高考数学复习知识点按难度与题型归纳总结.pdf

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1、高考数学复习知识点按难度与题型归纳总结高考数学复习知识点按难度与题型归纳总结一、填空题答卷提醒：重视填空题的解法与得分，尽可能减少失误，这是取得好成绩的基石! A、14 题，基础送分题，做到不失一题！ A1.集合性质与运算 1、性质：任何一个集合是它本身的子集，记为AA；空集是任何集合的子集，记为A；空集是任何非空集合的真子集；如果 BA ，同时 AB ，那么A = B 如果CACBBA，那么，【注意】： Z= 整数（）Z =全体整数（）已知集合S中A的补集是一个有限集，则集合 A也是有限集（）空集的补集是全集若集合A=集合B，则 CBA=， CAB =CS（CAB

2、）=D（注：CAB =） 2、若= 123 , n a aaaK ，则的子集有 2 n 个，真子集有21 n 个，非空真子集有22 n 个. 3、 ABC ABACABCABACIUIUIUIUIU（）（）（） ,（）（）（）； ABCABCABCABCUUUU（）（）, （）（） 4、 De Morgan 公式 :() UUU CABC AC BIU；() UUU CABC AC BUI. 【提醒】：数轴和韦恩图是进行交、并、补运算的有力工具. 在具体计算时不要忘了集合本身和空集这两种特殊情况，补集思想常运用于解决否定型或正面较复杂的有关问题。 A2. 命题的否定与否命题 *1. 命题pq

3、的否定与它的否命题的区别：命题pq的否定是pq, 否命题是pq. 命题“p或q”的否定是“p且q”, “p且q”的否定是“p或q”. *2. 常考模式：全称命题p：,( )xMp x；全称命题p 的否定p：,( )xMp x. 特称命题p：,( )xMp x；特称命题p 的否定p：,( )xMp x. A3. 复数运算 *1. 运算律： mnm n zzz；() mnmn zz；1212()(,) mmm zzzzm nN. 【提示】注意复数、向量、导数、三角等运算率的适用范围. *2. 模的性质： 1212 | |z zzz； 11 22 | | | zz zz ； n n zz. *3

4、. 重要结论： 2222 121212 |2 |()zzzzzz； 2 2 12 zzzz； 2 12ii； 1 1 i i i ， 1 1 i i i ； i性质： T=4；1,1, 4342414nnnn iiiiii. 【拓展】： 32 1110 1或 13 i 22 . A4. 幂函数的的性质及图像变化规律： (1) 所有的幂函数在(0,)都有定义，并且图像都过点(1,1)； (2)0a时，幂函数的图像通过原点，并且在区间0,)上是增函数特别地，当1a时，幂函数的图像下凸；当01a时，幂函数的图像上凸； 1 2 yx 3 yx 1 2 yx y x 1 x y 1 O CB A U

5、(3)0a时，幂函数的图像在区间(0,)上是减函数在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图像在y轴右方无限地逼近 y轴正半轴，当x趋于时，图像在x轴上方无限地逼近x轴正半轴【说明】：对于幂函数我们只要求掌握 1 1 1,2,3, 2 3 a 的这 5 类，它们的图像都经过一个定点(0,0)和(0,1) ，并且1x时图像都经过(1,1) ，把握好幂函数在第一象限内的图像就可以了. A5. 统计 1. 抽样方法： (1) 简单随机抽样 ( 抽签法、随机样数表法 ) 常常用于总体个数较少时，它的主要特征是从总体中逐个抽取. (2) 分层抽样，主要特征分层按比例抽样，主要使用于总体中有明显

6、差异. 共同点：每个个体被抽到的概率都相等（ n N ） . 2. 用样本的算术平均数作为对总体期望值的估计；样本平均数： 12 1 11 () n ni i xxxxx nn L 4. 用样本方差的大小估计总体数据波动性的好差( 方差大波动差). (1) 一组数据 123 , n x xxx 样本方差 2222 12 1 ()()() n Sxxxxxx n 222 111 111 ()()() nnn iii iii xxxx nnn ；样本标准差 2222 12 1 ()()() n Sxxxxxx n = 2 1 1 () n i i xx n (2) 两组数据 123 , n

