高考数学试卷(理科)解析.pdf

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1、第1页（共 44页）上海市高考数学试卷（理科）一、填空题（本大题共有14 题，满分 48 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4 分，否则一律得零分 1 （4 分）（2019?上海）设全集 U=R若集合 =1，2，3，4 ， =x|2 x 3，则 ?U = 2（4 分）（2019?上海）若复数 z 满足 3z+=1+i，其中 i 是虚数单位，则 z= 3 （ 4 分）（2019?上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则 c1 c2= 4 （ 4 分）（2019?上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则 a= 5 （4 分）（2019?上海）

2、抛物线 y2=2px（p 0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则 p= 6 （4 分）（2019?上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2 ，则其母线与轴的夹角的大小为 7 （ 4 分）（2019?上海）方程log2（9x 1 5）=log 2（3x 12）+2 的解为 8 （ 4 分）（2019?上海）在报名的3 名男老师和6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为（结果用数值表示） 9 （ 2019?上海）已知点P 和 Q 的横坐标相同，P的纵坐标是Q 的纵坐标的2 倍，P 和 Q 的轨迹分别为双曲线C1和 C2若 C1的渐

3、近线方程为y=x，则 C2的渐近线方程为 10 （4 分）（2019?上海）设f 1（x）为 f（x）=2x2+ ，x 0，2的反函数，则 y=f （x）+f 1（x）的最大值为 11 （4 分）（2019?上海）在（1+x+）10的展开式中， x2项的系数为（结果用数值表示） 12 （4 分）（2019?上海）赌博有陷阱某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3， 4，5 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡第2页（共 44页）片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.4 倍作为其奖金（单位：元）若随机变量 1和 2分

4、别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 E1E2= （元） 13 （4 分）（2019?上海）已知函数f（ x）=sinx若存在x1，x2，，xm满足 0 x1 x2 xm 6 ，且|f（x1）f（x2）|+|f（x2）f（ x3）|+ +|f（xm1）f（xm）|=12（m 12， m N *），则 m 的最小值为 14 （2019?上海）在锐角三角形A BC 中，tanA=，D 为边BC 上的点， A BD 与 ACD 的面积分别为2 和 4过 D 作 D EA B 于 E，DFAC 于 F，则 ?= 二、选择题（本大题共有4 题，满分 15 分）每题有且只有一个正确答案，考生应

5、在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分 15 （5 分）（2019?上海）设z1，z2 C，则“ z1、z2中至少有一个数是虚数” 是 “ z1z2是虚数 ” 的（） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C 充要条件D 既非充分又非必要条件 16 （5 分）（2019?上海）已知点A 的坐标为（ 4，1），将 OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至 OB，则点 B 的纵坐标为（） A B C D 17 （2019?上海）记方程：x 2+a 1x+1=0 ，方程：x 2+a2x+2=0，方程： x 2+a3x+4=0，其中 a1，

6、a2，a3是正实数当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的是（） A 方程有实根，且有实根 B 方程有实根，且无实根 C 方程无实根，且有实根 D 方程无实根，且无实根 18 （5 分）（2019?上海）设Pn（xn，yn）是直线2x y=（n N *）与圆 x2+y2=2 在第一象限的交点，则极限=（）第3页（共 44页） A 1 B C 1 D 2 三、解答题（本大题共有5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19 （12 分）（2019?上海）如图，在长方体ABCD A1

7、B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2 ， E、F 分别是 AB、BC 的中点，证明 A1、C1、F、E 四点共面，并求直线CD1与平面 A1C1FE 所成的角的大小 20 （14 分）（2019?上海）如图，A，B，C 三地有直道相通，AB=5 千米，AC=3 千米，BC=4 千米现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过 t 小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）甲的路线是AB，速度为 5 千米 /小时，乙的路线是 ACB ，速度为 8 千米 /小时乙到达B 地后原地等待设t=t1时乙到达 C 地（1）求 t1与 f（ t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有

8、效通话距离是3 千米当 t1 t 1 时，求 f（t）的表达式，并判断 f（t）在 t1， 1上的最大值是否超过3？说明理由 21 （14 分）（2019?上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和 l2分别于椭圆交于 A、B 和 C、D，记得到的平行四边形ABCD 的面积为S （1）设 A（x1， y1），C（x2，y2），用 A、C 的坐标表示点C 到直线 l1的距离，并证明 S=2|x1y2x2y1|；（2）设 l1与 l2的斜率之积为，求面积 S 的值 22 （16 分）（2019?上海）已知数列an与 bn 满足 an+1an=2（ bn+1bn）

