高三模拟考试(数学).pdf

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1、南京名校2011 届高三模拟考试(数学 ) (满分 160 分，考试时间 120 分钟 ) 2011 05 一、 填空题：本大题共14 小题，每小题 5 分，共 70 分 1. 已知全集UR，集合 Ax|log2x1 ，则?UA_. 2. 已知复数z 2i 1i ，则该复数的虚部为_ 3. 已知双曲线过点(2,1) 且一条渐近线方程为xy 0，则该双曲线的标准方程为 _ 4. 在如图所示的流程图中，输出的结果是 _ (第 4 题) 5. 在 ABC 中，三边 a、b、c 所对的角分别为A、B、C，若 A30 ，a1，b 2，则 B_. 6. 已知向量 a 与 b 的夹角为 150 ， 且|a|

2、2， |b|3， 则(2a b) a_. 7. 已知函数f(x) x x0 ， x24x x 0 ， 若 f(x)3，则 x 的取值范围是_ 8. 如图是函数yAsin(x ) A0， 0，| | 2 图象的一部分，则此函数的表达 式为 _ (第 8 题) 9. 某人 2011 年初向银行申请个人住房公积金贷款a(a 0)元购买住房，年利率为r(r 0)，按复利计算，每年等额还贷一次，并从贷款后的次年初开始还贷如果10 年 还清，那么每年应还贷款_元 (用 a、 r 表示 ) 10. 已知函数 f(x) x xa ， 若函数 y f(x2)1 为奇函数，则实数 a_. 11. 已知等差数列 a

3、n 的公差不为零且a3、 a5、 a8依次成等比数列 ，则 S5 a9 _. 12. 已知椭圆C： x2 a2 y2 b21(ab0)的右准线与 x 轴交于点A， 点 B 的坐标为 (0， a)， 若椭圆上的点M 满足 AB 2AM ，则椭圆 C 的离心率为 _ 13. 在平面直角坐标系xOy 中，集合 M(x，y)|xy1，且 x0，y0 ，N ( x y，x y)|(x，y) M ，则当 (x，y) N 时，z x 2y 的最大值为 _ 14. 已知函数f(x) 4xk 2x1 4 x2x1， 若对于任意实数x1、x2、x3， 均存在以f(x1)、f(x2)、 f(x3)为三边边长的三角形

4、，则实数 k 的取值范围是_ 二、 解答题：本大题共6 小题，共 90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算 步骤 15. (本小题满分14 分) 某学科在市模考后从全年级抽出50 名学生的学科成绩作为样本进行分析，得到样本 频率分布直方图如图所示 (1) 估计该次考试该学科的平均成绩； (2) 为详细了解每题的答题情况，从样本中成绩在7090 之间的试卷中任选2 份进 行分析，求至少有1 份试卷成绩在7080 之间的概率 16.(本小题满分14 分) 在 ABC 中，角 A、B、C 所对的边分别为a、b、c，且 cosA1 3. (1) 求 2sin2 3 BC 2 sin4 3 cos

5、2A 的值； (2) 若 a3，求三角形面积的最大值 17. (本小题满分14 分) 如图，在四棱锥PABCD 中，四边形 ABCD 为矩形，AB BP，M、N 分别为 AC、PD 的中点求证： (1) MN平面 ABP； (2) 平面 ABP平面 APC 的充要条件是BPPC. 18. (本小题满分16 分) 已知直线 l1、l2分别与抛物线 x24y 相切于点 A、B， 且 A、B 两点的横坐标分别为a、 b(a、bR) (1) 求直线 l1、l2的方程； (2) 若 l1、l2与 x 轴分别交于P、Q，且 l1、l2交于点 R，经过 P、Q、R 三点作 C. 当 a4，b 2 时，求 C

6、 的方程； 当 a，b变化时，C 是否过定点？若是，求出所有定点坐标；若不是，请 说明理由 19. (本小题满分16 分) 已知数列 an的前 n 项的和为 Sn，且 Sn2n72an. (1) 求证： an 2 为等比数列； (2) 是否存在实数k，使得 ann 3kn29n 对于任意的 nN *都成立？若存在， 求 出实数 k 的取值范围；若不存在，说明理由 20. (本小题满分16 分) 已知函数 f(x) 1 2ax 22x 2lnx， aR. (1) 当 a0 时，求 f(x)的单调增区间； (2) 若 f(x)在(1， )上只有一个极值点，求实数 a 的取值范围； (3) 对于任意

