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1、2.2.2反证法 学习目标 1理解反证法的思考过程，会用反证法证明数学问题 2了解反证法是间接证明的一种基本方法 知识链接 1有人说反证法就是通过证明逆否命题来证明原命题，这种说法对吗？为什么？ 答这种说法是错误的，反证法是先否定命题，然后再证明命题的否定是错误的，从而肯定 原命题正确，不是通过逆否命题证题命题的否定与原命题是对立的，原命题正确，其命题 的否定一定不对 2反证法主要适用于什么情形？ 答要证的结论与条件之间的联系不明显，直接由条件推出结论的线索不够清晰；如果 从正面证明， 需要分成多种情形进行分类讨论，而从反面进行证明，只要研究一种或很少的 几种情形 预习导引 1反证法定义 假设
2、原命题不成立，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明了原命 题成立，这种证明方法叫做反证法 2反证法常见的矛盾类型 反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾， 或与定义、公理、定理、事实矛盾等 要点一用反证法证明“至多”“至少”型命题 例 1已知 x，y0，且 x y2. 求证： 1x y ， 1y x 中至少有一个小于2. 证明假设 1x y ， 1y x 都不小于 2， 即1x y 2， 1y x 2. x，y0， 1x 2y,1y2x. 2xy2(xy)， 即 xy2 与已知 xy2 矛盾 1x y ， 1y x 中至少有一个小于2
3、. 规律方法对于含有 “ 至多 ” 、“ 至少 ” 的命题适合用反证法，对于此类问题，需仔细体会“ 至 少有一个 ” 、 “ 至多有一个 ” 等字眼的含义，弄清结论的否定是什么，避免出现证明遗漏的错 误 跟踪演练1已知 a，b，c， dR，且 abcd 1，acbd1，求证： a，b，c，d 中至 少有一个是负数 证明假设 a，b，c，d 都是非负数， abcd1， (ab)(cd)1. 又 (ab)(cd)acbdad bcacbd， acbd1. 这与已知acbd1 矛盾， a，b，c，d 中至少有一个是负数 要点二用反证法证明不存在、唯一性命题 例 2求证对于直线l：ykx1，不存在这样
4、的实数k，使得 l 与双曲线C：3x2 y2 1 的 交点 A、B 关于直线yax(a 为常数 )对称 证明假设存在实数k，使得 A、B 关于直线y ax 对称，设A(x1，y1)、 B(x2， y2)，则有 (1) 直线 l：ykx1 与直线 yax 垂直； (2)点 A、B 在直线 l：ykx 1 上； (3)线段 AB 的中点 x1x2 2 ， y1y2 2 在直线 yax 上，所以 ka 1 y1y2k x1x22 y1y2 2 ax 1x2 2 由 y kx1， y 23x2 1， 得(3k2)x22kx20. 当 k 23 时， l 与双曲线仅有一个交点，不合题意 由、得a(x1x
5、2)k(x1x2)2 由知 x1x2 2k 3k 2，代入整理得： ak 3，这与矛盾 所以假设不成立，故不存在实数k，使得 A、B 关于直线yax 对称 规律方法证明 “ 唯一性 ” 问题的方法：“ 唯一性 ” 包含 “ 有一个 ” 和“ 除了这个没有另外一个” 两 层意思 证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证 法，即用反证法 (假设 “ 有另外一个 ” ， 推出矛盾 )或同一法 (假设 “ 有另外一个 ” ，推出它就是 “ 已 知那一个 ”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便 跟踪演练2求证方程2x3 有且只有一个根 证明2x3， xlog23，这说明
6、方程 2 x3 有根下面用反证法证明方程 2x3 的根是 唯一的： 假设方程2x3 至少有两个根b1，b2(b1b2)， 则 2b13,2b23， 两式相除得2b1b21. 若 b1b20，则 2b1b21，这与 2b1b21 相矛盾 若 b1b21)，证明方程 f(x)0 没有负数根 证明假设 x0是 f(x)0的负数根，则 x0b CabDab 或 ab 答案D 4用反证法证明“在同一平面内，若ac，bc，则 ab”时，应假设() Aa 不垂直于cBa，b 都不垂直于c CabDa 与 b 相交 答案D 5已知 a是整数， a 2 是偶数，求证a 也是偶数 证明(反证法 )假设 a 不是偶
