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1、甘肃省张掖市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）若集合 M=x| 4x8 ，N= x| x26x0 ，则 MN=（） A x| 0x4 B x| 6x8 C x| 4x6 D x| 4x8 2 （5 分）若（ 2i） 2=a+bi3（a，bR） ，则 a+b=（ ） A7 B7 C 1 D1 3（5 分） 如表是我国某城市在2017年 1 月份至 10 月份各月最低温与最高温 （ C） 的数据一览表 月份12345678910 最高温59911172427303121 最
2、低温1231271719232510 已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表， 则下列结论错 误的是（） A最低温与最高温为正相关 B每月最高温与最低温的平均值在前8 个月逐月增加 C月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1 月 D1 月至 4 月的月温差（最高温减最低温）相对于7 月至 10 月，波动性更大 4 （5 分）已知 tan（ ）=4cos（2 ） ，| | ，则 tan2 = （） ABCD 5 （5 分）已知双曲线的实轴长为 8，则该双曲线的渐近线的斜 率为（） ABCD 6 （5 分）如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于（） A2 B3 C 4 D
3、5 7 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件，则 z=4xy 的最大值为（） A3 B1 C 4 D12 8（5 分） 设 A， B是椭圆的两个焦点，点 P是椭圆 C与圆 M： x2+y2=10 的一个交点，则 | PA | | PB | =（） ABC D 9 （5 分）设 w0，函数的图象向右平移个单位后与原 图象重合，则 w 的最小值是（） ABC D 10 （5 分）f（x）=的部分图象大致是（） AB CD 11 （5 分）如图，网格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的某多面体的三 视图，则该多面体外接球的表面积为（） A52B45C 41D34 12 （5 分）已知函数，若 f（
4、m）=g（n）成立， 则 nm 的最小值为（） ABCD 二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知向量，且，则= 14 （5 分）若（ 13x） 6=a 0+a1x+a2x 2+a 3x 3+ +a 6x 6，则 = 15 （5 分）如图， E是正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 C1D1上的一点，且 BD1平 面 B1CE ，则异面直线 BD1与 CE所成成角的余弦值为 16 （5 分）在ABC中，AC=3 ，CB=4 ，边 AB的中点为 D，则= 三、解答题（本大题共7 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） （一）必
5、考题： 17 （12 分）已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，Sn=2an2， bn 为等差数列， b3=a2，b2+b6=10 （1）求数列 an ， bn的通项公式； （2）求数列 an（2bn3）的前 n 项和 Tn 18 （12 分）“ 扶贫帮困 ” 是中华民族的传统美德，某校为帮扶困难同学，采用如 下方式进行一次募捐： 在不透明的箱子中放入大小均相同的白球七个，红球三个， 每位献爱心的参与这投币20 元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个（摸完 球后将球放回），若有一个红球，奖金10 元，两个红球奖金20 元，三个全为红 球奖金 100 元 （1）求献爱心参与者中奖的概率；
6、（2）若该次募捐有 900 为献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望 19 （12 分）如图，四边形ABCD是矩形， AB=3，BC=3 ，=2，PE 平面 ABCD ，PE= （1）证明：平面 PAC 平面 PBE ； （2）求二面角 APBC的余弦值 20 （12 分）设直线 l 的方程为 x=m（y+2）+5，该直线交抛物线C：y 2=4x于 P， Q两个不同的点 （1）若点 A（5，2）为线段 PQ的中点，求直线l 的方程； （2）证明：以线段 PQ为直径的圆 M 恒过点 B（1，2） 21 （12 分）已知函数 f（x）=ax 2ex（aR） （1）若曲线 y=f（x）在 x=1
