高考数学(理)试题及答案.pdf

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1、题（ 6）图 1 12 7 3 y x O 普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题卷（理工农医类） 一、选择题：本大题共10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要 求的 . （1）在等比数列 n a中， 20072010 8aa，则公比q的值为（） A、 2 B、3 C 、4 D、8 （2）已知向量 ba, 满足 2| , 1| , 0baba ，则 |2|ba （） A、 0 B、22C 、4 D、8 （3） 2 1 4 4 lim 2 2 xx x （） A、1B、 4 1 C 、 4 1 D、1 （4）设变量yx,满足约束条件 ,

2、03 ,01 ,0 yx yx y 则yxz2的最大值为（） A、2B、4 C 、6 D、8 （5）函数 x x xf 2 14 )(的图象（） A、关于原点对称B、关于直线xy对称 C、关于x轴对称D、关于y轴对称 （6）已知函数) 2 | ,0)(sin(xy 的部分图象如题（6）图所示，则（） A、 6 , 1B、 6 , 1 C、 6 ,2D、 6 , 2 （7）已知822,0, 0xyyxyx，则yx2的最小值是（） A、 3 B、4 C 、 2 9 D、 2 11 （8）直线2 3 3 xy与圆心为D的圆)2,0( ,sin31 ,cos33 y x 交于 A、 B两点，则直线 A

3、D与 BD的倾 斜角之和为（） A、 6 7 B、 4 5 C 、 3 4 D、 3 5 （9）某单位安排7 位员工在10 月 1 日至 7 日值班，每天安排 1 人，每人值班1 天. 若 7 位员工中的甲、乙排在 相邻两天，丙不排在10 月 1 日，丁不排在10 月 7 日，则不同的安排方案共有（） A、 504 种B、960 种C 、1008 种D、1108 种 （10）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（） A、直线B、椭圆C 、抛物线D、双曲线 二、填空题：本大题共5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 把答案填写在答题卡相应位置

4、上. （11）已知复数,1iz则z z 2 _. （12）设0|,3 ,2 , 1 , 0 2 mxxUxAU，若2, 1ACU ，则实数m_. （13）某篮球队员在比赛中每次罚球的命中率相同，且在两次罚球中至多命中一次的概率为 25 16 ，则该队员每次 罚球的命中率为_. （ 14）已知以 F 为焦点的抛物线xy4 2 上的两点BA、满足FBAF3，则弦AB的中点到准线的距离为 _. （15）已知函数)(xf满足：),)()()()(4, 4 1 )1(Ryxyxfyxfyfxff，则)2010(f_. 三、解答题：本大题共6 小题，共 75 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

5、 （16） （本小题满分13 分，（）小问7 分，（）小问6 分. ）设函数Rx x xxf, 2 cos2) 3 2 cos()( 2 . （）求)(xf的值域； （）记 ABC的内角CB、A 的对边长分别为 cba、 ，若3,1, 1)(cbBf，求 a的值 . （17） （本小题满分13 分，（）小问5 分，（）小问8 分. ）在甲、乙等6 个单位参加的一次“唱读讲传” 演出活动中，每个单位的节目集中安排在一起. 若采用抽签的方式随机确定各单位的演出顺序（序号为1， 2 ， 6） ，求： （）甲、乙两单位的演出序号至少有一个为奇数的概率；（）甲、乙两单位之间的演出单位个数的分 布列与期望

6、 . 题（ 19）图 C B A D E P （18） （本小题满分13 分，（）小问5 分，（）小问8 分 . ）已知函数)1ln( 1 )(x ax x xf，其中实数 1a（）若2a，求曲线)(xfy在点)0(,0(f处的切线方程； （）若)(xf在1x处取得极值，试讨 论)(xf的单调性 . （19） （本小题满分12 分，（）小问5 分，（）小问7 分. ）如题（ 19）图，四棱锥 ABCDP 中，底 面 ABCD 为矩形，PA底面ABCD，6ABPA，点E是棱PB的中点 .（） 求直线AD与平面PBC的 距离； （）若3AD，求二面角DECA的平面角的余弦值. x M 题（ 20）

7、图 2 l 1 l y G E N H O （20） （本小题满分12 分，（）小问5 分，（）小问7 分. ）已知以原点O为中心，)0 ,5(F为右焦点 的双曲线 C的离心率 2 5 e. （）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程； （）如题（ 20）图，已知过点),( 11 yxM的直线44: 111 yyxxl与过点),( 22 yxN（其中 12 xx）的直线 44: 222 yyxxl的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交于HG、两点，求OGH的面积 . （21） （本小题满分12 分，（）小问5 分，（）小问7 分. ） 在数列 n a中，)(12(, 1 1 11 Nnn

8、ccaaa n nn ，其中实数 0c . （）求 n a的通项公式； （）若对一切 Nk有 122kk aa，求c的取值范围 . 2010 年普通高等学校招生全国统一考试（重庆卷）数学试题答案 一选择题：每小题5 分，满分 50 分. （1）A （2）B（3）C （4）C （ 5）D （6）D（7）B （8）C （9） C （10）D 二填空题：每小题5 分，满分 25 分 . （11） i 2 （12） 3 （13） 5 3 （14） 3 8 （15） 2 1 三解答题：满分75 分 .（16） （本题 13 分） 解： （）1cos 3 2 sinsin 3 2 coscos)(xxxx