7、数，即a 是奇数 设 a2n1(nZ)，则 a24n24n1. 4(n 2n)是偶数， 4n 24n1 是奇数，这与已知 a 2 是偶数矛盾 由上述矛盾可知，a一定是偶数 1反证法证明的基本步骤 (1)假设命题结论的反面是正确的；(反设 ) (2)从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与已知条件、公理、定义、定理、反设及明显的 事实矛盾； (推谬 ) (3)由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论是正确的(结论 ) 2用反证法证题要把握三点： (1)必须先否定结论，对于结论的反面出现的多种可能，要逐一论证，缺少任何一种可能， 证明都是不全面的 (2)反证法必须从否定结论进行推理，且必须根据这一条
8、件进行论证，否则，仅否定结论， 不从结论的反面出发进行论证，就不是反证法 (3)反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以与已知矛盾，或与假设矛盾， 或与定义、公理、定理、事实矛盾，但推导出的矛盾必须是明显的. 一、基础达标 1反证法的关键是在正确的推理下得出矛盾这个矛盾可以是() 与已知条件矛盾与假设矛盾与定义、公理、定理矛盾与事实矛盾 AB CD 答案D 2已知 a，b 是异面直线，直线c 平行于直线a，那么 c 与 b 的位置关系为() A一定是异面直线B一定是相交直线 C不可能是平行直线D不可能是相交直线 答案C 解析假设 cb，而由 ca，可得 ab，这与 a，b 异面矛盾，
9、故c 与 b 不可能是平行直 线故应选C. 3有下列叙述：“ ab” 的反面是 “ ay 或 x0，x11 且 xn1 xn x 2 n3 3x 2 n1 (n1,2， )，试证“数列 xn对任意的正整数n 都 满足 xnxn1”，当此题用反证法否定结论时应为() A对任意的正整数n，有 xnxn1 B存在正整数n，使 xnxn1 C存在正整数n，使 xnxn1 D存在正整数n，使 xn xn1 答案D 解析“任意 ”的反语是 “存在一个 ” 9设 a，b，c 都是正数，则三个数a1 b，b 1 c ，c 1 a( ) A都大于2 B至少有一个大于2 C至少有一个不小于2 D至少有一个不大于2
10、 答案C 解析假设 a 1 b1 3. 2 (2a) 28a4a(a2)0，abbcca0，abc0，求证 a0，b0，c0. 证明用反证法 ： 假设 a， b，c 不都是正数，由abc0 可知，这三个数中必有两个为负数，一个为正数， 不妨设 a0，则由 abc0， 可得 c(ab)， 又 ab0，ab0，b20， a2abb2 (a2abb2)0 矛盾，所以假设不成立 因此 a0，b0，c0 成立 12已知 a，b， c(0,1)，求证 (1a)b，(1b)c，(1c)a 不可能都大于 1 4. 证明假设三个式子同时大于 1 4， 即(1a)b1 4，(1 b)c 1 4，(1c)a 1 4
11、， 三式相乘得 (1a)a (1b)b (1c)c 1 4 3， 又因为 0a1，所以 0a(1a) a1a 2 21 4. 同理 0b(1b)1 4， 0c(1c) 1 4， 所以 (1a)a (1b)b (1c)c 1 4 3， 与矛盾，所以假设不成立，故原命题成立 三、探究与创新 13已知 f(x)是 R 上的增函数，a，b R.证明下面两个命题： (1)若 ab 0，则 f(a)f(b)f(a)f(b)； (2)若 f(a)f(b)f( a) f(b)，则 ab0. 证明(1)因为 ab0，所以 a b，b a， 又因为 f(x)是 R 上的增函数，所以f(a)f(b)， f(b)f(a)， 由不等式的性质可知f(a)f(b)f(a)f(b) (2)假设 ab0，则 a b，ba， 因为 f(x)是 R 上的增函数，所以f(a)f(b)，f(b)f(a)， 所以 f(a)f(b)f(a)f(b)， 这与已知f(a)f(b)f( a)f( b)矛盾， 所以假设不正确，所以原命题成立.