7、x1、 x2(0,1，都有 |x1x2|f(x1)f(x2)|，求实数 a的取值范围 . 南京市名校2011 届高三模拟考试 数学附加题 (满分 40 分，考试时间30 分钟 ) 21. 选做题 在 A、B、C、D 四小题中只能选做2 题，每小题 10 分解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤 A. 选修 41：几何证明选讲 如图，D 为 ABC 的 BC 边上的一点，O1经过点 B、 D， 交 AB 于另一点E， O2经过点 C、D，交 AC 于另一点F，O1、 O2交于点 G.求证： (1) BAC EGF 180 ； (2) EAG EFG. B. 选修 42：矩阵与变换 已知 M 3

8、2 22 ， 4 5 ，试计算 M 9 . C. 选修 44：坐标系与参数方程 已知曲线 x 2cos ， y3sin (为参数 )和曲线 x 2t2， y3t (t 为参数 )相交于两点A、B， 求 A、 B 的坐标 D. 选修 45：不等式选讲 已知 x、y 均为正数，且 xy，求证： 2x 1 x2 2xyy22y 3. 必做题 第 22、 23 题，每小题 10 分，共 20 分解答应写出文字说明、证明过程 或演算步骤 22. 如图，已知正四棱柱ABCD A1B1C1D1中，AB2，AA14，E 为 BC 的 中点，F 为直线 CC1上的动点， 设C1F FC . (1) 当 1时，求

9、二面角F DEC 的余弦值； (2) 当 为何值时，有 BD1EF? 23. 某养鸡场对疑似有传染病的100 只鸡进行抽血化验，根据流行病学理论这些鸡的 感染率为10%，为了减少抽检次数，首先把这些鸡平均分成若干组，每组 n 只，并 把同组的n 只鸡抽到的血混合在一起化验一次，若发现有问题，再分别对该组n 只鸡逐 只化验 (1) 当 n4 时，记某一组中病鸡的数量为X，求 X 的概率分布和数学期望； (2) 当 n 为多少时，化验次数最少？并说明理由 南京市名校高三模拟考试 数学参考答案及评分标准 1. (，22. 13. x2 3 y 2 3 14. 105. 45 或 135 6. 57.

10、 1,9(， 38. y2sin 2x 6 9. ar 1r 10 1 r 101 10. 211. 212. 2 2 13. 314. 1 2k4 15. 解：(1) 用每组中的平均值作为每组中的样本数据，直接算得平均成绩为103.4.(5 分) (2) 样本中成绩在7080 之间有 2 人，设其编号为，样本中成绩在8090 之 间有 4 人，设其编号为，从上述 6 人中任取2 人的所有选取可能为： ，；，； ，；，； .(9 分) 故从样本中成绩在7090 之间任选2 人所有可能结果数为15，(12 分 ) 至少有 1 人成绩在7080 之间可能结果数为9，因此，所求概率为P2 0.6.(

11、14 分) 16. 解： (1) 2sin 2 3 BC 2 sin 4 3 cos 2 A 1cos 2 3 B C sin 3sinA(2 分) 1cos 5 3 A sin 3sinA 1cos5 3 cosA sin5 3 sinAsin 3sinA 1cos 3cosAsin 3sinAsin 3sinA 7 6.(6 分) (2) b2c2a2 2bc cosA 1 3， 2 3bcb 2c2a2 2bca2.(8 分) 又 a3， bc9 4， 当且仅当 bc3 2时， bc 9 4， 故 bc 的最大值是 9 4.(10 分) cosA 1 3， sinA 22 3 ，S 1

12、2bcsinA 3 4 2.(12 分 ) 故三角形面积的最大值是 32 4 .(14 分) 17. 证明： (1) 连结 BD，由已知，M 为 AC 和 BD 的中点又N 为 PD 的中点， MNBP. MN? 面 ABP， MN面 ABP.(6 分) (2) ABBP，ABBC， AB面 BPC， ABPC.(8 分) 充分性： BPPC， PC面 ABP， 平面 ABP平面 APC.(10 分) 必要性：过点B 作 BEAP 于 E， 平面 ABP平面 APC， BE面 APC， BEPC. PCAB， PC面 ABP， BPPC.(14 分 ) 18. 解： (1) A a，a 2 4

