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1、高考数学选择题解题技巧 数学选择题在当今高考试卷中，不但题目多，而且占分比例高。数学选择题具有概括性强，知识覆盖面广， 小巧灵活，且有一定的综合性和深度等特点，考生能否迅速、准确、全面、简捷地解好选择题，成为高考成功 的关键。 解答选择题的基本策略是准确、迅速。准确是解答选择题的先决条件，选择题不设中间分，一步失误，造 成错选，全题无分，所以应仔细审题、深入分析、正确推演、谨防疏漏，确保准确；迅速是赢得时间获取高分 的必要条件，对于选择题的答题时间，应该控制在不超过40 分钟左右，速度越快越好，高考要求每道选择题 在 13 分钟内解完，要避免“超时失分”现象的发生。 高考中的数学选择题一般是容
2、易题或中档题，个别题属于较难题，当中的大多数题的解答可用特殊的方法快 速选择。解选择题的基本思想是既要看到各类常规题的解题思想，但更应看到选择题的特殊性，数学选择题的四 个选择支中有且仅有一个是正确的，因而，在解答时应该突出一个“选”字，尽量减少书写解题过程，要充 分利用题干和选择支两方面提供的信息，依据题目的具体特点，灵活、巧妙、快速地选择解法，以便快速智取 ， 这是解选择题的基本策略。 1、直接法：就是从题设条件出发，通过正确的运算、推理或判断，直接得出结论再与选择支对照，从而 作出选择的一种方法。运用此种方法解题需要扎实的数学基础。 例1、某人射击一次击中目标的概率为0.6 ，经过3 次
3、射击，此人至少有2 次击中目标的概率为 （） 125 27 . 125 36 . 125 54 . 125 81 .DCBA 解析 ：某人每次射中的概率为0.6，3 次射击至少射中两次属独立重复实验。 125 27 ) 10 6 ( 10 4 ) 10 6 ( 33 3 22 3 CC故选 A。 例 2、有三个命题：垂直于同一个平面的两条直线平行；过平面的一条斜线l 有且仅有一个平面与垂直； 异面直线a、b 不垂直，那么过 a 的任一个平面与b 都不垂直。其中正确命题的个数为（） A0 B1 C2 D3 解析 ：利用立几中有关垂直的判定与性质定理对上述三个命题作出判断，易得都是正确的，故选 D
4、。 例 3、已知 F1、F2是椭圆 16 2 x + 9 2 y =1 的两焦点，经点 F2的的直线交椭圆于点A、B，若|AB|=5 ，则 |AF1|+|BF1| 等于（） A11 B10 C 9 D16 解析 ：由椭圆的定义可得|AF1|+|AF 2|=2a=8,|BF1|+|BF2|=2a=8 ，两式相加后将|AB|=5=|AF2|+|BF2| 代入，得 |AF1|+|BF1| 11，故选 A。 例 4、已知log (2) a yax在0 ， 1上是x的减函数，则 a 的取值范围是（） A （0， 1 ）B （ 1， 2 ）C （0， 2 ）D2 ， + ） 解析 ： a0, y1=2-a
5、x 是减函数，log (2) a yax在0 ， 1上是减函数。 a1，且 2-a0 ，1tan cot ( 24 ) ，则（） A ( 2 ， 4 ) B （ 4 ， 0 ）C （0， 4 ）D （ 4 ， 2 ） 解析 ：因 24 ，取 = 6 代入 sin tan cot ，满足条件式，则排除 A、 C、D，故选 B 。 例 6、一个等差数列的前n 项和为 48，前 2n 项和为 60，则它的前3n 项和为（） A 24 B84 C 72 D36 解析 ：结论中不含n，故本题结论的正确性与n 取值无关，可对 n 取特殊值，如 n=1，此时 a1=48,a2=S2 S1=12， a3=a1
6、+2d= 24，所以前 3n 项和为 36，故选 D。 （2）特殊函数 例 7、如果奇函数f(x) 是3，7上是增函数且最小值为5，那么 f(x)在区间 7，3上是（） A.增函数且最小值为5 B.减函数且最小值是5 C.增函数且最大值为5 D.减函数且最大值是5 解析 ：构造特殊函数f(x)= 3 5 x，虽然满足题设条件，并易知f(x)在区间 7，3上是增函数，且最大值 为 f(-3)=-5，故选 C。 例 8、定义在 R 上的奇函数f(x)为减函数，设 a+b0，给出下列不等式：f(a)f(a)0； f(b)f(b)0； f(a)+f(b)f(a)+f(b)； f(a)+f(b) f(a
