《高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：第三章数系的扩充和复数的引入章末复习Word版含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高中数学人教A版选修2-2(课时训练)：第三章数系的扩充和复数的引入章末复习Word版含答案.pdf（7页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、章末复习 1复数的概念： (1)虚数单位i； (2)复数的实部、虚部、虚数与纯虚数 (3) 复数的代数形式zabi(a，bR)； 2复数集 复数 abi a，bR 实数 b0 有理数 整数 分数 无理数 无限不循环小数 虚数 b0 纯虚数 a0 非纯虚数a0 3复数的四则运算，若两个复数z1a1b1i，z2a2b2i(a1， b1，a2，b2R) (1)加法： z1z2(a1 a2)(b1b2)i； (2)减法： z1z2(a1 a2)(b1b2)i； (3)乘法： z1 z2(a1a2b1b2)(a1b2 a2b1)i； (4)除法： z1 z2 a1a2 b1b2 a2b1a1b2i a
2、2 2b 2 2 a1a2b1b2 a 2 2b 2 2 a2b1a1b2 a 2 2b 2 2 i(z20)； (5)实数四则运算的交换律、结合律、分配律都适合于复数的情况； (6)特殊复数的运算：i n (n 为正整数 )的周期性运算； (1 i) 2 2i；若 1 2 3 2 i，则 31,1 20. 4共轭复数与复数的模 (1)若 zabi，则 z abi，z z 为实数， z z 为纯虚数 (b0) (2)复数 za bi 的模 |z|a 2b2， 且 zz |z|2a2 b2. 5复数的几何形式 (1)用点 Z(a，b)表示复数z abi(a，bR)，用向量 OZ 表示复数zabi
3、(a，bR)，Z 称 为 z在复平面上的对应点，复数与复平面上的点一一对应(坐标原点对应实数0) (2) 任何一个复数zabi 一一对应着复平面内一个点Z(a，b)，也一一对应着一个从原点出发 的向量 OZ . 6复数加、减法的几何意义 (1)复数加法的几何意义 若复数z1、z2对应的向量 OZ1 、OZ2 不共线，则复数z1z2是以 OZ1 、 OZ2 为两邻边的平行四 边形的对角线 OZ 所对应的复数 (2)复数减法的几何意义 复数 z1z2是连接向量 OZ1 、 OZ2 的终点，并指向Z1的向量所对应的复数 题型一分类讨论思想的应用 当复数的实部与虚部含有字母时，利用复数的有关概念进行分
4、类讨论分别确定什么情况 下是实数、虚数、纯虚数当xyi 没有说明 x，yR 时，也要分情况讨论 例 1已知复数z a 27a6 a 21 (a2 5a6)i(aR)，试求实数a 分别取什么值时，z 分别为 (1)实数； (2)虚数； (3)纯虚数 解(1)当 z 为实数时，则有 a 25a60 a 210 a 1或 a6 a 1 ，当 a6 时， z为实数 (2)当 z 为虚数时， 则有 a 25a60 a 210 ， a1且 a6 a 1 ， a 1 且 a6， 即当 a (， 1)(1,1)(1,6)(6， )时， z为虚数 (3)当 z 为纯虚数时，则有 a 25a60 a 27a6 a
5、 210， a 210 a1且 a6 a6且a 1 不存在实数a，使 z 为纯虚数 跟踪演练1当实数 a 为何值时， za22a(a23a2)i. (1)为实数；(2)为纯虚数； (3)对应的点在第一象限内； (4)复数 z对应的点在直线xy 0. 解(1)zR? a 23a20，解得 a 1 或 a2. (2)z为纯虚数， a 22a0， a 23a20， 即 a0或a2， a1且a2. 故 a0. (3)z对应的点在第一象限，则 a 2 2a0， a 2 3a2 0， a0，或 a2， a1，或 a2， a0，或 a 2. a 的取值范围是(，0)(2， ) (4)依题设 (a 22a)(
6、a23a2)0， a2. 题型二数形结合思想的应用 数形结合既是一种重要的数学思想，又是一种常用的数学方法本章中， 复数本身的几何 意义、 复数的模以及复数加减法的几何意义都是数形结合思想的体现它们得以相互转化 涉 及的主要问题有复数在复平面内对应点的位置、复数运算及模的最值问题等 例 2已知等腰梯形OABC 的顶点 A、B 在复平面上对应的复数分别为12i，26i，OA BC.求顶点 C 所对应的复数z. 解 设 zxyi，x， yR，如图 OABC，|OC|BA|， kOAkBC，|zC|zB zA|， 即 2 1 y6 x2， x 2y2 3 242， 解得 x1 5 y10 或 x2