9、f 1cossin 2 3 cos 2 1 xxx1sin 2 3 cos 2 1 xx1) 6 5 sin(x， 因此)(xf的值域为2,0. （）由1)(Bf得11) 6 5 sin(B，即0) 6 5 sin(B，又因B0， 故 6 B. 解法一：由余弦定理Baccabcos2 222 ，得023 2 aa，解得1a或2. 解法二：由正弦定理 C c B b sinsin ，得 3 , 2 3 sinCC或 3 2 . 当 3 C时， 2 A，从而2 22 cba； 当 3 2 C时， 6 A，又 6 B，从而1ba. 故a的值为 1 或 2. （17） （本题 13 分）解：只考虑甲、

10、乙两单位的相对位置，故可用组合计算基本事件数. （）设A表示“甲、乙的演出序号至少一个为奇数”，则A表示“甲、乙的序号为偶数”，由等可能性事件的概 率计算公式得 5 4 5 1 11)(1)( 2 6 2 3 C C APAP. （）的所有可能值为0， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ，且 5 13 )2(, 15 44 ) 1(, 3 15 )0( 2 6 2 6 6 2 C P C P C P， 15 11 )4(, 15 22 )3( 2 6 2 6 C P C P. 从而知有分布列 0 1 2 3 4 y P z F A D E P 3 1 15 4 5 1 15 2 15 1 所以， 3

11、 4 15 1 4 15 2 3 5 1 2 15 4 1 3 1 0E. （19） （本题 12 分） 解法一： （）如答（19）图 1 ，在矩形 ABCD中，/AD 平面PBC， 故直线AD与平面PBC的距离为点A到平面PBC的距离 . 因PA底面ABCD，故，由ABPA知PAB为等腰三角 形，又点E是棱PB中点，故PBAE. 又在矩形ABCD 中，ABBC，而AB是PB在底面ABCD内的射影，由 三垂线定理得PBBC，从而BC平面PAB，故 AEBC. 从而AE平面PBC，故AE之长即为直线AD 与平面PBC的距离 . （）过点D作 CEDF ，交 CE于 F，过点 F 作 CEFG ，

12、交 AC于 G，则 DFG为所求的二面角的 平面角 . 由 （ ） 知 BC 平 面PAB，又 BCAD / ，得 AD 平 面PAB，故 AEAD ，从 而 6 22 ADAEDE. 在CBERt中，6 22 BCBECE.由6CD，所以CDE为等边三角形，故 F 为 CE的中点， 且 2 23 3 sinCDDF. 因为AE平面PBC ，故 CEAE ，又 CEFG ，知AEFG 2 1 /，从而 2 3 FG，且 G 点为 AC 的中点 . 连接 DG ，则在ADCRt中， 2 3 2 1 2 122 CDADACDG. 所以 3 6 2 cos 222 FGDF DGFGDF DFG.

13、 解法二：（）如答（ 19）图 2，以 A为坐标原点，射线 AB 、AD 、 AP分别为x轴、y轴、z轴正半轴，建立 空间直角坐标系xyzA. 设)0,0(aD，则)0,6(),0 ,0 ,6(aCB， ) 2 6 ,0, 2 6 (),6,0,0(EP. H Q x M 答（ 20）图 2 l 1 l y G E N O 因此)6,0 ,6(),0, 0(), 2 6 ,0 , 2 6 (PCaBCAE， 则0,0PCAEBCAE，所以AE平面 PBC. 又由BCAD /知/AD平面 PBC ，故直线 AD与平面 PBC的距离为点A到平面 PBC的距离，即为 3| AE . （）因为 3|

14、AD ，则)0,3,6(),0,3,0(CD. 设平面 AEC的法向量),( 1111 zyxn，则0, 0 11 AEnACn. 又) 2 6 ,0 , 2 6 (),0 ,3,6(AEAC，故 ,0 2 6 2 6 ,036 11 11 zx yx 所以 1111 ,2xzxy. 可取2 1 z，则)2, 2,2(n. 设平面 DEC的法向量 ),( 2222 zyxn，则0, 0 22 DEnDCn. 又) 2 6 ,3, 2 6 (),0,0,6(DEDC，故所以 222 2,0yzx . 可取1 2 y，则)2, 1 , 0( 2 n. 故 3 6 | ,cos 21 21 21 n

15、n nn nn. 所以二面角DECA的平面角的余弦值为 3 6 . （20） （本题 12 分）解： （）设C的标准方程为)0,0(1 2 2 2 2 ba b y a x ，则由题意 2 5 ,5 a c ec， 因此 1, 2 22 acba， C的标准方程为1 4 2 2 y x . C的渐近线方程为xy 2 1 ，即 02yx和02yx. （）解法一：如答（20）图，由题意点 ),( EE yxE在直线44: 111 yyxxl和 44: 222 yyxxl上，因此有44 11EE yyxx，44 22EE yyxx， 故点 M 、N均在直线44yyxx EE 上，因此直线 MN的方程