7、)+f(b)。其中正确的不等式序号是（） ABCD 解析 ：取 f(x)= x，逐项检查可知正确。故选B。 （3）特殊数列 例 9、已知等差数列 n a满足 12101 0aaa，则有（） A、 1101 0aaB、 2102 0aaC、 399 0aaD、 51 51a 解析 ：取满足题意的特殊数列0 n a，则 399 0aa，故选 C。 （4）特殊位置 例 10、过)0( 2 aaxy的焦点F作直线交抛物线与Q、P两点，若PF与FQ的长分别是q、p，则 qp 11 （） A、 a2 B、 a2 1 C、 a4 D、 a 4 解析 ：考虑特殊位置PQOP 时， 1 | | 2 PFFQ a
8、 ，所以 11 224aaa pq ，故选 C。 例 11、向高为H的水瓶中注水，注满为止，如果注水量 V与水深h的函数关系的图象如右图所示， 那么水 瓶的形状是 ( ) 解析 ：取 2 H h，由图象可知，此时注水量V大于容器容积的 1 2 ，故选 B。 （5）特殊点 例 12、设函数( )2(0)f xx x，则其反函数)( 1 xf 的图像是（） A、B、C、D、 解析 ：由函数( )2(0)f xx x，可令 x=0，得 y=2；令 x=4，得 y=4，则特殊点 (2,0)及(4,4)都应在反 函数 f 1(x)的图像上， 观察得 A、C。又因反函数f 1(x)的定义域为 |2x x，
9、故选 C。 （6）特殊方程 例 13、双曲线 b2x2a2y2=a2b2 (ab0)的渐近线夹角为， 离心率为e,则 cos 2 等于（） Ae Be2C e 1 D 2 1 e 解析 ：本题是考查双曲线渐近线夹角与离心率的一个关系式，故可用特殊方程来考察。取双曲线方程为 4 2 x 1 2 y =1，易得离心率e= 2 5 ,cos 2 = 5 2 ，故选 C。 （7）特殊模型 例 14、如果实数x,y 满足等式 (x2)2+y2=3， 那么 x y 的最大值是（） A 2 1 B 3 3 C 2 3 D3 解析 ：题中 x y 可写成 0 0 x y 。联想数学模型： 过两点的直线的斜率公
10、式k= 12 12 xx yy ，可将问题看成圆(x2)2+y2=3 上的点与坐标原点O 连线的斜率的最大值，即得 D。 3、 图解法 ：就是利用函数图像或数学结果的几何意义，将 数的问题 (如解方程、解不等式、求最值，求取值范围等 )与某些 图形结合起来，利用直观几性，再辅以简单计算，确定正确 答案的方法。 这种解法贯穿数形结合思想，每年高考均有很多选 择题 (也有填空题、解答题)都可以用数形结合思想解决，既简捷 又迅速。 例 15、已知、都是第二象限角，且 coscos，则 （） A sin C tantanDcotcos找出、的终边位置关系，再作出判断，得 B。 例 16、已知a r 、
11、b r 均为单位向量，它们的夹角为60 ，那 么 a r 3b r |=（） A7B10C13D4 解析 ：如图，a r 3b r OB uuu r ，在OAB中， | 1,|3,120 ,OAABOAB o u uu ruuu r Q由余弦定理得a r 3b r |= OB uuu r 13，故选 C。 例 17、已知 an是等差数列， a 1=-9,S3=S7, 那么使其前n 项和 Sn最小的 n 是（） A 4 B5 C 6 D7 解析 ：等差数列的前n项和 Sn= 2 d n 2+(a 1- 2 d )n 可表示 为过原点的抛物线，又本题中a1=-91，排除 B,C,D ，故应选 A。
12、 3 5 7 O n n S O A B a r 3b r b r a r 3b r 例 21、原市话资费为每3 分钟 0.18 元，现调整为前3 分钟资费为0.22 元，超过 3 分钟的，每分钟按0.11 元计算，与调整前相比，一次通话提价的百分率（） A不会提高70% B会高于70%，但不会高于90% C不会低于10% D高于 30%，但低于 100% 解析 ：取 x4，y0.33 - 0.36 0.36 100% 8.3%，排除 C、D；取 x30，y 3.19 - 1.8 1.8 100%77.2%，排 除 A，故选 B。 例22、给定四条曲线： 2 5 22 yx，1 49 22 y