9、，n N * （1）若 bn=3n+5，且 a1=1，求数列 an的通项公式；（2）设 an的第 n0项是最大项，即 a an（n N*），求证：数列 bn的第 n0项是最大项；（3）设 a1= 0， bn= n（ n N*），求的取值范围，使得 an有最大值 M 与最小值 m，且（ 2，2）第4页（共 44页） 23 （18 分）（2019?上海）对于定义域为R 的函数 g（x），若存在正常数T，使得 cosg （x）是以 T 为周期的函数，则称 g（x）为余弦周期函数，且称 T 为其余弦周期已知 f（x）是以 T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R设 f（x）

10、单调递增，f（0）=0， f（T）=4 （1）验证 g（x）=x+sin是以 6为周期的余弦周期函数；（2）设 ab，证明对任意c f（a），f（b），存在 x0 a， b，使得 f（x0）=c；（3）证明： “ u0为方程 cosf（x）=1 在0， T上得解，” 的充分条件是“ u0+T 为方程 cosf （x）=1 在区间 T，2T上的解 ” ，并证明对任意x 0，T，都有 f（ x+T）=f（x） +f（T）第5页（共 44页） 2019 年上海市高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有14 题，满分 48 分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写

11、结果，每个空格填对4 分，否则一律得零分 1 （4 分）（2019?上海）设全集 U=R若集合 =1，2，3，4 ， =x|2 x 3，则 ?U =1 ，4 考点：交、并、补集的混合运算专题：集合分析：本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可解答：解：全集 U=R，集合 =1 ，2， 3，4 ， =x|2 x 3 ，（?UB） =x|x 3 或 x 2 ， A （?UB） =1 ，4，故答案为： 1，4 点评：本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键本题考查了推理判断的能力

12、第6页（共 44页） 2 （4 分）（2019?上海）若复数 z满足 3z+=1+i，其中 i 是虚数单位，则 z= 考点：复数代数形式的乘除运算专题：数系的扩充和复数分析：设 z=a+bi，则=abi （a，b R），利用复数的运算法则、复数相等即可得出解答：解：设 z=a+bi，则 =abi（a， b R），又 3z+=1+i， 3（ a+bi）+ （a bi） =1+i，化为 4a+2bi=1+i ， 4a=1， 2b=1，解得 a= ， b= z= 故答案为：点评：本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题第7页（共 44页） 3

13、（ 4 分）（2019?上海）若线性方程组的增广矩阵为解为，则 c1c2= 16 考点：二阶行列式与逆矩阵专题：矩阵和变换分析：根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可解答：解：由题意知，是方程组的解，即，则 c1c2=21 5=16，故答案为： 16 点评：本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键 4 （4 分）（2019?上海）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则 a=4 第8页（共 44页）考点：棱锥的结构特征专题：空间位置关系与距离分析：由题意可得（?a?a?sin6 0

14、） ?a=16，由此求得 a的值解答：解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于 a的等边三角形，面积为 ?a?a?sin60 ，正棱柱的高为 a，（?a?a?sin6 0 ） ?a=16， a=4，故答案为： 4 点评：本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题 5 （4 分）（2019?上海）抛物线 y2=2px（p 0）上的动点Q 到焦点的距离的最小值为1，则 p=2 考点：抛物线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：利用抛物线的顶点到焦点的距离最第9页（共 44页）小，即可得出结论解答：解：因为抛物线

15、y 2=2px （p 0）上的动点 Q 到焦点的距离的最小值为 1，所以=1，所以 p=2 故答案为： 2 点评：本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础 6 （4 分）（2019?上海）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2 ，则其母线与轴的夹角的大小为考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）专题：空间位置关系与距离分析：设圆锥的底面半径为r，高为 h，母线长为 l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2 ，可得 l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案解答：解：设圆锥的第10页（共 4

16、4页）底面半径为 r，高为 h，母线长为l，则圆锥的侧面积为： rl，过轴的截面面积为： rh，圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 2 ， l=2h，设母线与轴的夹角为，则 cos =，故 =，故答案为：点评：本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键 7 （ 4 分）（2019?上海）方程log2（9x 1 5）=log 2（3x 12）+2 的解为 2 考点：对数的运算性质专题：函数的性质及应用分析：利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可解答：解：log2（9x