7、x xxx与 123 , n yyyy, 其中 i yaxb,1,2,3,in.则yaxb, 它们的方差为 222 yx Sa S, 标准差为| yx a 若 12 , n x xxL 的平均数为x，方差为 2 s，则 12 , n axb axbaxbL 的平均数为axb，方差为 22 a s. 样本数据做如此变换： ii xaxb，则 xaxb， 222 ()Sa S. 3. 总体分布的估计就是用总体中样本的频率作为总体的概率. 总体估计掌握：一“表”( 频率分布表) ；两“图” ( 频率分布直方图和茎叶图). 频率分布直方图用直方图反映样本的频率分布规律的直方图称为频率分布直方图

8、。频率分布直方图就是以图形面积的形式反映了数据落在各个小组内的频率大小. 频率 = 样本容量频数 . 小长方形面积=组距组距频率 =频率 . 所有小长方形面积的和=各组频率和 =1. 【提醒】：直方图的纵轴( 小矩形的高 ) 一般是频率除以组距的商(而不是频率 ) ，横轴一般是数据的大小，小矩形的面积表示频率. 茎叶图当数据是两位有效数字时，用中间的数字表示十位数，即第一个有效数字，两边的数字表示个位数，即第二个有效数字，它的中间部分像植物的茎，两边像植物茎上长出来的叶子，这种表示数据的图叫做茎叶图。 B、(5 9，中档题，易丢分，防漏 / 多解 ) B1.线性规划 1、二元一

9、次不等式表示的平面区域：数学应试笔记第2页（1）当0A时，若0AxByC表示直线 l 的右边，若0AxByC则表示直线l 的左边 . （2）当0B时，若0AxByC表示直线 l 的上方，若0AxByC则表示直线l 的下方 . 2、设曲线 111222 :()()0CA xB yCA xB yC（ 1212 0A A B B），则 111222 ()()0AxB yCA xB yC或0所表示的平面区域：两直线 111 0AxB yC和 222 0A xB yC所成的对顶角区域（上下或左右两部分）. 3、点 000 (,)P xy 与曲线(),fx y的位置关系：若曲线( ,)f x y

10、为封闭曲线（圆、椭圆、曲线|xaybm等），则 00 (),0fxy，称点在曲线外部；若( ,)f x y为开放曲线（抛物线、双曲线等），则 00 (),0fxy，称点亦在曲线“外部”. 4、已知直线:0lAxByC，目标函数zAx By. 当0B时，将直线 l 向上平移，则 z 的值越来越大；直线 l 向下平移，则 z 的值越来越小；当0B时，将直线 l 向上平移，则z的值越来越小；直线 l 向下平移，则z的值越来越大； 5、明确线性规划中的几个目标函数（方程）的几何意义：（1）zaxby，若0b，直线在 y 轴上的截距越大， z越大，若0b，直线在 y 轴上的截距越大， z

11、越小 . （2） ym xn 表示过两点,x yn m 的直线的斜率，特别 y x 表示过原点和, n m 的直线的斜率 . （3） 22 txmyn表示圆心固定，半径变化的动圆，也可以认为是二元方程的覆盖问题. （4） 22 yxmyn表示,x y 到点0,0的距离 . （5）(cos ,sin)F；（6） 00 22 AxByC d AB ；（7） 22 aabb；【点拨】：通过构造距离函数、斜率函数、截距函数、单位圆x 2+y2=1上的点 )sin,(cos及余弦定理进行转化达到解题目的。 B 2. 三角变换：三角函数式的恒等变形或用三角式来代换代数式称为三角变换三角恒等变形

