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1、哈师大附中 2013-2014高二上学期期末考试 理科数学试题 一 。选择题：（每小题5 分，共 60 分） 1.圆02 22 1 xyxO ：和圆04 22 2 yyxO ：的位置关系是（） A. 相离B.相交C.相切D.不确定 2.命题：“存在 0 , sin2 o xRx”的否定是（） A. 不存在2sin, 0o xRxB. 存在2sin, 0o xRx C. 对任意2sin,xRxD. 对任意2sin,xRx 3.直线0323yx截圆4 22 yx得的劣弧所对圆心角为（） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 4. “1x”是“1x”的（） A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
2、 C. 充分必要条件D.既不充分也不必要条件 5.椭圆1 925 22 yx 上一点M到焦点 1 F的距离为2，N 为 1 MF的中点，O为原点，则 ON( ) A. 2 B. 4 C. 6 D. 2 3 6.从 1，2，3，4， 5中任意取出两个不同的数，其和为奇数的概率为（） A. 5 4 B. 5 3 C. 5 2 D. 5 1 7.椭圆1 416 22 yx 上的两点A、B 关于直线0322yx对称，则弦AB 的中点坐标为 （） A.) 2 1 , 1(B. )1, 2 1 (C. )2, 2 1 (D. ) 2 1 , 2( 8. 5 xa的展开式中 3 x的系数等于10，则a的值为
3、（） A. 1aB. 1aC. 1aD. 2a 9. 过点)0 ,2(M的直线l与抛物线xy 2 交于 A,B 两点，则OBOA的值为（） A.0 B.1 C.2 D.3 10.直线bxy与曲线 2 1yx有且仅有一个公共点，则b的取值范围是（） A.2bB. 211bb或C. -10,b0）的左、 右焦点，若双曲线的右支上存在 一点 P，使0 21 PFPF,且 21PF F的三边长构成等差数列，则此双曲线的离心率为 （） A.2B. 3C. 2 D.5 二填空题： （每小题5 分，共 20 分） 13.以抛物线xy12 2 的焦点为圆心，且与双曲线1 916 22 yx 的两条渐近线相切的
4、圆的方 程为 _. 14.从区间1 ,0内任取两个数，则这两个数的和小于 2 1 的概率为 _. 15.由数字0,1,2,3,4,5 组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字的个数有 _个. 16. 6 21 1 x xx展开式中的常数项为_. 三、解答题： （共 7 0 分） 17.（本题 10 分） 设:p12axx；:q曲线 2 231yxax与x轴交于不同的两点，如果 pq为真命题，pq为假命题，求实数a的取值范围 . 18.（本题 12 分） 在新年联欢晚会上，游戏获胜者甲和乙各有一次抽奖机会，共有10 个奖品，其中一等 奖 6 个，二等奖4 个，甲、乙二人依次抽取。 （1
5、）甲抽到一等奖，乙抽到二等奖的概率是多少？ （2）甲、乙二人中至少有一人抽到一等奖的概率是多少？ 19. （本题 12 分） 在直角坐标系中，直线l经过点)0, 3(P，倾斜角 4 . （1）写出直线 l的参数方程； (2) 以原点为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线cos4：C与直线 l相交于 A、B 两点，求AB 中点坐标及点P 到 A、B 两点距离之积 . 20. （本题 12 分） 抛物线 C：)0(2 2 ppxy的焦点为F， 抛物线 C 上点 M 的横坐标为2， 且. 3MF （1）求抛物线C 的方程； （2）过焦点F 作两条相互垂直的直线，分别与抛物线C 交于 M、N
6、 和 P、Q 四点，求 四边形 MPNQ 面积的最小值. 21. （本题 12 分） 已知四棱锥ABCDP的底面为直角梯 形,DCAB/, 0 90DAB,ABCDPA底面， 且1 2 1 ABDCADPA,M 为 PB 中点 . (1) 证明：CMAB； (2) 求 AC 与 PB 所成的角的余弦值； （3）求二面角BMCA的余弦值 . 22. （本题 12 分） 已知椭圆C的中心在原点，一个焦点为)2,0(F，且长轴长与短轴长的比为1:2. (1) 求椭圆C的方程； (2) 若椭圆C上在第一象限内的一点P 的横坐标为1,过点 P 作倾斜角互补的两条不同 的直 线 PA,PB 分别交椭圆C