17、第11页（共 44页） 15）=log 2 （3x 12） +2，log2 （9x 15） =log24 （3x 12）， 9x 15=4 （3x 12），化为（ 3x） 2 12?3 x+27=0 ，因式分解为：（3x3）（3x 9） =0， 3x=3， 3x=9，解得 x=1 或 2 经过验证： x=1 不满足条件，舍去 x=2 故答案为： 2 点评：本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题 8 （ 4 分）（2019?上海）在报名的3 名男老师和6 名女教师中，选取 5 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选

18、取方式的种数为120（结果用数值表示）考点：排列、组合的实际应用专题：计算题；排列组合分析：根据题意，运用排除法分析，先在 9 名老师中选取 5 人，参第12页（共 44页）加义务献血，由组合数公式可得其选法数目，再排除其中只有女教师的情况；即可得答案解答：解：根据题意，报名的有 3名男老师和 6 名女教师，共 9 名老师，在 9名老师中选取 5 人，参加义务献血，有 C95=126 种；其中只有女教师的有 C65=6 种情况；则男、女教师都有的选取方式的种数为 126 6=120 种；故答案为： 120 点评：本题考

19、查排列、组合的运用，本题适宜用排除法（间接法），可以避免分类讨论，简化计算 9 （ 2019?上海）已知点P 和 Q 的横坐标相同，P的纵坐标是Q 的纵坐标的2 倍，P 和 Q 的轨迹分别为双曲线C1和 C2若 C1的渐近线方程为y=x，则 C2的渐近线方程为第13页（共 44页）考点：双曲线的简单性质专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：设 C1的方程为 y2 3x 2= ，利用坐标间的关系，求出 Q 的轨迹方程，即可求出 C2的渐近线方程解答：解：设 C1的方程为 y 2 3x2= ，设 Q（x， y），则 P （x， 2y

20、），代入 y 23x2= ，可得 4y2 3x2= ， C2的渐近线方程为4y2 3x2=0，即故答案为：点评：本题考查双曲线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础 10 （4 分）（2019?上海）设f 1（x）为 f（x）=2x2+ ，x 0，2的反函数，则 y=f （x）+f 1（x）的最大值为 4 考点：反函数第14页（共 44页）专题：函数的性质及应用分析：由 f（x）=2 x 2+ 在 x 0， 2上为增函数可得其值域，得到 y=f 1（ x）在上为增函数，由函数的单调性求得 y=f （x）+f 1 （x）的最大值解答：解：由

21、 f（x） =2x 2+ 在 x 0，2上为增函数，得其值域为，可得 y=f 1 （x）在上为增函数，因此 y=f （x） +f 1（x）在上为增函数， y=f（ x）+f 1（x）的最大值为 f（2） +f 1（2） =1+1+2=4 故答案为： 4 点评：本题考查了互为反函数的两个函数图象间的关第15页（共 44页）系，考查了函数的单调性，属中档题 11 （4 分）（2019?上海）在（ 1+x+） 10 的展开式中，x 2 项的系数为45（结果用数值表示）考点：二项式系数的性质专题：二项式定理分析：先把原式前两项结合展开，分析可知

22、仅有展开后的第一项含有 x 2 项，然后写出第一项二项展开式的通项，由 x 的指数为 2 求得 r 值，则答案可求解答：解：（1+x+ ）10 = ，仅在第一部分中出现 x2项的系数再由，令 r=2，可得， x2项的系数第16页（共 44页）为故答案为： 45 点评：本题考查了二项式系数的性质，关键是对二项展开式通项的记忆与运用，是基础题 12 （4 分）（2019?上海）赌博有陷阱某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3， 4，5 的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡

23、片上数字之差的绝对值的1.4 倍作为其奖金（单位：元）若随机变量1和 2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 E1E2=0.2 （元）考点：离散型随机变量的期望与方差专题：概率与统计分析：分别求出赌金的分布列和奖金的分布列，计算出对应的均值，即可得到结论解答：解：赌金的分布列为 P 所以E1= （1+2+3+4+5 ）=3，奖金的分布列为第17页（共 44页） P = 所以 E2=1.4 （ 1+ 2 + 3+ 4） =2.8，则 E1 E2=3 2.8=0.2 元故答案为：0.2 点评：本题主要考查离散型随机变量的分布列和期望的计算，

25、析：由题意画出图形，结合面积求出第18页（共 44页） cosA=，，然后代入数量积公式得答案解答：解：如图， ABD 与 ACD 的面积分别为 2和 4，，，可得，，又 tanA=，，联立 sin 2A+cos2A =1，得第19页（共 44页）， cosA= 由，得则 ?= = 故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积运算，考查了数形结合的解题思想方法，考查了三角函数的化简与求值，是中档题二、选择题（本大题共有4 题，满分 15 分）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分

