《课时作业：第一章导数及其应用1.2.1_1.2.2几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《课时作业：第一章导数及其应用1.2.1_1.2.2几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则一.pdf（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.2.1 几个常用函数的导数 1.2.2 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(一) 明目标、知重点 1能利用给出的基本初等函数的导数公式求简单函数的导数 2能根据定义求函数yc，yx，yx 2， y 1 x， yx的导数 1几个常用函数的导数 原函数导函数 f(x) c f(x) 0 f(x) x f(x) 1 f(x) x 2 f(x) 2x f(x) 1 x f(x) 1 x 2 f(x) x f(x) 1 2x 2. 基本初等函数的导数公式 原函数导函数 f(x)c f(x) 0 f(x) x ( Q * )f(x) x 1 f(x) sin x f(x) cos_x f(x) c
2、os x f(x) sin_x f(x) a x f(x)a xln_ a(a0) f(x) e x f(x) e x f(x) logax f(x) 1 xln a( a0且a1) f(x) ln x f(x) 1 x 情境导学 在前面，我们利用导数的定义能求出函数在某一点处的导数，那么能不能利用导数的定义求 出比较简单的函数及基本函数的导数呢？这就是本节要研究的问题 探究点一几个常用函数的导数 思考 1 怎样利用定义求函数yf(x) 的导数？ 答 (1)计算 y x，并化简； (2) 观察当 x趋近于 0 时， y x趋近于哪个定值； (3) y x趋近于的定值就是函数 yf(x) 的导数
3、 思考 2 利用定义求下列常用函数的导数： yc，yx，yx 2， y 1 x， yx. 答y 0，y 1，y 2x，y lim x0 y x lim x0 1 xx 1 x x lim x0 1 x x x 1 x 2(其它类同 )， y 1 2x . 思考 3 导数的几何意义是曲线在某点处的切线的斜率物理意义是运动物体在某一时刻的 瞬时速度 (1) 函数yf(x)c( 常数 ) 的导数的物理意义是什么？ (2) 函数yf(x)x的导数的物理意义呢？ 答 (1)若yc表示路程关于时间的函数， 则y 0 可以解释为某物体的瞬时速度始终为0，即一直处于静止状态 (2) 若yx表示路程关于时间的函
4、数，则y 1 可以解释为某物体做瞬时速度为1 的匀速运 动 思考 4 在同一平面直角坐标系中，画出函数y 2x，y3x，y4x的图象，并根据导数定 义，求它们的导数 (1) 从图象上看，它们的导数分别表示什么？ (2) 这三个函数中，哪一个增加得最快？哪一个增加得最慢？ (3) 函数ykx(k0)增 ( 减) 的快慢与什么有关？ 答函数y 2x，y3x，y4x的图象如图所示， 导数分别为y 2，y 3，y 4. (1) 从图象上看，函数y2x，y3x，y4x的导数分别表示这三 条直线的斜率 (2) 在这三个函数中，y4x增加得最快，y2x增加得最慢 (3) 函数ykx(k0) 增加的快慢与k有
5、关系，即与函数的导数有关系，k越大，函数增加得越 快，k越小，函数增加得越慢 函数ykx(k0时， 随着x的增加，函数减少得越来越慢 点(1,1) 处切线的斜率就是导数y|x1 1 1 2 1，故斜率为1，过 点(1,1) 的切线方程为yx 2. 思考 6 利用导数的定义可以求函数的导函数，但运算比较繁杂，有些函数式子在中学阶段 无法变形，怎样解决这个问题？ 答可以使用给出的导数公式进行求导，简化运算过程，降低运算难度 探究点二基本初等函数的导数公式 思考你能发现8 个基本初等函数的导数公式之间的联系吗？ 答公式 6 是公式 5 的特例，公式8 是公式 7 的特例 例 1 求下列函数的导数：
6、(1)ysin 3 ；(2)y5 x；(3) y 1 x 3；(4)y 4 x 3； (5)ylog3x. 解 (1)y 0； (2)y (5 x) 5x ln 5 ； (3)y 1 x 3 (x 3) 3x4； (4)y ( 4 x 3) ( x3 4) 3 4x 1 4 3 4 4 x ； (5)y (log3x) 1 xln 3 . 反思与感悟对于教材中出现的8 个基本初等函数的导数公式，要想在解题过程中应用自 如，必须做到以下两点：一是正确理解，如sin 3 3 2 是常数，而常数的导数一定为零，就 不会出现sin 3 cos 3 这样的错误结果二是准确记忆，灵活变形如根式、分式可转化