12、是以同角三角公式，诱导公式，和、差、倍、半角公式，和差化积和积化和差公式，万能公式为基础三角代换是以三角函数的值域为根据，进行恰如其分的代换，使代数式转化为三角式，然后再使用上述诸公式进行恒等变形，使问题得以解决三角变换是指角 ( “配”与“凑” ) 、函数名( 切割化弦 ) 、次数 ( 降与升 ) 、系数 ( 常值“ 1”) 和运算结构 ( 和与积 ) 的变换，其核心是 “角的变换 ”. 角的变换主要有：已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换 . 变换化简技巧：角的拆变，公式变用，切割化弦，倍角降次，“1”的变幻，设元转化，引入辅角

13、，平方消元等 . 具体地：（1）角的“配”与“凑”：掌握角的“和”、“差”、“倍”和“半”公式后，还应注意一些配凑变形技巧，如下： 2，2 2 ； 2 2 ， 222 ； ()() 2222 ； 22()2()()()()()； 2()，2()； 154530 ,754530； 424 等. （2）“降幂”与“升幂”（次的变化）利用二倍角公式 2222 cos2cossin2cos12sin1和二倍角公式的等价变形 2 cos2 sin 1 2 ， 2 sin2 cos 1 2 ，可以进行“升”与“降”的变换，即“二次”与“一次”的互化 . （3）切割化弦（名的变化）利用同角三角函数

14、的基本关系，将不同名的三角函数化成同名的三角函数，以便于解题 . 经常用的手段是“切化弦”和“弦化切”. （4）常值变换常值 3321 ,1, 3 2232 可作特殊角的三角函数值来代换. 此外，对常值“1”可作如下代换： 2222 1sincossectantancot2sin 30tansincos0 42 xxxxxxL等. （5）引入辅助角一般的， 22 2222 sincos(sincos)sin() ab abab abab ，期中 2222 cos,sin,tan abb a abab . 特别的，sincos2sin() 4 AAA ; sin3cos2sin() 3

15、xxx ， 3sincos2sin() 6 xxx 等. （6）特殊结构的构造构造对偶式，可以回避复杂三角代换，化繁为简 . 举例： 22 sin 20cos 50sin 20 cos50A， 22 cos 20sin 50cos20 sin50B 可以通过 1 2sin70 ,sin70 2 ABAB两式和，作进一步化简. （7）整体代换举例：sin cosxxm 2 2sincos1xxm sin()m，sin()n，可求出sincos,cossin整体值，作为代换之用 . B 3. 三角形中的三角变换三角形中的三角变换，除了应用公式和变换方法外，还要注意三角形自身的特点 (1)

16、角的变换因为在ABC中，ABC（三内角和定理），所以任意两角和：与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余. 锐角三角形：三内角都是锐角；三内角的余弦值为正值；任两角和都是钝角；任意两边的平方和大于第三边的平方. 即，sinsin()ABC；coscos()ABC；tantan()ABC 22 sincos ABC ； 22 cossin ABC ； 22 tancot ABC . (2) 三角形边、角关系定理及面积公式，正弦定理，余弦定理面积公式： 11 sin()()() 22 a SshabCrpp papapa. 其中r为三角形内切圆半径，p为周长之数学应试笔记第

17、4页半tantantantantantan1 222222 ABBCCA (3) 对任意ABC，；在非直角ABC中，tantantantantantanABCABC (4) 在ABC中，熟记并会证明： *1.,ABC成等差数列的充分必要条件是60B *2.ABC是正三角形的充分必要条件是,ABC成等差数列且, , ,a b c成等比数列 *3. 三边, ,a b c成等差数列2bac2sinsinsinABC 1 tantan 223 AC ； 3 B. *4. 三边, , ,a b c成等比数列 2 bac 2 sinsinsinABC, 3 B. (5) 锐角ABC中, 2 ABsin

18、cos ,sincos,sincosABBCCA， 222 abc； sinsinsincoscoscosABCABC. 【思考】：钝角ABC中的类比结论 (6) 两内角与其正弦值：在ABC中，sinsinabABABcos2cos2BA， (7) 若CBA，则 222 2cos2cos2cosxyzyzAxzBxyC. B 4. 三角恒等与不等式组一 33 sin33sin4sin,cos34cos3cos 2222 sinsinsinsincoscos 3 2 3tantan tan3tantan() tan() 13tan33 组二 tantantantantantanABCABC