13、 ，B b， b2 4 ，记 f(x) x2 4 ，f (x) x 2， 则 l1的方程为 ya 2 4 a 2(xa)， 即 ya 2x a2 4 ；同理得 l2的方程为 y b 2x b2 4 .(6 分) (2) 由题意a b 且a、 b 不为零，联立方程组可求得P a 2， 0 ， Q b 2，0 ， R ab 2 ，ab .(8 分) 抛物线的焦点F(0,1)， KPF 2 a， KPF KPA 1， 故 l1PF，同理 l2 RF.(10 分) 经过 P、Q、R 三点的 C 就是以 FR 为直径的圆， C：x xab 2 (y1)(yab)0， 当 a4，b 2 时，C：x2y2x

14、 7y8 0，(14 分) 显然当 ab 且 a、b 不为零时，C 总过定点F(0,1)(16 分) 19. (1) 证明： n1 时，a1S1272a1，解得 a13.(2 分) n2 时，anSnSn12 2an2an1，即 3an2an12， 可得 an2 2 3(a n12)， 所以 an 2 是首项为 1，公比为 2 3的等比数列 (6 分) (2) 解：由 (1)可得： an2 2 3 n1， 所以 an2 2 3 n1. 由 2 2 3 n1n3kn2 9n 得 k2 n2 2 3 n1 n2 n9 n ，(8 分) 只需求出 p(n) 2 n2 2 3 n1 n2 n 9 n

15、的最大值即可 设 f(n) 2 n2， g(n) 2 3 n1 n2 ，h(n)n9 n ，(10 分) 易得 f(n)单调递减， g n g n1 2 3 n1 n2 2 3 n n1 2 3 2 n1 n 21， 所以 g(n)g(n1)，(12 分) 故 g(n)单调递减， h(n) h(n1) n1 9 n1 n9 n n2n 9 n n1 ， 当 n3 时，h(n)h(n1)，故 n3 时，h(n)单调递减， 所以 n3 时，p(n) 2 n2 2 3 n1 n2 n 9 n 随着 n 的增大而减小，(14 分) 而 p(1) 7，p(2) 35 6 ，p(3) 464 81 ， 所

16、以 p(n)的最大值为p(3) 464 81 ， 故 k 464 81 .(16 分) 20. 解：(1) 当 a0 时，f(x) 2x2lnx，令 f(x)1 x2 12x x 0，解出： 0x 1 2， 所以 f(x)的单调增区间为0，1 2 或 0，1 2 .(3 分) (2) 令 f(x)axx 1 x ax22x1 x 0， f(x)在(1， )上只有一个极值点? f(x)0 在(1， )上只有一个根且不是重 根 (5 分) 令 g(x)ax2 2x1，x(1， )， 当 a0 时，g(x) 2x1，不在 (1， )上有一个根，舍去； 当 a0 时，g(x)ax22x1，在(1， )

17、上只有一个根且不是重根? g(1) 0? 0a 1； 当 a0 时，g(x)ax22x1，在(1， )上只有一个根且不是重根? g(1) 0? a1；矛盾 综上所述，实数 a 的取值范围是0a 1.(8 分) 注：可以合并为：ag(1)0? 0a1. (3) 当 x1x2，显然满足，以下讨论x1x2的情况 当 a1 时，f(x) ax22x1 x a x 1 a 21 a1 x ， x(0,1， 1 a(0,1， a x 1 a 21 a11 1 a 0， 得到 f(x)0， 即 f(x)在(0,1上单调递增 (10 分) 对于任意 x1、 x2 (0,1， 不妨设 x1x2，则有 f(x1)

18、f(x2)，且 x2x1代入不等式 |x1x2|f(x1)f(x2)|? f(x2)f(x1)x2x1? f(x2)x2f(x1)x1， 引入新函数：h(x)f(x)x 1 2ax 23x2lnx， h(x)ax3 1 x ax23x1 x ， 所以问题转化为h (x)0，x(0,1上恒成立 ? ax23x10? a3x1 x2 ? a 3x1 x2 max. 令 l(x)3x1 x2 ，通过求导或不等式判断都可以： l(x)23x x3 ，当 0x2 3， l(x)0； 2 3 x1， l (x)0， 所以当 x 2 3， l(x)maxl 2 3 9 4， 所以 a 9 4；(13 分)