7、 为指数式，利用公式2 求导 跟踪训练1 求下列函数的导数： (1)yx 8；(2) y( 1 2) x；(3) yxx；(4)ylog 1 3x. 解 (1)y 8x 7； (2)y ( 1 2) xln 1 2 ( 1 2) xln 2 ； (3) yxxx3 2， y 3 2x 1 2； (4)y 1 xln 1 3 1 xln 3 . 例 2 判断下列计算是否正确 求ycos x在x 3 处的导数，过程如下： y|x 3 cos 3 sin 3 3 2 . 解错误应为y sin x， y|x 3 sin 3 3 2 . 反思与感悟函数f(x) 在点x0处的导数等于f(x) 在点xx0处
8、的函数值在求函数在某 点处的导数时可以先利用导数公式求出导函数，再将x0代入导函数求解，不能先代入后求导 跟踪训练2 求函数f(x) ln x在x1 处的导数 解f(x) (ln x) 1 x， f(1) 1， 函数f(x) 在x1 处的导数为1. 探究点三导数公式的综合应用 按照基本初等函数的导数公式，我们可以解决两类问题： (1) 可求基本初等函数图象在某一点P(x0，y0) 处的切线方程 (2) 知切线斜率可求切点坐标 例 3 已知直线l: 2xy4 0 与抛物线yx 2 相交于A、B两点，O是坐标原点，试求与 直线l平行的抛物线的切线方程，并在弧AOB上求一点P，使ABP的面积最大 解
9、设P(x0，y0)为切点，过点P与AB平行的直线斜率ky 2x0，k2x02，x0 1，y01. 故可得P(1,1)，切线方程为2xy10. 由于直线l: 2xy40 与抛物线yx 2 相交于A、B两点，所以 |AB| 为定值，要使ABP的 面积最大，只要P到AB的距离最大，故P(1,1) 点即为所求弧 AOB上的点，使 ABP的面积最 大 反思与感悟利用基本初等函数的求导公式，可求其图象在某一点P(x0，y0) 处的切线方程， 可以解决一些与距离、面积相关的几何的最值问题，一般都与函数图象的切线有关解题时 可先利用图象分析取最值时的位置情况，再利用导数的几何意义准确计算 跟踪训练3 点P是曲
10、线ye x 上任意一点，求点P到直线yx的最小距离 解根据题意设平行于直线yx的直线与曲线ye x 相切于点 (x0，y0) ，该切点即为与yx 距离最近的点，如图则在点(x0，y0) 处的切线斜率为1， 即y|xx01. y (e x) ex， ex0 1，得x00，代入ye x，得 y0 1，即P(0,1) 利用点到直线的距离公式得距离为 2 2 . 1给出下列结论： 若y 1 x 3，则y 3 x 4； 若y 3 x，则y 1 3 3 x； 若y 1 x 2，则y 2x 3； 若f(x) 3x，则f(1) 3. 其中正确的个数是( ) A1 B 2 C 3 D 4 答案 C 解析y 1
11、x 3x 3， 则y 3x 4 3 x 4； y 3 xx1 3，则 y 1 3 x 2 3 1 3 3 x； y 1 x 2x 2，则 y 2x 3； 由f(x) 3x，知f(x) 3， f(1) 3. 正确 2函数f(x) x，则f(3) 等于 ( ) A. 3 6 B0 C. 1 2x D. 3 2 答案 A 解析f(x) (x) 1 2x， f(3) 1 23 3 6 . 3设正弦曲线ysin x上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围 是( ) A0， 4 3 4 ，) B0，) C 4 ，3 4 D0， 4 2 ，3 4 答案 A 解析(sin x) cos x
12、， klcos x， 1kl1， l0， 4 3 4 ，) 4曲线ye x 在点 (2 ，e 2) 处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 _ 答案 1 2e 2 解析y (e x) ex ，k e 2， 曲线在点 (2 ，e 2 )处的切线方程为ye 2e2( x2) ， 即ye 2 xe 2. 当x0 时，y e 2，当 y0 时，x1. S 1 21| e 2| 1 2e 2. 呈重点、现规律 1利用常见函数的导数公式可以比较简捷地求出函数的导数，其关键是牢记和运用好导数公 式解题时，能认真观察函数的结构特征，积极地进行联想化归 2有些函数可先化简再应用公式求导 如求y12sin 2x 2的
13、导数因为 y1 2sin 2x 2cos x， 所以y (cos x) sin x. 3对于正、余弦函数的导数，一是注意函数的变化，二是注意符号的变化. 一、基础过关 1下列结论中正确的个数为( ) y ln 2 ，则y 1 2； y 1 x 2，则y|x3 2 27； y 2 x ，则y 2 xln 2 ； ylog2x，则y 1 xln 2 . A0 B 1 C 2 D 3 答案 D 解析yln 2为常数，所以y0. 错 2过曲线y 1 x上一点 P的切线的斜率为4，则点P的坐标为 ( ) A. 1 2，2 B. 1 2，2 或 1 2， 2 C. 1 2， 2 D. 1 2， 2 答案