19、sinsinsin4coscoscos 222 ABC ABC coscoscos14sinsinsin 222 ABC ABC 222 sinsinsin22coscoscosABCABC 组三常见三角不等式 (1) 若(0,) 2 x，则sintanxxx； (2) 若 (0,) 2 x，则1sincos2xx； (3) |sin|cos|1xx； (4) x x xf sin )(在), 0(上是减函数； B5.概率的计算公式：古典概型：() A P A 包含的基本事件的个数基本事件的总数；等可能事件的概率计算公式： ( ) ( ) ( ) mcard A p A ncard I

20、；互斥事件的概率计算公式：P(A+B) P(A)+P(B) ；对立事件的概率计算公式是：P(A)=1 P(A) ；独立事件同时发生的概率计算公式是：P(A?B) P(A)?P(B) ；独立事件重复试验的概率计算公式是： ( )(1) kknk nn P kC PP( 是二项展开式 (1 P)+P n 的第 (k+1)项). 几何概型：若记事件A=任取一个样本点，它落在区域 g ，则 A的概率定义为 ( ) gA P A 的测度构成事件的区域长度（面积或体积等）的测度试验的全部结果构成的区域长度（面积或体积等）注意：探求一个事件发生的概率，常应用等价转化思想和分解(分类或分步 )

21、转化思想处理：把所求的事件转化为等可能事件的概率( 常常采用排列组合的知识) ；转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率；利用对立事件的概率，转化为相互独立事件同时发生的概率；看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率，但要注意公式的使用条件. 事件互斥是事件独立的必要非充分条件，反之，事件对立是事件互斥的充分非必要条件 . 【说明】：条件概率：称 )( )( )|( AP ABP ABP为在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。注意：0(|)1P B A； P(B C|A)=P(B|A)+P(C|A)。 B6. 排列、组合（1）解决有限制条件的( 有序排列，无序组合 ) 问题

22、方法是：直接法：位置分析法元素分析法用加法原理（分类）插入法（不相邻问题）用乘法原理（分步）捆绑法（相邻问题）间接法：即排除不符合要求的情形一般先从特殊元素和特殊位置入手. （2）解排列组合问题的方法有：特殊元素、特殊位置优先法元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素；位置优先法：先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置）。间接法（对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉）) 。相邻问题捆绑法（把相邻的若干个特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列）。不相

23、邻 (相间 ) 问题插空法（某些元素不能相邻或某些元素要在某特殊位置时可采用插空法，即先安排好没有限制元条件的元素，然后再把有限制条件的元素按要求插入排好的元素之间）。多排问题单排法。多元问题分类法。有序问题组合法。选取问题先选后排法。至多至少问题间接法。相同元素分组可采用隔板法。 ? 涂色问题先分步考虑至某一步时再分类. （3）分组问题：要注意区分是平均分组还是非平均分组，平均分成n组问题别忘除以!n. B7.最值定理 ,0,2x yxyxy由，若积()xyP定值，则当x y时和xy有最小值2p； ,0,2x yxyxy由，若和()xyS定值，则当xy是积xy有最大值 21

25、【点拨】：二次函数在给出区间上的最值有两类：一是求闭区间, m n上的最值；二是求区间定（动），对称轴动（定）的最值问题。求二次函数的最值问题，勿忘数形结合，注意开口方向和对称轴与所给区间的相对位置关系. 逆求法：通过反解，用y来表示x，再由x的取值范围，通过解不等式，得出y的取值范围，型如,(, ) axb yxm n cxd 的函数值域；换元法：化繁为间，构造中间函数，把一个较复杂的函数变为简单易求值域的函数，其函数特征是函数解析式含有根式或三角函数公式模型，通过代换构造容易求值域的简单函数，再求其值域；三角有界法：直接求函数的值域困难时，可以利用已学过函数的有界性