13、x ，1 4 2 2 y x，1 4 2 2 y x ,其中与直线 05yx仅有一个交点的曲线是( ) A. B. C. D. 解析 ：分析选择支可知，四条曲线中有且只有一条曲线不符合要求，故可考虑找不符合条件的曲线从而筛选， 而在四条曲线中是一个面积最大的椭圆，故可先看，显然直线和曲线1 49 22 yx 是相交的，因为直线上的 点)0,5(在椭圆内，对照选项故选D。 6、分析法：就是对有关概念进行全面、正确、深刻的理解或对有关信息提取、分析和加工后而作出判断和选择 的方法。 （1）特征分析法根据题目所提供的信息，如数值特征、结构特征、位置特征等，进行快速推理，迅速 作出判断的方法，称为特征
14、分析法。 例 23、如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线 表示它们有网线相联，连线标的数字表示该段网线单位时 间内可以通过的最大信息量，现从结点A向结点 B传送信 息，信息可以分开沿不同的路线同时传送，则单位时间内 传递的最大信息量为（） A 26 B24 C20 D 19 解析 ：题设中数字所标最大通信量是限制条件，每一支要以最小值来计算， 否则无法同时传送，则总数为3+4+6+6=19，故选 D。 例 24、设球的半径为R, P、Q 是球面上北纬600圈上的两点，这两点在纬度圈上的劣弧的长是 2 R ，则这两 点的球面距离是（） A、R3B、 2 2 R C、 3 R D、 2 R
15、解析 ：因纬线弧长球面距离直线距离，排除 A、B、D，故选 C。 例 25、已知) 2 ( 5 24 cos, 5 3 sin m m m m ，则 2 tan 等于（） A、 m m 9 3 B、| 9 3 | m m C、 3 1 D、5 解析 ：由于受条件sin2+cos2=1 的制约，故 m 为一确定的值，于是 sin,cos的值应与m 的值无关，进 而推知 tan 2 的值与 m 无关，又 2 1，故选 D。 （2）逻辑分析法通过对四个选择支之间的逻辑关系的分析，达到否定谬误支，选出正确支的方法，称 为逻辑分析法。 例 26、设 a,b 是满足 ab|a b| B|a+b|a b|
16、C|a b|a| |b| D|a b|a|+|b| 解析 ：A，B是一对矛盾命题，故必有一真，从而排除错误支C，D。又由 ab0，可令 a=1,b= 1，代 入知 B 为真，故选 B。 例 27、ABC的三边, ,a b c满足等式coscoscosaAbBcC，则此三角形必是（） A、以a为斜边的直角三角形B、以b为斜边的直角三角形 C、等边三角形D、其它三角形 解析 ：在题设条件中的等式是关于,a A与,b B的对称式，因此选项在A、B为等价命题都被淘汰，若选项 C正确，则有 111 222 ，即 1 1 2 ，从而 C被淘汰，故选 D。 7、估算法：就是把复杂问题转化为较简单的问题，求出
17、答案的近似值，或把有关数值扩大或缩小，从而 对运算结果确定出一个范围或作出一个估计，进而作出判断的方法。 例 28、农民收入由工资性收入和其它收入两部分构成。03 年某地区农民人均收入为3150 元（其中工资源共享性 收入为 1800 元，其它收入为1350 元） ，预计该地区自04 年起的 5 年内，农民的工资源共享性收入将以每年的 年 增 长 率 增 长 ，其 它 性 收 入 每 年 增 加160元 。 根 据 以 上 数 据 ，08年 该 地 区 人 均 收 入 介 于 （） （A）4200 元 4400 元（B）4400 元4460 元 （C）4460 元 4800 元（D）4800