7、3 y24 . |OA| |BC|， x2 3，y24(舍去 )， 故 z 5. 跟踪演练2已知复数z1i(1i) 3. (1)求|z1|； (2)若|z|1，求 |z z1|的最大值 解(1)|z1|i(1i) 3|i| |1 i| 3 2 2. (2)如图所示，由|z|1 可知， z 在复平面内对应的点的轨迹是半径为1，圆心为O(0,0)的圆， 而 z1对应着坐标系中的点Z1(2， 2)所以 |zz1|的最大值可以看成是点 Z1(2， 2)到圆上 的点的距离的最大值由图知|zz1|max |z1|r(r 为圆半径 )2 21. 题型三转化与化归思想的应用 在求复数时，常设复数zxyi(x，
8、yR)，把复数z 满足的条件转化为实数x，y 满足的 条件，即复数问题实数化的基本思想在本章中非常重要 例 3已知 z 是复数， z2i， z 2i 均为实数，且 (z ai) 2 的对应点在第一象限，求实数a的取 值范围 解设 z xyi(x，yR)， 则 z2ix(y2)i 为实数， y 2. 又 z 2i x2i 2 i 1 5(x2i)(2 i) 1 5(2x 2) 1 5(x4)i 为实数， x4.z42i，又 (zai) 2(42i ai)2(124aa2)8(a 2)i 在第一象限 124a a 20 8 a 2 0 ，解得 2a6. 实数 a 的取值范围是 (2,6) 跟踪演练
9、3已知 x，y 为共轭复数，且(xy)23xyi46i，求 x，y. 解设 xabi(a，bR)，则 y abi. 又(xy)23xyi46i， 4a23(a2b2)i46i， 4a 24， a 2b22， a 1 b 1 ， 或 a1， b 1 或 a 1， b1 或 a 1， b 1. x1i， y1i 或 x1i， y1i 或 x 1 i， y 1 i 或 x 1i， y 1i. 题型四类比思想的应用 复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加减乘除，加减法是对应实、虚部相加减，而乘法 类比多项式乘法，除法类比根式的分子分母有理化，且要注意i2 1. 在运算的过程中常用来降幂的公式有 (1)
10、i 的乘方： i 4k1，i4k1i，i4k2 1，i4k3 i(kZ)； (2)(1i) 2 2i； (3)设 1 2 3 2 i，则 31，2 ，1 20，1 2，3n1，3n1 ( N*) 等； (4) 1 2 3 2 i 3 1； (5)作复数除法运算时，有如下技巧： abi bai abi i bai i abi i abi i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化 例 4计算： (1)(1i) 1 2 3 2 i (1i)； (2) 2 3i 123i 2 1 i 2 014. 解(1)法一(1 i) 1 2 3 2 i (1i) 1 2 3 2 i 1 2i 3 2 i 2 (1
11、i) 31 2 31 2 i (1i) 31 2 31 2 i 31 2 i 31 2 i 2 13i. 法二原式 (1i)(1 i) 1 2 3 2 i (1i 2 ) 1 2 3 2 i 2 1 2 3 2 i 13i. (2) 2 3i 123i 2 1 i 2 014 2 3i i 12 3i i 2 2i 1 007 2 3i i i 2 3 1 i 1 007i 1 iii0. 跟踪演练4计算： 2i1i 2 12i 1i 1 i 2 i 5 1i 2 015 1i . 解 2i1 i 2 12i 1i 1i 2 i 5 1i 2 015 1 i 2i 2i 12i 1i 2i i 1i 1i 24i 12i 13i i 1i 2 2 2(i3)i 12i. 高考对本章考查的重点 1对复数的概念的考查是考查复数的基础，要求准确理解虚数单位、复数、虚数、 纯虚数、 共轭复数、实部、虚部、复数的模等概念 2对复数四则运算的考查可能性较大，要加以重视，其中复数的乘法运算与多项式的乘法 运算类似； 对于复数的除法运算， 将分子分母同时乘以分母的共轭复数最后整理成abi(a， bR)的结构形式 3对复数几何意义的考查在高考中一般会结合复数的概念、复数的加减运算考查复数的 几何意义、复数加减法的几何意义