7、 处的切线与 y 轴垂直，求 y=f（x）的最大值； （2）若对任意 0x1x2都有 f（x2）+x2（22ln2）f（x1）+x1（22ln2） ，求 a 的取值范围 22 （10 分）已知曲线C1的极坐标方程为 2cos2=8 ，曲线 C2的极坐标方程为 ，曲线 C1、C2相交于 A、B 两点 （pR） （）求 A、B 两点的极坐标； （）曲线C1与直线（t 为参数）分别相交于M，N 两点，求线段 MN 的长度 23已知函数 f（x）=| xa| | x+3| ，aR （1）当 a=1 时，解不等式 f（x）1； （2）若 x 0，3 时，f（x）4，求 a 的取值范围 2018 年甘肃省
8、张掖市高考数学一模试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的. 1 （5 分）若集合 M=x| 4x8 ，N= x| x26x0 ，则 MN=（） A x| 0x4 B x| 6x8 C x| 4x6 D x| 4x8 【解答】 解：集合 M= x| 4x8， N=x| x 26x0 =x| 0x6 ， MN=x| 4x6 故选： C 2 （5 分）若（ 2i） 2=a+bi3（a，bR） ，则 a+b=（ ） A7 B7 C 1 D1 【解答】 解：（ 2i）2=34i=a+bi3=a
9、bi， a=3，b=4 a+b=7 故选： A 3（5 分） 如表是我国某城市在2017年 1 月份至 10 月份各月最低温与最高温 （ C） 的数据一览表 月份12345678910 最高温59911172427303121 最低温1231271719232510 已知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，根据该一览表， 则下列结论错 误的是（） A最低温与最高温为正相关 B每月最高温与最低温的平均值在前8 个月逐月增加 C月温差（最高温减最低温）的最大值出现在1 月 D1 月至 4 月的月温差（最高温减最低温）相对于7 月至 10 月，波动性更大 【解答】 解：根据题意，依次分析选项：
10、对于 A，知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，由数据分析可得最低温 与最高温为正相关，则A 正确； 对于 B，由表中数据，每月最高温与最低温的平均值依次为：3.5，3，5，4.5， 12，20.5，23，26.5，28，15.5，在前 8 个月不是逐月增加，则B错误； 对于 C，由表中数据，月温差依次为：17，12，8，13，10，7，8，7，6，11； 月温差的最大值出现在1 月，C正确； 对于 D，有 C的结论，分析可得1 月至 4 月的月温差相对于7 月至 10 月，波动 性更大， D正确； 故选： B 4 （5 分）已知 tan（ ）=4cos（2 ） ，| | ，则 tan2
11、= （） ABCD 【解答】 解： tan（ ）=4cos（2 ） ， =4cos ， 又| | ，cos 0， sin，cos=，tan=， tan2= 故选： B 5 （5 分）已知双曲线的实轴长为 8，则该双曲线的渐近线的斜 率为（） ABCD 【解答】 解：双曲线的实轴长为 8， 可得： m2+12=16，解得 m=2，m=2（舍去） 所以，双曲线的渐近线方程为： 则该双曲线的渐近线的斜率： 故选： C 6 （5 分）如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果等于（） A2 B3 C 4 D5 【解答】 解：模拟程序的运行，可得： a=2，s=0，n=1， s=2，a=， 满足条件 s
12、3，执行循环体， n=2，s=2+=，a=， 满足条件 s3，执行循环体， n=3，s= +=，a= ， 此时，不满足条件s3，退出循环，输出n 的值为 3 故选： B 7 （5 分）若实数 x，y 满足约束条件，则 z=4xy 的最大值为（） A3 B1 C 4 D12 【解答】 解：实数 x，y 满足约束条件， 表示的平面区域如图所示， 当直线 z=4xy 过点 A 时，目标函数取得最大值， 由解得 A（3，0） ， 在 y 轴上截距最小，此时z 取得最大值： 12 故选： D 8（5 分） 设 A， B是椭圆的两个焦点，点 P是椭圆 C与圆 M： x2+y2=10 的一个交点，则 | P
13、A | | PB | =（） ABC D 【解答】 解：A，B 是椭圆的两个焦点，可知： A（，0） 、B （，0） ， 圆 M：x2+y2=10恰好经过 AB两点，点 P是椭圆 C与圆 M：x2+y2=10的一个交点， 可得 PAPB ， 所以， 可得： 2| PA | PB| =8，| PA| | PB| 2=32， | PA | | PB | =4 故选： C 9 （5 分）设 w0，函数的图象向右平移个单位后与原 图象重合，则 w 的最小值是（） ABC D 【解答】解：函数的图象向右平移个单位后与原图象重 合， =，则 =， 故选： A 10 （5 分）f（x）=的部分图象大致是（）