7、于另外两点A,B. 求证 : 直线 AB 的斜率为定值 . 高二上学期期末考试数学答案2014.1 一、选择题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B C C A B B D C C B B D 二、填空题 13. 25 81 3 22 yx14. 8 1 15.30016.5 三、解答题 17. （本题满分10 分） C B A D M P 解：12axx12a13:aap或 3 分 ：q曲线 2 231yxax与x轴交于不同的两点0 2 5 2 1 aaq或： 6 分 由pq为真命题，pq为假命题 ,可知1 2 1 3 2 5 aa或 10 分 18. （本题满分12 分
8、） 解： (1) 15 4 2 10 1 4 1 6 A CC 6 分(2) 15 132 2 10 2 6 1 4 1 6 A ACC 12 分 19. （本题满分12 分） 解： (1) 为参数）t ty tx ( 2 2 2 2 3 4 分 (2) cos4：Cxyx4 22 6 分 将为参数）t ty tx ( 2 2 2 2 3 代入xyx4 22 得032 2 tt 8 分 02 21 tt 2 2 2 21 tt 代入为参数）t ty tx ( 2 2 2 2 3 得 AB 中点坐标为 2 1 , 2 5 . 10 分 P 到 A、B 两点距离之积为3 21 tt 12 分 20
9、 （本题满分12 分） 解：（1）由已知： 233 2 P P 故抛物线C 的方程为： 2 4yx 4 分 （2）由（ 1）知：(1,0)F 设MN:1xmy 1 :1(0 )P Qxym m 6 分 由 2 1 4 xmy yx 得： 2 440ymy 22 161616(1)0mmQV 222 1414(1)MNmmmg g 8 分 同理： 2 1 4(1)PQ m 10 分 所以：四边形MPNQ 的面积： 2 2 11 8(1)(1) 2 SMN PQm m 2 2 1 8(2)32m m （当且仅当 2 2 1 m m 即：1m时等号成立） 所以：四边形MPNQ 的面积的最小值为32.
10、 12 分 21 （本题满分12 分） 解：以 A 为原点，以AD,AB,AP所在的直线为, ,x y z轴（如图）建立空间直角坐标 系。 由已知： A(0，0，0) , B(0，2，0) ,C(1，1，0) ,D (1,0,0) , P (0,0,1) , M (0,1, 1 2 ) 2 分 (1) 1 (0,2,0)( 1,0, ) 2 ABCM uu u ruuu r Q 0ABCM uu u ruuu r 即：ABCM 4 分 (2)(1,1,0)(0,2, 1)ACPB uuu ruur Q 210 , 5 25 COSAC PB uu u r uu r g 故 AC,PB 所成角的
11、余弦值为 10 5 8 分 （ 3）设 ( , , )nx y z r 为平面 AMC 的法向量，则： (,) (1, 1, 0 )n A Cx y zxy ruuur gg 11 ( , , ) (0,1, )0 22 n AMx y zyz r uuu r gg 取2z，则11yx即：(1, 1,2)n r 同理可求得平面MCB 的一个法向量为 (1,1,2)m u r 10 分 42 cos, 3 66 n m r u r Q g 二面角 AMC-B 所成角的余弦值为 2 3 12 分 22 （本题满分12 分） 解： （1）由已知可设椭圆C 的方程为： 22 22 1(0) yx ab
12、 ab 依题意： 2 a b 且 22 2ab解得： 22 42ab 故椭圆 C 的方程为： 22 1 42 yx 4 分 （2）由（ 1）知： P (1，2) 由已知设PA：2(1)yk x即：(2)ykxk PB:2(1)yk x即：(2)ykxk 6 分 由 22 (2) 24 ykxk xy 得： 222 (2)2 (2)2 220kxk kkk 设 1122 (,)(,)A xyB xy则： 2 12 22 2 1 2 kk x k 故： 2 12 222 2 kk x k 同理： 2 22 2 22 2 kk x k 10 分 直线 AB 的斜率 2 2 1212 1212 2 24 2 ()2 2 4 2 2 AB k kk yyk xxk k k xxxx k k 8 2 4 2 k k 所以：直线AB 的斜率为定值。 12 分