18、元5000 元 解析 ：08 年农民工次性人均收入为： 5122 55 1800(10.06)1800(10.060.06CC 1800(10.30.036)1800 1.3362405 又 08 年农民其它人均收入为1350+1605=2150 故 08 年农民人均总收入约为2405+2150=4555（元） 。故选 B。 说明 ：1、解选择题的方法很多，上面仅列举了几种常用的方法，这里由于限于篇幅，其它方法不再一一举 例。需要指出的是对于有些题在解的过程中可以把上面的多种方法结合起来进行解题，会使题目求解过程简单化。 2、对于选择题一定要小题小做，小题巧做，切忌小题大做。 “不择手段，多快
19、好省”是解选择题的基本宗 旨。 （二）选择题的几种特色运算 1、借助结论速算 例 29、棱长都为2的四面体的四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为（） A、3B、4C、33D、6 解析： 借助立体几何的两个熟知的结论：（1）一个正方体可以内接一个正四面体；（2）若正方体的顶点都在一个 球面上，则正方体的对角线就是球的直径。可以快速算出球的半径 2 3 R，从而求出球的表面积为3，故选 A。 2、借用选项验算 例 30、若, x y满足 ,0,0 ,2432 ,3692 ,123 yx yx yx yx ，则使得yxz23的值最小的),(yx是（） A、 （4.5，3）B、 （3，6）C、 （9
20、，2）D、 （6，4） 解析： 把各选项分别代入条件验算，易知 B 项满足条件，且yxz23的值最小，故选 B。 3、极限思想不算 例31、正四棱锥相邻侧面所成的二面角的平面角为，侧面与底面所成的二面角的平面角为，则 2coscos2的值是（） A、1B、2C、 1D、 3 2 解析：当正四棱锥的高无限增大时， 90,90，则.1180cos90cos22coscos2故 选 C。 4、平几辅助巧算 例32、在坐标平面内，与点A（ 1，2）距离为1，且与点B（ 3，1）距离为2 的直线共有 （） A、1 条B、2 条C、3 条D、 4 条 解析： 选项暗示我们，只要判断出直线的条数就行，无须具
21、体求出直线方程。以A（1，2）为圆心，1 为 半径作圆 A，以 B （3，1）为圆心，2 为半径作圆B。由平面几何知识易知，满足题意的直线是两圆的公切线， 而两圆的位置关系是相交，只有两条公切线。故选B。 5、活用定义活算 例 33、若椭圆经过原点，且焦点 F1（1， 0） ，F2（3，0） ，则其离心率为（） A、 4 3 B、 3 2 C、 2 1 D、 4 1 解析： 利用椭圆的定义可得,22, 42ca故离心率. 2 1 a c e故选 C。 6、整体思想设而不算 例34 、若 4 4 3 3 2 210 4 )32(xaxaxaxaax，则 2 024 ()aaa 2 13 ()aa
22、的 值为 （） A、1 B、- 1 C、 0 D、2 解析： 二项式中含有3，似乎增加了计算量和难度，但如果设 4 43210 )32(aaaaaa， 4 43210 )32(baaaaa，则待求式子1)32)(32( 4 ab。故选 A。 7、大胆取舍估算 例 35、如图，在多面体ABCDFE中，已知面 ABCD是边 长为 3 的正方形，EF AB，EF= 2 3 ，EF与面 ABCD的距离 为 2，则该多面体的体积为（） A、 2 9 B、5 C、6 D、 2 15 解析： 依题意可计算6233 3 1 3 1 hSV ABCDABCDE ，而 ABCDEFEABCD VV6，故选 D。
23、8、发现隐含少算 例36 、1 2 2 2 2y xkxy与交 于A、 B 两 点 ，且3OBOAkk，则 直 线AB 的 方 程 为 （） A、0432yxB、0432yx C、0423yxD、0423yx 解析： 解此题具有很大的迷惑性，注意题目隐含直线AB 的方程就是2kxy，它过定点（ 0，2） ，只 有 C项满足。故选C。 9、利用常识避免计算 例 37、我国储蓄存款采取实名制并征收利息税，利息税由各银行储蓄点代扣代收。某人在 2001 年 9 月存入人民 币 1 万元，存期一年，年利率为2.25%，到期时净得本金和利息共计10180 元，则利息税的税率是 （） A、8% B、20%