26、，如转化为只含正弦、余弦的函数，再运用其有界性来求值域；不等式法：利用基本不等式2( ,)abab a bR 求函数的最值，其题型特征解析式是和式时要求积为定值，型如 )0(k x k xy，解析式是积时要求和为定值，不过有时须要用到拆项、添项和两边平方等技巧；单调性法：根据函数的单调性求值域，常结合导数法综合求解；数形结合法：函数解析式具有明显的某种几何意义，可根据函数的几何意义，如斜率、距离、绝对值等，利用数与形相互配合的方法来求值域；分离常数法：对于分子、分母同次的分式形式的函数求值域问题，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式，进而可利用函数单调性确定其值域判

27、别式法：对于形如 2 111 2 222 a xb xc y a xb xc （ 1 a, 2 a 不同时为0）的函数常采用此法【说明】：对分式函数（分子或分母中有一个是二次）都可通用，但这类题型有时也可以用其它方法进行求解，不必拘泥在判别式法上，也可先通过部分分式后，再利用均值不等式： 1. 2 b y kx 型，可直接用不等式性质； 2. 2 bx y xmxn 型，先化简，再用均值不等式； 3. 2 2 xm xn y xmxn 型，通常用判别式法； 4. 2 xm xn y mxn 型，可用判别式法或均值不等式法； ? 导数法：一般适用于高次多项式函数求值域. B9.函数值域的题型

28、 ( 一) 常规函数求值域：画图像，定区间，截段 . 常规函数有：一次函数，二次函数，反比例函数，指数对数函数，三角函数，对号函数 . ( 二) 非常规函数求值域：想法设法变形成常规函数求值域. 解题步骤： (1) 换元变形； (2) 求变形完的常规函数的自变量取值范围； (3) 画图像，定区间，截段。 ( 三) 分式函数求值域：四种题型 (1) cxd y axb (0)a：则 c y a 且yR. (2)(2) cxd yx axb ：利用反表示法求值域。先反表示，再利用 x 的范围解不等式求y 的范围 . (3) 2 2 232 61 xx y xx ： (21)(2)21 () (21

29、)(31)312 xxx yx xxx ，则 1 y1 3 y且且yR. (4) 求 2 21 1 x y xx 的值域，当x R时，用判别式法求值域。 2 21 1 x y xx 2 (2)10yxyxy， 2 (2)4 (1)0yy y值域 . ( 四) 不可变形的杂函数求值域：利用函数的单调性画出函数趋势图像，定区间，截段 . 判断单调性的方法：选择填空题首选复合函数法，其次求导数；大题首选求导数，其次用定义。详情见单调性部分知识讲解. ( 五) 原函数反函数对应求值域：原函数的定义域等于反函数值域，原函数值域等于反函数定义域. ( 六) 已知值域求系数：利用求值域的前五种方法写求值

30、域的过程，将求出的以字母形式表示的值域与已知值域对照求字母取值或范围. B10. 应用基本不等式求最值的“八种变形技巧”：凑系数（乘、除变量系数）. 例 1. 当 04x时，求函的数(82 )yxx最大值 . 凑项（加、减常数项）：例 2. 已知 5 4 x ，求函数 1 ( )42 45 f xx x 的最大值 . 调整分子：例3. 求函数 2 710 ( )(1) 1 xx f xx x 的值域；变用公式：基本不等式 2 ab ab有几个常用变形： 22 2 ab ab, 2 () 2 ab ab， 22 22 abab ， 22 2 () 22 ab

31、ab . 前两个变形很直接，后两个变形则不易想到，应重视；例4. 求函数 15 2152 () 22 yxxx的最大值；连用公式：例5. 已知0ab，求 216 () ya b ab 的最小值；对数变换：例6. 已知 1 ,1 2 xy，且xy e，求 ln (2 ) y tx的最大值；三角变换：例7. 已知 2 0yx，且tan3tanxy，求txy的最大值；常数代换（逆用条件）：例 8. 已知0,0ab，且21ab，求 11 t ab 的最小值 . B11. “单调性”补了“基本不等式”的漏洞：平方和为定值若 22 xya（a为定值，0a），可设cos,sin,xaya，其中

