在ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c. 已知 cos23cos1ABC. (I) 求角A的大小 ; (II)若ABC的面积5 3S，5b，求sinsinBC的值 . 【答案】解:(I)由已知条件得:cos23cos1AA 2 2cos3cos20AA，解得 1 cos 2 A，角60A (II) 1 sin5 3 2 SbcA4c，由余弦定理得 : 2 21a， 2 2 2 228 sin a R A 2 5 sinsin 47 bc BC R