24、 C、32% D、 80% 解析： 生活常识告诉我们利息税的税率是20%。故选 B。 （三）选择题中的隐含信息之挖掘 1、挖掘“词眼” 例 38、过曲线 3 3:xxyS上一点)2,2(A的切线方程为（） A、2yB、2y C、0169yxD、20169yyx或 错解：9)2(,33)( /2/ fxxf，从而以A 点为切点的切线的斜率为9，即所求切线方程为 .0169yx故选 C。 剖析： 上述错误在于把“过点A 的切线”当成了“在点A 处的切线”，事实上当点A 为切点时，所求的切线方 程为0169yx，而当 A 点不是切点时，所求的切线方程为.2y故选 D。 2、挖掘背景 例39 、 已
25、知RaRx,，a为 常 数 ，且 )(1 )(1 )( xf xf axf，则 函 数)(xf必 有 一 周 期 为 （） A、2aB、3aC、4aD、5a 分析： 由于 x x x tan1 tan1 ) 4 tan( ，从而函数)(xf的一个背景为正切函数tanx，取 4 a，可得必有一 周期为 4a。故选 C。 3、挖掘范围 例 40、设tan、tan是方程0433 3 xx的两根，且) 2 , 2 (), 2 , 2 (，则的值为 （） A、 3 2 B、 3 C、 3 2 3 或D、 3 2 3 或 错解： 易得),(), 2 , 2 (), 2 , 2 (,3)tan(又，从而.
26、3 2 3 或故选 C。 剖 析 ： 事 实 上 ，上 述 解 法 是 错 误 的 ，它 没 有 发 现 题 中 的 隐 含 范 围 。 由 韦 达 定 理 知 0tan,0tan,0tantan,0tantan且故.从而)0, 2 (),0, 2 (，故. 3 2 故 选 A。 4、挖掘伪装 例41、 若 函 数 2 ( )log (3)(01) a f xxaxaa且，满 足 对 任 意 的 1 x、 2 x，当 2 21 a xx时 ， 0)()( 21 xfxf，则实数a的取值范围为（） A、)3, 1 ()1,0(B、)3, 1( C、)32, 1()1,0(D、)32, 1 ( 分
27、析： “对任意的x1、x2， 当 2 21 a xx时，0)()( 21 xfxf”实质上就是“函数单调递减”的“伪装”， 同时还隐含了“)(xf有意义”。事实上由于3)( 2 axxxg在 2 a x时递减，从而 .0) 2 ( , 1 a g a 由此得 a 的取值范 围为)32,1 (。故选 D。 5、挖掘特殊化 例 42、不等式 32 12 2 12 xx CC的解集是（） A、B、3的正整数大于C、4，5，6 D、4，4.5，5，5.5，6 分析：四个选项中只有答案D 含有分数，这是何故？宜引起高度警觉，事实上，将 x 值取 4.5 代入验证，不 等式成立，这说明正确选项正是D，而无
28、需繁琐地解不等式。 6、挖掘修饰语 例 43、在纪念中国人民抗日战争胜利六十周年的集会上，两校各派3 名代表，校际间轮流发言，对日本侵 略者所犯下的滔天罪行进行控诉，对中国人民抗日斗争中的英勇事迹进行赞颂，那么不同的发言顺序共有（） A、72 种B、36 种C、144 种D、 108 种 分析： 去掉题中的修饰语，本题的实质就是学生所熟悉的这样一个题目：三男三女站成一排，男女相间而站， 问有多少种站法？因而易得本题答案为种722 3 3 3 3A A 。故选 A。 7、挖掘思想 例 44、方程 x xx 2 2 2 的正根个数为（） A、0 B、1 C、 2 D、3 分析： 本题学生很容易去分
29、母得22 32 xx，然后解方程，不易实现目标。 事实上，只要利用数形结合的思想，分别画出 x yxxy 2 ,2 2 的图象，容易发现在第一象限没有交点。 故选 A。 8、挖掘数据 例45、定义函数Dxxfy),(，若存在常数C，对任意的Dx1，存在唯一的Dx2，使得 C xfxf 2 )()(21 ，则 称 函 数)(xf在D 上 的 均 值 为C。 已 知100,10,lg)(xxxf，则 函 数 100,10lg)(xxxf在上的均值为（） A、 2 3 B、 4 3 C、 10 7 D、10 分析：C xxxfxf 2 )lg( 2 )()( 2121 ， 从而对任意的100,10