26、，否则一律得零分 15 （5 分）（2019?上海）设z1，z2 C，则“ z1、z2中至少有一个数是虚数” 是 “ z1z2是虚数 ” 的（） A 充分非必要条件 B 必要非充分条件 C充要条件D既非充分又第20页（共 44页）非必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：简易逻辑；数系的扩充和复数分析：根据充分条件和必要条件的定义结合复数的有关概念进行判断即可解答：解：设 z1=1+i， z2=i，满足 z1、z2中至少有一个数是虚数，则 z1 z2=1 是实数，则 z1 z2是虚数不成立，若 z1、z2都是实数，则 z

27、1 z2一定不是虚数，因此当 z1z2 是虚数时，则 z1、z2中至少有一个数是虚数，即必要性成立，故“ z1、 z2中至少有一个数是虚数 ” 是“ z1 z2是虚数 ” 的必要不充分条件，故选： B 点评：本题主要考查充分条件第21页（共 44页）和必要条件的判断，根据复数的有关概念进行判断是解决本题的关键 16 （5 分）（2019?上海）已知点A 的坐标为（ 4，1），将 OA 绕坐标原点O 逆时针旋转至 OB，则点 B 的纵坐标为（） A B C D 考点：任意角的三角函数的定义专题：三角函数的求值分析：根据三角函数的定义，

28、求出 xOA 的三角函数值，利用两角和差的正弦公式进行求解即可解答：解：点 A 的坐标为（4， 1），设 xOA= ，则 sin = =， cos = 第22页（共 44页） =，将 OA 绕坐标原点 O 逆时针旋转至 OB，则 OB 的倾斜角为 +，则 |OB|=|OA|= ，则点 B 的纵坐标为 y=|OP|sin （ +）=7 （sin cos +cos sin） =7 （ + ） =+6=，故选： D 点评：本题主要考查三角函数值的计算，根据三角函数的定义以及两角和差的正弦公式是解决本题的关键第23页（共 44页） 17 （201

29、9?上海）记方程：x 2+a1x+1=0 ，方程：x 2+a2x+2=0，方程： x 2+a3x+4=0，其中 a1， a2，a3是正实数当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的是（） A 方程有实根，且有实根 B 方程有实根，且无实根 C 方程无实根，且有实根 D 方程无实根，且无实根考点：根的存在性及根的个数判断专题：函数的性质及应用分析：根据方程根与判别式之间的关系求出 a12 4， a228，结合 a1， a2， a3成等比数列求出方程的判别式的取值即可得到结论解答：解：当方

30、程有实根，且无实根时， 1=a12 4 0， 2=a22 8 0，即 a12 4， a228， a1，a2， a3成等比数列， a22=a1a3，即 a3= ，第24页（共 44页）则 a32= （） 2= ，即方程的判别式 3=a32 16 0，此时方程无实根，故选： B 点评：本题主要考查方程根存在性与判别式之间的关系，结合等比数列的定义和性质判断判别式的取值关系是解决本题的关键 18 （5 分）（2019?上海）设Pn（xn，yn）是直线2x y=（n N*）与圆 x 2+y2=2 在第一象限的交点，则极限=（） A 1 B C 1

31、D 2 考点：极限及其运算专题：导数的综合应用分析：当 n+时，直线 2x y=趋近于 2xy=1，第25页（共 44页）与圆 x 2+y2=2 在第一象限的交点无限靠近（ 1， 1），利用圆的切线的斜率、斜率计算公式即可得出解答：解：当 n+ 时，直线 2x y=趋近于 2x y=1，与圆 x2+y 2=2 在第一象限的交点无限靠近（1，1），而可看作点Pn （xn， yn）与（ 1，1）连线的斜率，其值会无限接近圆 x2+y 2=2 在点（1，1）处的切线的斜率，其斜率为 1 =1 故选： A 点评：本题考查了极限思想、

32、圆的切线的斜率、斜率计算公式，考查第26页（共 44页）了推理能力与计算能力，属于中档题三、解答题（本大题共有5 题，满分 74 分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤. 19 （12 分）（2019?上海）如图，在长方体ABCD A1B1C1D1中，AA1=1，AB=AD=2 ， E、F 分别是 AB、BC 的中点，证明 A1、C1、F、E 四点共面，并求直线CD1与平面 A1C1FE 所成的角的大小考点：直线与平面所成的角专题：空间角分析：利用长方体的集合关系建立直角坐标系利用法向量求出二面角解答：解：连接 AC ，因为