19、当 a1 且 a0 时，f(x) ax22x1 x ，令 k(x)ax22x 10，方程判别 式 44a 0，且 k(1)a 10； 所以 f(x)在(0,1)上只有一个极大值不妨设极大值点为x1， 记 A(x1，f(x1)，在 A 点处的切线的斜率为0；过 A 点作一条割线AB，肯定存在点B(x2， f(x2)使得 |kAB|1. 因为 |kAB|慢慢变成 0.这样存在x1、x2，使得 |f x1f x2| |x1x2| 1 与|x1 x2|f(x1)f(x2)|矛盾 当 a0 时，f(x)在(0,1)上只有一个极大值，同样得出矛盾 综上所述，求实数 a 的取值范围为a 9 4.(16 分)

20、 南京市高三数学附加题参考答案第页 (共 2 页)南京市名校2011 届高三模拟考试 数学附加题参考答案及评分标准 21. A. 证明： (1)连结 GD，由 B、D、 E、G 四点共圆，可得 EGA B，同理 FGA C，故 BAC EGF BAC B C180 .(5 分 ) (2) 由题知 E、G、F、A 四点共圆，故 EAG EFG.(10 分) B. 解：由 32 2 2 ( 3)( 2)4 2 20， 得 12， 2 1.(4 分) 当 12 时，对应的特征向量为1 2 1 ； 当 1 1 时，对应的特征向量为2 1 2 ， 4 5 122，(8 分) 所以 M 9 29 2 1

21、(1) 92 1 2 1 022 508 .(10 分) C. (2,0)和 1， 3 2 (10 分 ) D. 证明：因为 x 0，y0，x y0， 所以 2x 1 x22xyy22y2(xy) 1 xy 2(4 分) (xy)(xy) 1 xy 23 3 x y 2 1 xy 23， 所以 2x 1 x22xyy22y3.(10 分) 23. 解： (1) 由题意 X 服从 B(4,0.9)，概率分布略，E(X) 40.90.36.(4 分) (2) 由题意 n1,2,4,5,10,20,25,50,100. 当 n1 或 100 时，就是逐只检验，检验次数为100.(5 分) 当 n2,

22、4,5,10,20,25,50 ， 将 100 只鸡平均分成 100 n 组，每组 n 只，设 X 为 n 只鸡中的病鸡数，则 X 服从 B(n,0.9)，这 n 只鸡中无病鸡的概率为0.9 n， 这时化验1 次；若 n 只鸡中有病鸡，其 概率为 10.9n，此时化验n1 次 设 Y为 n 只鸡的化验次数，则 Y 的概率分布为 Y 1n1 P 0.9 n 10.9 n E(Y)0.9 n(n1)(10.9n)n1n 0.9nn1n (10.1)n. 则 100 n 组共需化验次数为 E(Y) 100 n n 1n (10.1) n 100 n n1n1 0.1n n2n 2 0.12 100

23、n 10.1n2 n2n 200 100 n 9.5n0.5，(8 分) 函数 f(x) 100 x 9.5x 在(0,3内递减，在4， )内递增 又 f(2)69，f(4)63， 故 n4 时，化验次数最少(10 分) 22. (1) 解：建立空间直角坐标系，则 E(1,0,0)，F(0,0,1)，EF (1,0,1) 设平面 ABCD 的法向量为n，则 n(0,0,1)D(0，2,0)，F(0,0,2)， EF (1,0,2)，DF (0,2,2) 设平面 FDE 的法向量为m，则 m DF 0，m EF 0，m(2，1,1)(4 分) cosm，n m n |m|n| 6 6 . 二面角 FDE C 的余弦值为 6 6 .(6 分) (2) 显然 D1(0， 2,4)，B(2,0,0)，设 F(0,0，t)，则EF (1,0，t)，BD1 (2，2,4) 要使 EFBD1， 只要 EF BD1 0,2 4t0，t 1 2. 9.(10 分)