30、1 x，存在唯一的100,10 2 x，使得 21, x x 为常数。充分利用题中给出的常数10，100。 令100010010 21x x,当100,10 1 x时，100,10 1000 1 2 x x， 由此得. 2 3 2 )lg( 21x x C故选 A。 （四）选择题解题的常见失误 1、审题不慎 例 46、设集合 M直线，P圆，则集合 PM 中的元素的个数为（） A、0 B、1 C、2 D、0 或 1 或 2 误解： 因为直线与圆的位置关系有三种，即交点的个数为0 或 1 或 2 个，所以 PM 中的元素的个数为0 或 1 或 2。故选 D。 剖析： 本题的失误是由于审题不慎引起的
31、，误认为集合M，P 就是直线与圆，从而错用直线与圆的位置关 系解题。实际上，M，P表示元素分别为直线和圆的两个集合，它们没有公共元素。故选A。 2、忽视隐含条件 例47 、 若x2sin、xsin分 别 是cossin 与的 等 差 中 项 和 等 比 中 项 ，则x2cos的 值 为 （） A、 8 331 B、 8 331 C、 8 331 D、 4 21 误解： 依题意有cossin2sin2x， 2 sinsincosx 由 2- 2 得， 022cos2cos4 2 xx，解得 133 cos2 8 x。故选 C。 剖析： 本题失误的主要原因是忽视了三角函数的有界性这一隐含条件。事实
32、上，由cossinsin 2 x，得 02sin12cos x，所以 8 331 不合题意。故选A。 3、概念不清 例 48、已知012:,022: 21 ymxlmyxl，且 21 ll，则 m 的值为（） A、2 B、1 C、0 D、不存在 误解： 由 21 ll，得.1 21k k1) 2 ( 2m m ，方程无解，m 不存在。故选D。 剖析： 本题的失误是由概念不清引起的，即 21 ll，则1 21k k，是以两直线的斜率都存在为前提的。若 一直线的斜率不存在，另一直线的斜率为0，则两直线也垂直。当m=0 时，显然有 21 ll；若0m时，由 前面的解法知m 不存在。故选C。 5、思维
33、定势 例 50、如图 1，在正方体AC1中盛 满水，E、F、G 分别为 A1B1、BB1、BC1 的中点。若三个小孔分别位于E、F、G 三点处，则正方体中的水最多会剩下原 体积的（） A、 12 11 B、 8 7 C、 6 5 D、 24 23 误解： 设平面 EFG与平面 CDD1C1交于 MN， 则平面 EFMN 左边的体积即为所求，由三棱柱B1EF C1NM 的体 积为 1 8 V正方体 ，故选 B。 剖析： 在图 2 中的三棱锥ABCD中，若三个小孔E、F、G 分别位于所在棱的中点处，则在截面EFG下面的部 分就是盛水最多的。本题的失误在于受图2 的思维定势，即过三个小孔的平面为截面
34、时分成的两部分中，较大部 分即为所求。事实上，在图 1 中，取截面 BEC1时， 小孔 F在此截面的上方，正方体VV BECB 12 1 11 ，故选 A。 6、转化不等价 例 51、函数)0( 22 aaxxy的值域为（） A、),0()0,(B、),aC、0,(D、),)0,aa 误解： 要求原函数的值域可转化为求反函数的定义域。因为反函数 x ax xf 2 )( 22 1 ，所以 0x ，故选 A。 剖析： 本题的失误在于转化不等价。事实上，在求反函数时，由 22 ax?xy，两边平方得 222 )(axxy，这 样 的 转 化 不 等 价 ，应 加 上 条 件xy，即 y ay y 2 22 ，进 而 解 得 ， 0yaay或，故选 D。 4、忽略特殊性 例 49、已知定点A（ 1，1）和直线02:yxl，则到定点A 的距离与到定直线l的距离相等的点的轨迹 是（） A、椭圆B、双曲线C、抛物线D、直线 误解： 由抛物线的定义可知，动点的轨迹是抛物线。故选C。 剖析： 本题的失误在于忽略了A 点的特殊性，即 A点落在直线 l上。故选 D。