33、 E，F 分别是 AB ， BC 的中点，所以 EF 是 ABC 的中位线，所以 EFAC 由长方体的性质知 ACA1C1，所以 EFA1C1，所以 A1、C1、 F、 E 四点共面以 D 为坐标原点，DA 、第27页（共 44页） DC、DD1分别为 xyz 轴，建立空间直角坐标系，易求得，设平面 A1C1EF 的法向量为则，所以，即， z=1，得 x=1，y=1，所以，所以 = 第28页（共 44页），所以直线 CD1与平面 A1C1FE 所成的角的大小 arcsin 点评：本题主要考查利用空间直角坐标系求出二面角的方法，属高

34、考常考题型 20 （14 分）（2019?上海）如图，A，B，C 三地有直道相通，AB=5 千米，AC=3 千米，BC=4 千米现甲、乙两警员同时从A 地出发匀速前往B 地，经过 t 小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）甲的路线是AB，速度为 5 千米 /小时，乙的路线是 ACB ，速度为 8 千米 /小时乙到达B 地后原地等待设t=t1时乙到达 C 地（1）求 t1与 f（ t1）的值；（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3 千米当 t1 t 1 时，求 f（t）的表达式，并判断 f（t）在 t1， 1上的最大值是否超过3？说明理由考点：余弦定理的应用

35、专题：解三角形分析：（1）由题意可得 t1=h，由余弦定理可得 f（t1） =PC= ，代值计算可得；第29页（共 44页）（2）当 t1 t 时，由已知数据和余弦定理可得 f （t） =PQ= ，当t 1 时，f（t） =PB=55t，综合可得当 t 1 时，f （t） 0，，可得结论解答：解：（ 1）由题意可得 t1=h，设此时甲运动到点 P，则 AP=v甲 t1=5 =千米， f（t1） =PC= = =千米；（2）当 t1 t 时，乙在 CB 上的 Q 点，设甲在 P点，第30页（共 44页） QB=AC+C B8t=78t， PB=AB

36、 AP=55t， f（t） =PQ= = = ，当t 1 时，乙在 B 点不动，设此时甲在点 P， f（t） =PB=AB AP=55t f（t） = 当t 1 时，f（t） 0，，故 f（t）的最大值超过了3 千米点评：本题考查解三角形的实际应用，涉及余弦定理和分段函数，属中档题第31页（共 44页） 21 （14 分）（2019?上海）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和 l2分别于椭圆交于 A、B 和 C、D，记得到的平行四边形ABCD 的面积为S （1）设 A（x1， y1），C（x2，y2），用 A、C 的坐标表示点C 到直线 l1的距

37、离，并证明 S=2|x1y2x2y1|；（2）设 l1与 l2的斜率之积为，求面积 S 的值考点：直线与圆锥曲线的综合问题；点到直线的距离公式专题：直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）依题意，直线 l1的方程为 y=x，利用点到直线间的距离公式可求得点 C 到直线 l1 的距离 d= ，再利用 |AB|=2|AO|=2 ，可证得 S=|AB|d=2|x1 y2x2y1|；（2）方法一：设直线 l1的斜率为 k，则直线 l2的斜率为，第32页（共 44页）可得直线l1 与 l2的方程，联立方程组，可求得 x1、x2、y1

38、、 y2，继而可求得答案方法二：设直线 l1、l2的斜率分别为、，则 =，利用 A（x1， y1）、C（x2， y2）在椭圆 x2+2y 2=1 上，可求得面积S 的值解答：解：（ 1）依题意，直线 l1 的方程为 y=x，由点到直线间的距离公式得：点 C 到直线 l1的距离 d= = 第33页（共 44页），因为 |AB|=2|AO|=2 ，所以 S=|AB|d=2|x1 y2x2y1|；（2）方法一：设直线 l1的斜率为 k，则直线 l2的斜率为，设直线 l1的方程为 y=kx ，联立方程组，消去 y 解得 x= ，根据对称性，

40、程思想、等价转化思想与综合运算能力，属于难题 22 （16 分）（2019?上海）已知数列an与 bn 满足 an+1an=2（ bn+1bn），n N * （1）若 bn=3n+5，且 a1=1，求数列 an的通项公式；（2）设 an的第 n0项是最大项，即 a an（n N*），求证：数列 bn的第 n0项是最大项；（3）设 a1= 0， bn= n（ n N*），求的取值范围，使得 an有最大值 M 与最小值 m，且（ 2，2）考点：数列递推式；数列的函数特性专题：创新题型；等差数列与等比数列；不等式的解法及应用分析：（1）

