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1、3.2简单的三角恒等变换 课时目标1.了解半角公式及推导过程.2.能利用两角和与差的公式进行简单的三角恒等变 换.3.了解三角变换在解数学问题时所起的作用，进一步体会三角变换的规律 1半角公式 (1)S 2：sin 2_； (2)C 2：cos 2 _ ； (3)T 2：tan 2_(无理形式 )_ _(有理形 式) 2辅助角公式 使 asin x bcos xa2 b2sin(x )成立时， cos _，sin _， 其中 称为辅助角，它的终边所在象限由_决定 一、选择题 1已知 180 360 ，则 cos 2的值等于 ( ) A 1cos 2 B. 1cos 2 C 1cos 2 D.
2、1cos 2 2函数 ysin x 3 sin x 3 的最大值是 () A2 B1 C.1 2 D.3 3函数 f(x)sin xcos x，x 0， 2 的最小值为 () A 2 B3 C2 D 1 4使函数f(x)sin(2x )3cos(2x )为奇函数的的一个值是 () A. 6 B. 3 C. 2 D. 2 3 5函数 f(x)sin x3cos x(x ，0)的单调递增区间是() A. ， 5 6 B. 5 6 ， 6 C. 3，0 D. 6， 0 6若 cos 4 5，是第三象限的角，则 1tan 2 1tan 2 等于 () A 1 2 B. 1 2 C2 D 2 题号 12
3、3456 答案 二、填空题 7函数 f(x)sin(2x 4)2 2sin 2x 的最小正周期是 _ 8已知等腰三角形底角的余弦值为 2 3，则顶角的正弦值是 _ 9已知等腰三角形顶角的余弦值为 4 5，则底角的正切值为 _ 10. 2002 年在北京召开的国际数学家大会，会标是以我国古代数学家赵爽的弦图为基础设计 的弦图是由四个全等直角三角形与一个小正方形拼成一个大正方形(如图所示 )如果小正 方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为 ，那么 cos 2的值等 于_ 三、解答题 11已知函数f(x)3sin 2x 6 2sin 2 x 12 (x R) (1)求函数 f
4、(x)的最小正周期； (2)求使函数f(x)取得最大值的x 的集合 12已知向量m (cos ，sin )和 n(2sin ， cos )， ( ，2 )，且 |mn| 82 5 ，求 cos 2 8 的值 能力提升 13当 y2cos x3sin x 取得最大值时，tan x 的值是 () A. 3 2 B 3 2 C.13 D4 14求函数f(x)3sin(x20 )5sin(x80 )的最大值 1学习三角恒等变换，千万不要只顾死记硬背公式，而忽视对思想方法的理解，要学会借 助前面几个有限的公式来推导后继公式，立足于在公式推导过程中记忆公式和运用公式 2辅助角公式asin xbcos xa
5、 2b2 sin(x )，其中 满足：与点 (a，b)同象限； tan b a(或 sin b a 2b2，cos a a 2b2) 3研究形如f(x) asin x bcos x 的函数性质，都要运用辅助角公式化为一个整体角的正弦 函数或余弦函数的形式因此辅助角公式是三角函数中应用较为广泛的一个重要公式，也是 高考常考的考点之一对一些特殊的系数a、b 应熟练掌握例如sin x cos x2sin x 4 ； sin x 3cos x2sin x 3 等 3.2简单的三角恒等变换 知识梳理 1(1) 1cos 2 (2) 1 cos 2 (3) 1cos 1cos sin 1cos 1cos
6、sin 2. a a 2b2 b a 2b2 点 (a，b) 作业设计 1C 2By2sin xcos 3 sin x 3Df(x)2sin x 4 ，x 0， 2 . 4x 4 4， f(x)min2sin 4 1. 4Df(x)sin(2x )3cos(2x )2sin 2x 3. 当 2 3时， f(x)2sin(2x ) 2sin 2x. 5Df(x)2sin x 3 ，f(x)的单调递增区间为2k 6，2k 5 6 (kZ)， 令 k0 得增区间为 6， 5 6 . 6A是第三象限角，cos 4 5， sin 3 5. 1tan 2 1tan 2 1 sin 2 cos 2 1 si
7、n 2 cos 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 sin 2 1sin cos 1 3 5 4 5 1 2. 7 解析f(x) 2 2 sin 2x 2 2 cos 2x2(1cos 2x) 2 2 sin 2x 2 2 cos 2x2 sin(2x 4) 2， T 2 2 . 8.4 5 9 解析设 为该等腰三角形的一底角， 则 cos 2 3，顶角为 180 2 . sin(180 2 )sin 2 2sin cos 21 2 3 22 3 45 9 . 93 解析设该等腰三角形的顶角为
8、，则 cos 4 5， 底角大小为 1 2(180 ) tan 1 2 180 tan 90 2 1 tan 2 1cos sin 1 4 5 3 5 3. 10. 7 25 解析由题意， 5cos 5sin 1， 0， 4 . cos sin 1 5. 由(cos sin )2(cos sin )22. cos sin 7 5. cos 2 cos 2 sin 2 (cos sin )(cos sin ) 7 25. 11解(1)f(x)3sin2 x 12 1cos2 x 12 2 3 2 sin2 x 12 1 2cos2 x 12 1 2sin 2 x 12 6 1 2sin 2x 3
9、 1， T 2 2 . (2)当 f(x)取得最大值时，sin 2x 3 1， 有 2x 32k 2， 即 xk 5 12 (kZ)， 所求 x 的集合为 x|xk 5 12，k Z 12 解mn(cos sin 2， cos sin )， |m n|cos sin 2 2 cos sin 2 422 cos sin 44cos 4 21cos 4 . 由已知 |mn| 8 2 5 ，得 cos 4 7 25. 又 cos 4 2cos 2 2 8 1， 所以 cos 2 2 8 16 25. 2 ， 5 8 2 8 9 8 . cos 2 8 0. cos 2 8 4 5. 13 By2co
10、s x 3sin x13 2 13cos x 3 13sin x 13(sin cos xcos sin x) 13sin( x)，当 sin( x)1， x2k 2时， y 取到最大值 2k 2x，(kZ) sin cos x，cos sin x， cos xsin 2 13，sin x cos 3 13 . tan x 3 2. 14解3sin(x20 ) 5sin(x80 )3sin(x20 )5sin(x20 )cos 605cos(x20 )sin 60 11 2 sin(x20 ) 5 3 2 cos(x 20 ) 11 2 25 3 2 2sin(x20 )7sin( )x20 其中 cos 11 14 ，sin 53 14 .所以 f(x)max7.