16、为44yyxx EE . 设 G、H分别是直线MN与渐近线02yx及02yx的交点， 由方程组 02 , 44 yx yyxx EE 及 , 02 ,44 yx yyxx EE 解得 EE H EE G yx y yx y 2 2 , 2 2 . 设MN与x轴的交点为Q，则在直线44yyxx EE 中，令0y得 E Q x x 4 （易知)0 E x. 注意到 44 22 EE yx，得 2 |4| |2 | 4 | 2 1 2 1 | | 4 | 2 1 22 EE E EEEEEE HGOGH yx x xyxyxx yyOQS. 解法二：设),( EE yxE，由方程组 ,44 , 44

17、 22 11 yyxx yyxx 解得 1221 21 1221 12 , )(4 yxyx xx y yxyx yy x EE ， 因 12 xx，则直线 MN 的斜率 E E y x xx yy k 412 12 . 故直线 MN 的方程为)( 4 11 xx y x yy E E ， 注意到44 11EE yyxx，因此直线MN 的方程为44yyxx EE .下同解法一 . （21） （本题 12 分） （）解法一：由ccccccaaa 2222 121 )12(33, 1， 232333 23 )13(85ccccccaa， 342344 34 )14(157ccccccaa，猜测Nn

18、ccna nn n ,)1( 12 . 下用数学归纳法证明. 当1n时，等式成立； 假设当kn时，等式成立，即 12 )1( kk k ccka，则当1kn时， )12()1()12( 1121 1 kccckckccaa kkkk kk kkkk cckcckk 1212 1)1()2(， 综上， 12 )1( nn n ccna对任何Nn都成立 . 解法二：由原式得)12( 1 1 n c a c a n n n n . 令 n n n c a b，则)12(, 1 11 nbb c b nn ，因此对2n有 112211 )()()(bbbbbbbb nnnnn c nn 1 3)32(

19、)12( c n 1 1 2 ， 因此 12 ) 1( nn n ccna，2n. 又当 1n 时上式成立 . 因此 Nnccna nn n ,)1( 12 . （）解法一：由 122kk aa，得 221221222 1) 12( 1)2( kkkk cckcck， 因0 22k c，所以01)144() 14( 222 ckkck. 解此不等式得：对一切 Nk，有 k cc或 / k cc，其中 )14(2 )14(4) 144()144( 2 2222 k kkkkk ck ， )14(2 )14(4)144() 144( 2 2222 / k kkkkk ck. 易知1lim k k

20、c， 又由 144) 14(4) 14() 14(4) 144( 2222222 kkkkkk，知 1 28 48 ) 14(2 14)144( 2 2 2 22 k kk k kkk ck ， 因此由 k cc对一切Nk成立得1c. 又0 ) 14(4) 144()144( 2 2222 / kkkkk ck ， 易知 / k c单调递增，故 / 1 / cck对一切Nk成立，因此由 / k cc对一切Nk成立得 6 131/ 1 cc. 从而c的取值范围为), 1 ) 6 131 ,(. 解法二：由 122kk aa，得 221221222 1)12(1)2( kkkk cckcck， 因

21、0 22k c， 所以014)(4 222 ccckkcc对 Nk恒成立 . 记14)(4)( 222 cccxxccxf，下分三种情况讨论. （）当0 2 cc即0c或1c时，代入验证可知只有1c满足要求 . （）当0 2 cc时，抛物线)(xfy开口向下，因此当正整数k充分大时，0)(xf 不符合题意，此时无解 . （）当0 2 cc即0c或1c时，抛物线)(xfy开口向上，其对称轴 )1(2 1 c x必在直线1x的左边 . 因此，)(xf在), 1上是增函数 . 所以要使0)(kf对 Nk恒成立，只需0)1 (f即可 . 由013)1 ( 2 ccf解得 6 131 c或 6 131

22、c. 结合0c或1c得 6 131 c或1c. G F 答（ 19）图 1 C B A D E P 综合以上三种情况，c的取值范围为), 1) 6 131 ,(. （18） （本题 13 分） 解： （） 1 1 )( 1 1 1 )( )1( )( 22 / xax a xax xax xf. 当1a时， 4 7 10 1 )20( 12 )0( 2 / f，而 2 1 )0(f，因此曲线)(xfy在点)0(,0(f处 的切线方程为)0( 4 7 ) 2 1 (xy即0247yx. （）1a，由（）知 2 1 1 1 11 1 )1( 1 )( 2 / aa a xf，即0 2 1 1 1 a ，解得3a. 此时)1ln( 3 1 )(x x x xf，其定义域为),3()3 , 1(，且 )1()3( )7)(1( 1 1 )3( 2 )( 22 / xx xx xx xf，由0)( / xf得7, 1 21 xx. 当 11x 或 7x 时，0)( / xf；当71x且3x时，0)( / xf. 由以上讨论知，)(xf在区间),7,1 , 1(上是增函数，在区间7, 3(),3, 1上是减函数 .