14、 AB CD 【解答】 解： f（x）=f（x）函数 f（x）为奇函数，排除A， x（0，1）时， xsinx，x 2+x20，故 f（x）0，故排除 B； 当 x+时， f（x）0 ，故排除 C； 故选： D 11 （5 分）如图，网格纸上的小正方形的边长为，粗实线画出的某多面体的三 视图，则该多面体外接球的表面积为（） A52B45C 41D34 【解答】 解：由三视图可知：该几何体为一个四棱锥，底面ABCD是矩形，其中 AB=4，AD=6，侧面 PBC 底面垂 ABCD 设 AC BD=O ，则 OA=OB=OC=OD=，OP=， O 该多面体外接球的球心，半径R=，该多面体外接球的表面
15、积为 S=4R 2=52 故选： A 12 （5 分）已知函数，若 f（m）=g（n）成立， 则 nm 的最小值为（） ABCD 【解答】 解：不妨设 f（m）=g（n）=t， e4m 1= +ln（2n）=t， （t0） 4m1=lnt，即 m=（1+lnt） ，n=e， 故 nm=e（1+lnt） ， （t0） 令 h（t）= e（1+lnt） ， （t0） ， h （t）=e，易知 h （t）在（0，+）上是增函数，且 h （）=0， 当 t时，h （t）0， 当 0t时，h （t）0， 即当 t=时，h（t）取得极小值同时也是最小值， 此时 h（）=（1+ln）=，即 nm 的最小值为
16、； 故选： C 二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 13 （5 分）已知向量，且，则= 【解答】 解：，=62m=0， 解得 m=3 =（6，2）2（1，3）=（4，8） =4 故答案为： 14 （5 分）若（ 13x）6=a0+a1x+a2x 2+a 3x 3+ +a 6x 6，则 =4 【解答】 解：若（ 13x）6=a0+a1x+a2x 2+a3x3+ +a6x6， 则（13x）6的通项公式为 Tr+1=（3x）r，r=0，1，2， ，6， 可得 a2=9=135， a3=27=540， 可得=4 故答案为： 4 15 （5 分）如图， E是正方体 ABCD A
17、1B1C1D1的棱 C1D1上的一点，且 BD1平 面 B1CE ，则异面直线 BD1与 CE所成成角的余弦值为 【解答】 解：连结 BC1，交 B1C于点 O，连结 OE， E是正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 C1D1上的一点， BCC 1B1是正方形， O 是 BC1中点， BD1平面 B1CE ，BD1OE， E是正方体 ABCD A1B1C1D1的棱 C1D1的中点， 以 D 为原点， DA为 x 轴，DC为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 设正方体 ABCD A1B1C1D1的棱长为 2， 则 B（2，2，0） ，D1（0，0，2） ，C（0，2，0） ，E（
18、0，1，2） ， =（2，2，2） ，=（0，1，2） ， 设异面直线 BD1与 CE所成成角为 ， cos= 异面直线 BD1与 CE所成成角的余弦值为 故答案为： 16 （5分）在 ABC中，AC=3 ，CB=4 ，边 AB的中点为 D，则= 【解答】 解： ABC中，AC=3 ，CB=4 ，边 AB的中点为 D， 则：SACD=SBCD， 所以：=， 整理得： 故答案为： 三、解答题（本大题共7 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤.） （一）必考题： 17 （12 分）已知等比数列 an 的前 n 项和为 Sn，Sn=2an2， bn 为等差数列， b3=a2，
19、b2+b6=10 （1）求数列 an ， bn的通项公式； （2）求数列 an（2bn3）的前 n 项和 Tn 【解答】 解： （1）根据题意，等比数列 an 中 Sn=2an2， 当 n=1时，有 S1=2a12=a1，解可得 a1=2， 当 n2 时，an=SnSn1=（2an2）（2an12） ，变形可得 an=2an1， 则等比数列 an的 a1=2，公比 q=2， 则数列 an 的通项公式 an=22n 1=2n， 对于 bn，b3=a2=4，b2+b6=2b4=10，即 b4=5， 则其公差 d=b4b3=1， 则其通项公式 bn=b3+（n3）d=n+1， （2）由（ 1）的结论
20、： an=2 n，b n=n+1， an（2bn3）=（2n1）?2n， 则有 Tn=12+322+523+ +（2n1）2n， 则有 2Tn=122+323+524+ +（2n1）2n +1， 可得： Tn=2+2（2 2+23+ +2n）（ 2n1）2n+1， 变形可得： Tn=（2n3）?2n +1+6 18 （12 分）“ 扶贫帮困 ” 是中华民族的传统美德，某校为帮扶困难同学，采用如 下方式进行一次募捐： 在不透明的箱子中放入大小均相同的白球七个，红球三个， 每位献爱心的参与这投币20 元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个（摸完 球后将球放回），若有一个红球，奖金10 元，两个红球