41、把 bn=3n+5 代入已知递推式第36页（共 44页）可得 an+1 an=6，由此得到 an是等差数列，则 an可求；（2）由 an= （anan1） + （an1an 2）+ +（ a2 a1）+a1，结合递推式累加得到 an=2bn+a1 2b1，求得，进一步得到得答案；（3）由（ 2）可得，然后分 1 0， =1， 1 三种情况求得 an的最大值 M 和最小值 m，再由（ 2， 2）列式求得的范围解答：（1）解： an+1an=2 （bn+1bn）， bn=3n+5， an+1an=2 （bn+1bn） =2 （3n+83n 5） =6，

42、第37页（共 44页） an 是等差数列，首项为 a1=1，公差为 6，则 an=1+（n 1） 6=6n 5；（2） an= （ an an1）+（ an 1an2） + +（a2a1） +a1 =2 （ bnbn1） +2（bn1bn 2）+ +2（b2 b1）+a1 =2bn+a1 2b1，，数列 bn 的第 n0项是最大项；（3）由（ 2）可得，当 1 0 时，单调递减，有最大值；第38页（共 44页）单调递增，有最小值 m=a1= ，（ 2，2），，当 =1 时，a2n=3， a2n1=1， M=3 ，m= 1，（ 2，2），不满

43、足条件当 1 时，当 n+时， a2n+，无最大值；当 n+时， a2n1，无最小值综上所述，（， 0）时满足条件点评：本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了数列的函数特性，第39页（共 44页）训练了累加法求数列的通项公式，对（ 3）的求解运用了极限思想方法，是中档题 23 （18 分）（2019?上海）对于定义域为R 的函数 g（x），若存在正常数T，使得 cosg （x）是以 T 为周期的函数，则称 g（x）为余弦周期函数，且称 T 为其余弦周期已知 f（x）是以 T 为余弦周期的余弦周期函数，其值域为R设 f（x）单调递增，f（

44、0）=0， f（T）=4 （1）验证 g（x）=x+sin是以 6为周期的余弦周期函数；（2）设 ab，证明对任意c f（a），f（b），存在 x0 a， b，使得 f（x0）=c；（3）证明： “ u0为方程 cosf（x）=1 在0， T上得解，” 的充分条件是“ u0+T 为方程 cosf （x）=1 在区间 T，2T上的解 ” ，并证明对任意x 0，T，都有 f（ x+T）=f（x） +f（T）考点：函数与方程的综合运用专题：创新题型；函数的性质及应用分析：（1）根据余弦周期函数的定义，判断 cosg （x+6 ）是否等于 cosg （x）即可；（

45、2）根据 f （x）的值域为 R，便可得到存在x0，使得 f（x0） =c，而根据 f（x）在 R 上单调递增即可说明 x0 a，b，从而完成证明；第40页（共 44页）（3）只需证明 u0+T 为方程 cosf（x） =1 在区间 T， 2T上的解得出 u0为方程 cosf（x）=1 在0，T上的解，是否为方程的解，带入方程，使方程成立便是方程的解证明对任意 x 0， T，都有 f （x+T ） =f （x） +f（T），可讨论 x=0， x=T， x（0， T）三种情况： x=0 时是显然成立的； x=T 时，可得出 cosf （ 2T）=1，

46、从而得到f （2T） =2k1 ， k1 Z，根据 f（x）单调递增便能得到 k12，然后根据 f（x）的单调性及方程 cosf（x） =1 在T， 2T和它在 0， T上解的个数的情况说明 k1=3，和 k1 5 是不存在的，而 k1=4 时结论成立，这便说明 x=T 时第41页（共 44页）结论成立；而对于 x （0， T）时，通过考查 cosf （x） =c 的解得到 f（x+T ） =f （ x） +f （ T），综合以上的三种情况，最后得出结论即可解答：解：（1）g （x） =x+sin； = =cosg（ x） g（ x）是以 6为周期的余弦周期函数；（2） f（x）的值域为R；存在 x0，使 f（x0）=c；又 c f （a）， f（b）； f （a） f （x0） f（b），而 f（x）为增函数； a x0 b；即存在 x0 a，b，使 f（x0）=c；（3）证明：若 u0+T 为方程 cosf（x） =1 在区间 T， 2T上的解；第42

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