32、02. ( , )sincos2 sin() 4 f x yxyaaa在 15 0,2) 44 上是增函数，在 15 , 44 上是减函数； 1 ( , )sin 2 2 g x yxya在 1357 0,2 ) 4444 上是增函数，在 1357 , 4444 上是减函数； 11sincos ( , ) sincos xy m x y xyxya .令sincos2 sin() 4 ta，其中数学应试笔记第8页 2,1)( 1,1)(1, 2tUU.由 2 12sincost，得 2 2sincos1t，从而 2 22 ( , ) 1 (1) () t m x y a t

33、a t t 在2,1)( 1,1)(1, 2UU上是减函数 . 和为定值若xyb（b为定值，0b），则.ybx 2 ( ,)g x yxyxbx在(, 2 b 上是增函数，在,) 2 b 上是减函数； 2 11 ( ,) xyb m x y xyxyxbx . 当0b时，在(,0),(0, 2 b 上是减函数，在, ),( ,) 2 b bb 上是增函数；当0b时，在(, ),( , 2 b bb上是减函数，在,0),(0,) 2 b 上是增函数 . 2222 ( , )22n x yxyxbxb 在(, 2 b 上是减函数，在,) 2 b 上是增函数；积为定值若xy c（c为定值，0

34、c ），则. c y x ( , ) c f x yxyx x . 当0c时，在,0),(0,cc上是减函数，在(,)cc上是增函数；当0c时，在(,0),(0,)上是增函数； 111 ( ,)() xyc m x yx xyxycx . 当0c时，在,0),(0,cc上是减函数，在 (,)cc上是增函数；当0c时，在(,0),(0,)上是减函数； 2 2222 2 ( ,)()2 cc n x yxyxxc xx 在(,),(0,cc上是减函数，在(,0,)cc上是增函数 . 倒数和为定值若 112 xyd （d为定值， 11 1 , x dy ），则. c y x 成

35、等差数列且均不为零，可设公差为z，其中 1 z d ，则 1111 ,zz xdyd 得,. 11 dd xy dzdz . 22 2 ( ) 1 d f xxy d z . 当0d时，在 11 (,),(,0 dd 上是减函数，在 11 0,),(,) dd 上是增函数；当0d时，在 11 (,),(,0 dd 上是增函数，在 11 0,),(,) dd 上减函数； 2 22 ( ,). 1 d g x yxy d z . 当0d时，在 11 (,),(,0 dd 上是减函数，在 11 0,),(,) dd 上是增函数；当0d时，在 11 (,),(,0 dd 上是减函数，在 11 0

36、,),(,) dd 上是增函数； 222 22 222 2(1) ( , ). (1) dd z n x yxy d z .令 22 1td z，其中1t且2t，从而 22 2 22 ( ,) 4 (2) 4 d td n x y t t t 在1,2)上是增函数，在(2,)上是减函数 . B 12. 理解几组概念 *1. 广义判别式设( )f x是关于实数x的一个解析式，, ca b都是与x有关或无关的实数且0a，则 2 40bac是方程 2 ( )( )0a f xbf xc有实根的必要条件，称“”为广义判别式. *2. 解决数学问题的两类

37、方法：一是从具体条件入手, 运用有关性质,数据 , 进行计算推导, 从而使数学问题得以解决；二是从整体上考查命题结构 , 找出某些本质属性, 进行恰当的核算, 从而使问题容易解决, 这一方法称为定性核算法. *3. 二元函数设有两个独立的变量x与 y 在其给定的变域中D中，任取一组数值时，第三个变量Z就以某一确定的法则有唯一确定的值与其对应，那末变量 Z称为变量 x与 y 的二元函数 . 记作：( ,)Zf x y. 其中x 与 y 称为自变量，函数Z也叫做因变量，自变量x与 y 的变域D称为函数的定义域. 把自变量x、 y 及因变量Z当作空间点的直角坐标，先在 xoy 平面内作出函数

