《高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：3.2复数代数形式的四则运算3.2.2Word版含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：3.2复数代数形式的四则运算3.2.2Word版含答案.pdf（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、3.2.2复数代数形式的乘除运算 学习目标 1理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律 2掌握复数代数形式的乘法和除法运算 3理解共轭复数的概念 知识链接 写出下列各小题的计算结果： (1)(a b) 2_； (2)(3a2b)(3a 2b)_； (3)(3a2b)(a3b)_ (4)(xy) (xy)_ 答案(1)a2 2abb2(2)9a24b2(3)3a211ab6b2(4)xy 预习导引 1复数的乘法法则 设 z1abi，z2cdi(a，b，c， dR)， 则 z1 z2(abi)(cdi)(acbd)(adbc)i. 2复数乘法的运算律 对任意复数z1、z2、z3C，有 交换
2、律z1 z2z2 z1 结合律(z1 z2) z3z1 (z2 z3) 乘法对加法的分配律z1(z2z3)z1z2z1z3 3.共轭复数 如果两个复数满足实部相等，虚部互为相反数时，称这两个复数为共轭复数，z 的共轭复数 用 z 表示即zabi，则 z abi. 4复数的除法法则 设 z1abi，z2cdi(cdi0)， 则z 1 z2 abi cdi abic di cdic di acbd c 2d2 bcad c 2d2i. 要点一复数乘除法的运算 例 1计算： (1)(2i)(2i)；(2)(12i) 2. 解(1)(2i)(2 i)4i 24( 1) 5； (2)(12i) 214i
3、(2i)2 14i4i2 3 4i. 规律方法(1)复数的乘法可以按照多项式的乘法法则进行，注意选用恰当的乘法公式进行 简便运算，例如平方差公式、完全平方公式等 (2)像 34i 和 34i 这样的两个复数叫做互为共轭复数，其形态特征为abi 和 a bi，其数 值特征为 (abi)(abi)a2b2. 跟踪演练1计算： (1)(12i)(34i)( 2 i)； (2)(34i)(34i)； (3)(1i) 2 . 解(1)(12i)(3 4i)(2i)(112i)(2i) 2015i； (2)(34i)(34i) 3 2(4i)29 (16)25； (3)(1i) 212ii2 2i. 例
4、2计算： (1)(12i) (34i)； (2) 1i 1i 6 23i 32i. 解(1)(12i) (34i) 12i 34i 12i34i 34i34i 510i 25 1 5 2 5i； (2)原式 1i 2 2 623i32i 3 2 2 2 i 6 62i3i6 5 1i. 规律方法复数的除法先写成分式的形式，再把分母实数化(方法是分母与分子同时乘以分 母的共轭复数，若分母是纯虚数，则只需同时乘以i) 跟踪演练2计算： (1) 7i 34i ；(2) 1i2i i . 解(1) 7i 3 4i 7i34i 34i34i 2525i 25 1i； (2) 1i 2i i 3i i 3
5、i i i i 1 3i. 要点二共轭复数及其应用 例 3已知复数z 满足： zz 2iz86i，求复数z 的实部与虚部的和 解设 z abi(a，bR)， 则 zz a2b2， a 2b2 2i(abi)86i， 即 a2b22b2ai8 6i， a 2b22b8 2a6 ，解得 a3 b1 ， ab4，复数z的实部与虚部的和是4. 规律方法本题使用了复数问题实数化思想，运用待定系数法，化解了问题的难点 跟踪演练3已知复数z满足 |z|1，且 (34i)z 是纯虚数，求z 的共轭复数z . 解设 z abi(a，bR)，则 z abi 且|z|a2b21，即 a2 b21. 因为 (34i)
6、z(34i)(abi)(3a4b)(3b4a)i，而 (34i)z 是纯虚数， 所以 3a4b0，且 3b4a0. 由联立，解得 a4 5， b3 5， 或 a 4 5， b 3 5. 所以 z 4 5 3 5i，或 z 4 5 3 5i. 1复数 i 1 i 等于 () A 2i B 1 2i C0 D2i 答案A 解析i 1 i ii 2 i 2i，选 A. 2 (2019 江西 )已知集合M1,2 ， zi ， i 为虚数单位， N3,4 ， MN4 ， 则复数 z () A 2i B 2i C 4i D4i 答案C 解析本题考查复数的四则运算以及集合的基本运算因为M N 4 ，所以zi
7、4，设 z abi(a，bR)，zi bai，由 zi4，利用复数相等，得a0，b 4.故选 C. 3若复数z1i， i 为虚数单位，则(1z)z 等于 () A13i B 33i C3i D3 答案A 解析(1z) z(2i) (1i)(21 1)(21)i13i. 4设复数z的共轭复数是z ，若复数 z134i，z2t i，且 z1z2是实数，则实数 t 等于 () A. 3 4 B 4 3 C 4 3 D 3 4 答案A 解析z2ti， z 2ti. z1 z2(34i)( t i)3t 4(4t 3)i， 又 z1 z 2 R， 4t3 0， t 3 4. 5复数 z 2i 2i (i