14、B 解析y 1 x 1 x 2 4，x 1 2，故选 B. 3已知f(x) x a，若 f( 1) 4，则a的值等于 ( ) A4 B 4 C 5 D 5 答案 A 解析f(x) ax a1，f ( 1)a( 1) a 1 4， a 4. 4曲线y 1 x 在xa处的切线的倾斜角为 3 4 ，则a _. 答案 1 3 4 解析y ( 1 2 x ) 1 2 3 2 x ， y|xa 1 2 3 2 a 1， a 1 3 4 . 5若曲线y 1 2 x 在点 (a， 1 2 a ) 处的切线与两个坐标轴围成的三角形的面积为18，则a等于 ( ) A64 B 32 C 16 D 8 答案 A 解析
15、y 1 2 x ，y 1 2 3 2 x ， 曲线在点 (a， 1 2 a ) 处的切线斜率k 1 2 3 2 a ， 切线方程为y 1 2 a 1 2 3 2 a(xa) 令x0 得y 3 2 1 2 a ；令y0 得x3a. 该切线与两坐标轴围成的三角形的面积为 S 1 23a 3 2 1 2 a 9 4 1 2 a18，a 64. 6曲线y 9 x在点 M(3,3) 处的切线方程是_ 答案xy6 0 解析y 9 x 2，y|x 3 1，过点 (3,3) 的斜率为 1 的切线方程为y3 (x 3) 即xy60. 7求下列函数的导数： (1)y 5 x 3；(2) y 1 x 4；(3)y
16、2sin x 2(12cos 2x 4) ；(4) ylog2x 2log 2x. 解 (1)y ( 5 x 3) ( x3 5) 3 5x 3 5 1 3 5x 2 5 3 5 5 x 2 . (2)y ( 1 x 4) (x 4) 4x41 4x54 x 5. (3) y 2sin x 2(1 2cos 2x 4) 2sin x 2(2cos 2x 41) 2sin x 2cos x 2sin x， y (sin x) cos x. (4) ylog2x 2log 2xlog2x， y (log 2x) 1 xln 2 . 二、能力提升 8已知直线ykx是曲线ye x 的切线，则实数k的值
17、为 ( ) A. 1 e B 1 e C e D e 答案 D 解析y e x，设切点为 ( x0，y0) ，则 y0kx0， y0ex0， kex0， ex0 ex0x0，x01，ke. 9(2013江西 ) 设函数f(x) 在 (0 ， ) 内可导，且f(e x) xe x，则 f(1) _. 答案 2 解析设 e x t，则xln t(t0)， f(t)ln tt f(t) 1 t 1， f(1) 2. 10求下列函数的导数： (1)yxx；(2)yx 7；(3) y 1 x 5； (4)yln 3 ； (5)yxx 3( x0) 解 (1)y (xx) ( 3 2 x) 3 2 3 1
18、 2 x 3 2 x. (2)y 7x 6. (3)y ( x 5) 5x65 x 6. (4)y(ln 3) 0. (5) 因为yxx 3，所以 y 5 2 x， 所以y ( 5 2 x) 5 2 5 1 2 x 5 2 3 2 x 5xx 2 . 11已知f(x) cos x，g(x) x，求适合f(x) g(x) 0 的x的值 解f(x) cos x，g(x) x， f(x) (cos x) sin x，g(x) x 1， 由f(x) g(x) 0，得 sin x10， 即 sin x1，但 sin x 1,1 ， sin x1，x 2k 2 ，kZ. 12已知抛物线yx 2，直线 xy
19、2 0，求抛物线上的点到直线的最短距离 解根据题意可知，与直线xy 20 平行的抛物线yx 2 的切线，对应的切点到直线x y 20 的距离最短，设切点坐标为(x0，x 2 0) ，则y|xx0 2x01， 所以x01 2，所以切点坐标为 1 2， 1 4 ， 切点到直线xy20 的距离 d 1 2 1 4 2 2 7 2 8 ， 所以抛物线上的点到直线xy20 的最短距离为 72 8 . 三、探究与拓展 13设f0(x) sin x，f1(x) f0(x) ，f2(x) f1(x) ，fn1(x) fn(x) ，nN，试求 f2 014(x) 解f1(x) (sin x) cos x， f2(x) (cos x) sin x， f3(x) ( sin x) cos x， f4(x) ( cos x) sin x， f5(x) (sin x) f1(x) ， f6(x) f2(x) ， fn4(x) fn(x) ，可知周期为4， f2 014(x) f2(x) sin x.