38、( ,)Zf x y的定义域 D；再过D域中得任一点 ( ,)Mx y作垂直于xoy 平面的有向线段 MP ，使其值为与( , )x y对应的函数值 Z；当M点在D中变动时，对应的P点的轨迹就是函数( ,)Zf x y的几何图形 . 它通常是一张曲面，其定义域D就是此曲面在xoy 平面上的投影. *4. 格点在直角坐标系中，各个坐标都是整数的点叫做格点（又称整数点）. 在数论中，有所谓格点估计问题. 在直角坐标系中，如果一个多边形的所有顶点都在格点上，这样的多边形叫做格点多边形. 特别是凸的格点多边形，它是运筹学中的一个基本概念. *5. 间断点我们通常把间断点分成两类：如果 0

39、 x 是函数( )f x 的间断点，且其左、右极限都存在，我们把 0 x 称为函数( )f x的第一类间断点；不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点. *6. 拐点连续函数上，上凹弧与下凹弧的分界点称为此曲线上的拐点. 如果( )yf x在区间( , )a b内具有二阶导数，我们可按下列步骤来判定( )yf x的拐点 . (1) 求( )fx； (2) 令( )0fx ，解出此方程在区间( , )a b内实根； (3) 对于 (2) 中解出的每一个实根 0 x，检查 ( )fx 在 0 x左、右两侧邻近的符号，若符号相反，则此点是拐点，若相同，则不是拐点 . *7. 驻点曲线(

40、 )f x在它的极值点 0 x处的切线都平行于x轴，即 0 ()0f x. 这说明，可导函数的极值点一定是它的驻点 ( 又称稳定点、临界点) ；但是，反之，可导函数的驻点，却不一定是它的极值点. *8. 凹凸性定义在D上的函数( )f x ，如果满足：对任意 2 ,xxD 1 的都有 2 2 1 ()()() 22 xx ff xf x 1 1 ，则称是 ()fx上的凸函数 . 定义在 D上的函数如果满足：对任意的 2 ,x xD 1 都有 2 2 1 ()()() 22 xx ff xf x 1 1 ，则称 ( )f xD是上的凹函数 . 【注】：一次函数的图像（直线）既是凸的又是凹的（

41、上面不等式中的等号成立）. 若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的下方，则称这段弧是凹的；若曲线弧上每一点的切线都位于曲线的上方，则称这段弧是凸的. 连续曲线凹与凸部分的分界点称为曲线的拐点. B13. 了解几个定理 *1. 拉格朗日中值定理: 如果函数( )yf x在闭区间 , a b上连续，在开区间( , )a b内可导，那末在( , )a b内至少有一点c，使( )( )()( )f bf aba fc 成立 . 这个定理的特殊情形，即：( )( )f bf a的情形 . 描述如下：若( )x在闭区间 , a b上连续，在开区间( , )a b内可导，且( )( )ab，那么在( ,

42、)a b内至少有一点c，使( )0c成立 . *2. 零点定理：设函数）（xf在闭区间,ba上连续，且( )( )0f af b 那么在开区间),(ba内至少有函数)(xf的一个零点，即至少有一点（a b ）使0)(f 数学应试笔记第10页 *3. 介值定理：设函数)(xf在闭区间,ba上连续，且在这区间的端点取不同函数值，BbfAaf)(,)(，那么对于BA,之间任意的一个数 C ，在开区间),(ba内至少有一点，使得Cf)(（a b） *4. 夹逼定理：设当 0 0|xx时，有( )g x( )f x)(xh，且Axhxg xxxx )(lim)(lim 00 ，则

43、必有 .)(lim 0 Axf xx 【注】： 0 |xx：表示以 0 x 为的极限，则| 0 xx就无限趋近于零（为最小整数） C、1012，思维拓展题，稍有难度，要在方法切入上着力 C1.线段的定比分点公式设 111 (,)P x y ， 222 (,)P xy ，( , )P x y是线段 12 PP 的分点，是实数，且 12 PPPP u u ruu r （或 P2P= 1 P1P），则 12 12 1 1 xx x yy y 12 1 OPOP OP uu ruu r uu r 12 (1)OPtOPt OP u u ruu ruu r （ 1 1 t ）推广 1：当1