8、 为虚数单位 )在复平面内对应的点所在象限为() A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 答案D 解析因为 z 2 i 2 i 2i 2 5 34i 5 ，故复数z 对应的点在第四象限，选D. 1复数代数形式的乘除运算 (1)复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式，复数的乘法满足交换律、结合律以及乘 法对加法的分配律 (2)在进行复数代数形式的除法运算时，通常先将除法写成分式的形式，再把分子、分母都 乘以分母的共轭复数，化简后可得，类似于以前学习的分母有理化 2共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题 3复数问题实数化思想 复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法，其桥梁是设复数zabi
9、(a，bR)，利 用复数相等的充要条件转化. 一、基础达标 1设复数z满足 iz1，其中 i 为虚数单位，则z 等于 () A i B i C 1 D1 答案A 解析z 1 i i. 2i 为虚数单位， 1 i 1 i 3 1 i 5 1 i 7等于 () A0 B 2i C 2i D4i 答案A 解析 1 i i， 1 i 3i， 1 i 5 i， 1 i 7i， 1 i 1 i 3 1 i 5 1 i 7 0. 3若 a，bR，i 为虚数单位，且(a i)i bi，则 () Aa1，b1 B a 1，b1 Ca 1，b 1 Da1，b 1 答案D 解析(ai)i 1aibi， b 1 a
10、1 . 4在复平面内，复数 i 1i(1 3i) 2 对应的点位于 () A第一象限B第二象限 C第三象限D第四象限 答案B 解析 i 1i (13i) 21 2 1 2i(22 3i) 3 2 2 3 1 2 i，对应点 3 2，2 3 1 2 在第 二象限 5设复数i 满足 i(z1) 32i(i 为虚数单位 )，则 z的实部是 _ 答案1 解析由 i(z1) 32i 得到 z 3 2i i 123i11 3i. 6复数 2i 13i 的虚部是 _ 答案 1 2 解析原式 2i 13i 13 2 32i 4 3 2 1 2i，虚部为 1 2. 7计算： (1) 22i 1i 2 2 1i
11、2 010； (2)(4i 5)(62i7)(7i11)(43i) 解(1) 22i 1i 2 2 1 i 2 01022i 2i 2 2i 1 005 i(1 i) 1 i 1 005 1i (i)1 005 1ii 1. (2)原式 (4i)(6 2i)(7 i)(43i) 2214i 2525i4739i. 二、能力提升 8(2019 新课标 )设复数 z满足 (1i)z2i，则 z() A 1i B 1i C1i D1i 答案A 解析因为复数z满足 z(1i)2i，所以 z 2i 1i 2i 1i 1i1 i 1i. 9(2019 山东 )若复数 z 满足 (z3)(2 i)5(i 为
12、虚数单位 )，则 z的共轭复数z 为 () A2i B 2i C5i D5i 答案D 解析由(z3)(2i)5，得 z 5 2i 3 5 2i 2 i 2i 3 5 2 i 5 32i35i.所以 z 5i，选 D. 10已知 z 是纯虚数， z2 1i 是实数，那么z 等于 _ 答案2i 解析设 zbi(bR，b0)，则 z2 1i bi2 1i bi2 1i 1 i1i 2b b2 i 2 2b 2 b2 2 i 是实数，所以b20， b 2，所以 z 2i. 11(2019 山东聊城期中 )已知复数z 1i 2 3 1i 2i ，若 z 2 azb1i(a，bR)，求 a b 的值 解由
13、 z 1i 23 1 i 2i ， 得 z 2i33i 2i 3i 2i 1i， 又 z 2azb 1i， (1i)2a(1i)b 1i， (ab) (2a)i1i， ab1. 12已知复数z 的共轭复数为z ，且 z z 3iz 10 13i ，求 z. 解设 z abi(a，bR)，则 z abi. 又 zz 3iz 10 13i ， a 2b2 3i(abi)10 13i 10 ， a2b2 3b3ai13i， a 2b23b1， 3a3. a 1， b0， 或 a 1， b 3 . z 1，或 z 13i. 三、探究与创新 13已知 1i 是方程 x 2bxc0 的一个根 (b、c 为实数 ) (1)求 b，c 的值； (2)试说明 1i 也是方程的根吗？ 解(1)因为 1i 是方程 x2 bxc 0的根， (1i) 2b(1i)c0， 即(bc) (2b)i0. bc0 2b0 ，得 b 2 c2 . b、c 的值为 b 2，c2. (2)方程为 x 22x 20. 把 1i 代入方程左边得(1i) 22(1i)20，显然方程成立， 1i 也是方程的一个根