21、奖金20 元，三个全为红 球奖金 100 元 （1）求献爱心参与者中奖的概率； （2）若该次募捐有 900 为献爱心参与者，求此次募捐所得善款的数学期望 【解答】 解： （1）设“ 献爱心参与者中奖 ” 为事件 A， 则献爱心参与者中奖的概率 （2）设一个献爱心参与者参加活动，学校所得善款为 X，则 X=20，10，0，80， 则， ， ， ， X的分布列为： X2010080 P 若只有一个参与者募捐， 学校所得善款的数学期望为元， 所以，此次募捐所得善款的数学期望为元 19 （12 分）如图，四边形ABCD是矩形， AB=3，BC=3 ，=2，PE 平面 ABCD ，PE= （1）证明：平
22、面 PAC 平面 PBE ； （2）求二面角 APBC的余弦值 【解答】 （1）证明：连接 BE交 AC于 F， 四边形 ABCD是矩形， AB=，BC=1 ， CE=，则， ABC= BCD=， ABC BCE ，则 BEC= ACB ， BEC +ACE= ACB +ACE=， AC BE， PE 平面 ABCD ，AC PE ， PE BE=E ，AC 平面 PBE ， AC ? 平面 PAC ， 平面 PAC 平面 PBE ； （2）解：取 PB中点 G，连接 FG ，AG，CG ， PE 平面 ABCD ，PE DC， PE=，PC=3=BC ，得 CG PB， CG AC=C ，P
23、B 平面 ACG ，则 AG PB， AGC是二面角 APBC的平面角， ABCD ，AB=CD ，DE=2EC ， ， CE=，AC=6 ，CF= ，AF= ， BC CD ，BCPE ，BC 平面 PCD ， BC PC ， PB=，则 CG=， FG AC，FG=FC= ， 在 RtAFG和 RtCFG中，求得 tanAGF=3 ，tanCGF=1 tanAGC=tan （AGF +CGF ）= cos AGC= 二面角 APBC的余弦值为 20 （12 分）设直线 l 的方程为 x=m（y+2）+5，该直线交抛物线C：y 2=4x于 P， Q两个不同的点 （1）若点 A（5，2）为线段
24、 PQ的中点，求直线l 的方程； （2）证明：以线段 PQ为直径的圆 M 恒过点 B（1，2） 【解答】 解： （1）联立方程组，消去 x 得 y 24my4（2m+5）=0 设 P（x1，y1） ，Q（x2，y2） ，则 y1+y2=4m，y1y2=8m20 因为 A 为线段 PQ的中点，所以，解得 m=1， 所以直线 l 的方程为 x+y3=0 （2）证明：因为， ， 所以， 即 所以， 因此 BPBQ，即以线段 PQ为直径的圆恒过点B（1，2） 21 （12 分）已知函数 f（x）=ax 2ex（aR） （1）若曲线 y=f（x）在 x=1 处的切线与 y 轴垂直，求 y=f（x）的最大
25、值； （2）若对任意 0x1x2都有 f（x2）+x2（22ln2）f（x1）+x1（22ln2） ，求 a 的取值范围 【解答】 解： （1）由 f（x）=2axex，得， 令 g（x）=f（x）=exex，则 g（x）=eex， 可知函数 g（x）在（， 1）上单调递增，在（ 1，+）上单调递减， 所以 g（x）max=g（1）=0 （2）由题意得可知函数h（x）=f（x）+x（22ln2）=ax 2+x（2ln2）ex 在 0， +）上单调递减， 从而 h（x）=2ax+（22ln2）ex0 在 0，+）上恒成立， 令 F（x）=2ax+（22ln2）ex，则 F（x）=2aex， 当时
26、，F（x）0，所以函数 F （x）在 0，+）上单调递减， 则 F（x）max=F （0）=12ln20， 当时，F（x）=2aex=0，得 x=ln2a，所以函数 F（x）在 0，ln2a）上单调 递增， 在 ln2a，+）上单调递减， 则 F（x）max=F（ln2a）=2alo2a+22ln22a0， 即 2aln2a2a2ln22， 通过求函数 y=xlnxx 的导数可知它在 1，+）上单调递增，故， 综上，实数 a 的取值范围是（， 1 22 （10 分）已知曲线C1的极坐标方程为 2cos2=8 ，曲线 C2的极坐标方程为 ，曲线 C1、C2相交于 A、B 两点 （pR） （）求
27、A、B 两点的极坐标； （）曲线C1与直线（t 为参数）分别相交于M，N 两点，求线段 MN 的长度 【解答】 解： （）由得：， 2=16， 即 = 4 A、B两点的极坐标为：或 （）由曲线 C1的极坐标方程 2cos2=8 化为 2（cos2 sin2 ）=8， 得到普通方程为 x2y2=8 将直线代入 x 2y2=8， 整理得 | MN| = 23已知函数 f（x）=| xa| | x+3| ，aR （1）当 a=1 时，解不等式 f（x）1； （2）若 x 0，3 时，f（x）4，求 a 的取值范围 【解答】 解： （1）当 a=1 时，不等式为 | x+1| | x+3| 1； 当 x3 时，不等式转化为（ x+1）+（x+3）1，不等式解集为空集； 当3x1 时，不等式转化为（ x+1）（ x+3）1，解之得； 当 x1 时，不等式转化为（ x+1）（ x+3）1，恒成立； 综上所求不等式的解集为 （2）若 x 0，3 时，f（x）4 恒成立，即 | xa| x+7，亦即 7a2x+7 恒成立， 又因为 x 0，3 ，所以 7a7， 所以 a 的取值范围为 7，7