44、时，得线段 21P P的中点公式： 12 12 2 2 yy y xx x 推广 2： MB AM 则 1 PBPA PM （对应终点向量）三角形重心坐标公式：ABC的顶点 332211 ,yxCyxByxA，重心坐标yxG,： 123 123 3 3 xxx x yyy y 注意：在 ABC中，若 0 为重心，则0OCOBOA，这是充要条件【公式理解】： *1. 是关键 (1) ( 内分) 0 (外分) 1 e=1 asinacos,() bsinbcos(), N y x N的轨迹是椭圆 O A B C D 数学应试笔记第16页圆锥曲线第二定义（统一定义）：平面内到定点F和定直线

45、 l 的距离之比为常数e的点的轨迹简言之就是 “ e 点点距点线距（数的统一）”，椭圆，双曲线，抛物线相对关系（形的统一）如右图. 当10e时，轨迹为椭圆；当1e时，轨迹为抛物线；当1e时，轨迹为双曲线；当 0e 时，轨迹为圆（ a c e，当bac,0时）圆锥曲线的对称性、圆锥曲线的范围、圆锥曲线的特殊点线、圆锥曲线的变化趋势. 其中 c e a ，椭圆中 2 1 b e a 、双曲线中 2 1 b e a . 圆锥曲线的焦半径公式如下图：特征直角三角形、焦半径的最值、焦点弦的最值及其“顶点、焦点、准线等相互之间与坐标系无关的几何性质”，尤其是双曲线中焦半径最值、焦点

46、弦最值的特点. C11.函数图像变换（主要有平移变换、翻折变换、对称变换和伸缩变换等）. 1. 平移变换向量平移法则： yfx 按,ah k r =() 平移得yfxhk，即,0Fx y按,ah k r =() 平移得,0Fxh yk，当 0m时，向右平移，0m时，向左平移 . 当0n时，向上平移，0n时向下平移. 对于“从 yfx 到 yfxhk ”是“左加右减，上加下减”，对于平移向量“,ah k r =()”是“左负右正，上正下负”. 【小结】：“按向量平移”的几个结论点( ,)P x y按向量( , )ah k平移后得到点 ( ,)P xh yk. 函数( )yf x的图像C按向

47、量( , )ah k平移后得到图像 C，则 C的函数解析式为 ()yf xhk. 图像 C按向量( , )ah k平移后得到图像C，若C的解析式( )yf x，则 C的函数解析式为 ()yf xhk. 曲线C：( ,)0f x y按向量( , )ah k平移后得到图像 C，则 C的方程为(,)0f xh yk. 向量( , )mx y按向量( , )ah k平移后得到的向量仍然为( , )mx y. 2. 翻折变换 (1) 由y fx 得到|( ) |yf x，就是把 yfx 的图像在x轴下方的部分作关于x轴对称的图像，即把x轴下方的部分翻到x轴上方，而原来x轴上方的部分不变. (2) 由

48、yfx 得到(|)yfx，就是把 yfx 的图像在y轴右边的部分作关于y轴对称的图像，即把y轴右边的部分翻到y轴的左边，而原来y轴左边的部分去掉，右边的部分不变. 2 p d 2 2b l a 2 2b l a 2 b d c 2 2b l a 2 b d c a ex a ex a ex a ex ()a ex 2 p x 3. 伸缩变换 (1) 设点,P x y是平面直角坐标系内的任意一点，在变换 / / 0 : 0 xx yy 的作用下，点 ,P x y对应于点 / ,Pxy，函数 fx 在变换 / / 0 : 0 xx yy 下得到 / / 1y fx (2) 将yfx的横坐标变为原来的a倍，纵坐标变为原来的m倍，得到 x ymf a 即 / / / / xax x yfxymf a ymy uuuuuuuuuuuu u r 4. 对称变换 (1) 函数()yfx的图像可以将函数( )yfx的图像关于y轴对称即可得到； () 轴y yfxyfx (2) 函数( )yf x的图像可以将函数( )yfx的图像关于x轴对称即可得到；轴x yfxyfx (3) 函数()yfx的图像可以将函数( )yfx的图像关于原点

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