(完整版)2018-2019学年上海市宝山区高二(下)期末数学试卷.pdf

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1、第1页（共 18页） 2018-2019 学年上海市宝山区高二（下）期末数学试卷 一、填空题 1 （ 3 分）已知i 3z12i（i 是虚数单位） ，则 z 的共轭复数为 2 （ 3 分）已知定点A（4，0）和曲线x 2+y28 上的动点 B，则线段AB 的中点 P 的轨迹方 程为 3 （ 3 分）如果球的体积为，那么该球的表面积为 4 （ 3 分）已知点A（0，2） ，B（ 1，3） ，C（1， 5） ，则 ABC 的面积是 5 （ 3 分）已知2i1 是方程 2x 2+px+q 0（p，q R）的一个根，则 p+q 6 （ 3 分）已知抛物线x2py2上的点 A（2，2） ，则 A 到准线

2、的距离为 7 （ 3 分）在等比数列 an中，已知 a2a5 2a3，且 a4与 2a7的等差中项为，则 S5 8 （ 3 分）向量经过矩阵变换后的向量是 9 （ 3 分）若双曲线的一个焦点是，则该双曲线的渐近线方 程是 10 （3 分）已知直线l 经过点 P（ 2，1） ，且点 A（ 1， 2）到 l 的距离等于，则直 线 l 的方程为 11 （3 分）已知数列2 n1?an 的前 n 项和 S n9 6n，则数列 an的通项公式为 12 （3 分）若向量，且 x33x4y0，则 与的夹角等于 二、选择题 13 （3 分）已知 ABC 的边 BC 上有一点满足，则可表示为（） AB CD 1

3、4 （3 分）设 l 表示直线， m 是平面 内的任意一条直线，则 “lm” 是 “l ” 成立的（） A充要条件B充分不必要条件 C必要不充分条件D既不充分也不必要条件 第2页（共 18页） 15 （3 分）已知单位向量，的夹角为60，若2，则 ABC 为（） A等腰三角形B等边三角形 C直角三角形D等腰直角三角形 16 （3 分）在等比数列 an中，若，则（） ABCD2 三、解答题 17在长方体ABCD A1B1C1D1中，已知，E 是 AB 的中点 （1）求四棱锥A1BCDE 的体积 （2）求异面直线A1E 与 B1C 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 18已知平行四边形ABCD

4、 中，F 是 BC 边上的点，且 2，若 AF 与 BD 交于 E 点，建立如图所示的直角坐标系 （1）求 F 点的坐标； （2）求? 19如图，在y 正半轴上的A 点有一只电子狗，B 点有一个机器人，它们运动的速度确定， 且电子狗的速度是机器人速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到 达某点，那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这一点叫失败点，若ABBO3 （1）求失败点组成的区域 第3页（共 18页） （2） 电子狗选择x 正半轴上的某一点P， 若电子狗在线段AP 上获胜，问点 P 应在何处？ 20已知椭圆的左右焦点为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，且 b c （1）求

5、直线 AB 的方向向量； （2）若 Q 是椭圆上的任意一点，求F1QF2的最大值； （3）过 F1作 AB 的平行线交椭圆于 C、D 两点，若 |CD|3，求椭圆的方程 21已知数列 an的前 n 项和为 Sn，通项公式为，数列 bn的通项公式为bn 2n 6 （1）若，求数列 cn 的前 n 项和 Tn及 的值； （2）若，数列 en的前 n 项和为 En，求 E1，E2， E3的值，根据 计算结果猜测En关于 n 的表达式，并用数学归纳法加以证明； （3）对任意正整数n，若恒成立，求t 的取值范围 第4页（共 18页） 2018-2019 学年上海市宝山区高二（下）期末数学试卷 参考答案与

6、试题解析 一、填空题 1 （ 3 分）已知i 3z12i（i 是虚数单位） ，则 z 的共轭复数为 2i 【分析】 把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由共轭复数的概 念得答案 【解答】 解： i3z12i， iz12i， i（ iz） i（12i） ， 即 z2+i， 2 i， 故答案为： 2i 【点评】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了共轭复数的概念，是基础题 2 （ 3 分）已知定点A（4，0）和曲线x 2+y28 上的动点 B，则线段AB 的中点 P 的轨迹方 程为（x2）2+y22 【分析】 设出 P，B 的坐标，确定动点之间坐标的关系，利用端点B 在圆 x2

7、+y24 上运 动，可得轨迹方程 【解答】 解：设线段AB 中点为 P（x，y） ， B（m，n） ，则 m2x4，n2y 端点 B 在圆 x2+y28 上运动， m2+n28， （ 2x4） 2+（2y）28， （ x2） 2+y22 故答案为：（x2） 2+y22 【点评】 本题考查轨迹方程，考查代入法的运用，确定动点之间坐标的关系是关键 3 （ 3 分）如果球的体积为，那么该球的表面积为9 【分析】 设球的半径为R，由体积求得半径，代入表面积公式求解 【解答】 解：设球的半径为R，由 V，得 R 第5页（共 18页） 该球的表面积为4 R2 故答案为： 9 【点评】 本题考查球的表面积与

8、体积公式，是基础的计算题 4 （ 3 分）已知点A（0，2） ，B（ 1，3） ，C（1， 5） ，则 ABC 的面积是3 【分析】 根据三点用两点间的距离公式求出AB、AC 和 BC 的长度，然后用余弦定理求 出角 A，再用面积公式求三角形的面积即可 【解答】 解：由点A（0，2） ，B（ 1，3） ，C（1， 5） ，得 AB，AC，BC 由余弦定理，有cosA， sinA， 故答案为： 3 【点评】 本题考查了两点间的距离公式、余弦定理和面积公式，属基础题 5 （ 3 分）已知2i1 是方程 2x 2+px+q 0（p，q R）的一个根，则 p+q14 【分析】 由条件知方程另一个根为1

9、2i，然后由根于系数的关系求出p 和 q 【解答】 解： 2i1 是方程 2x2+px+q0（p， q R）的一个根， 根据实系数多项式虚根成对定理知，方程另一个根为12i， p 2（ 1+2i）+（ 12i） 4，q2（ 1+2i） （ 12i） 10， p+q14 故答案为： 14 【点评】 本题考查了实系数多项式虚根成对定理和根与系数的关系，属基础题 6 （ 3 分）已知抛物线x2py2上的点 A（2，2） ，则 A 到准线的距离为 【分析】 利用点的坐标满足抛物线方程，求出p，然后求解准线方程，即可推出结果 【解答】 解：抛物线x2py2上的点 A（2，2） ， 可得 p，所以抛物线方

10、程为：y22x，准线方程为x， 则 A 到准线的距离为： 第6页（共 18页） 故答案为： 【点评】 本题考查抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查 7 （ 3 分）在等比数列 an中，已知 a2a5 2a3，且 a4与 2a7的等差中项为，则 S531 【分析】 根据 a2a52a3，求出 a42，又 a4与 2a7的等差中项为 ，得到 a7，所以 可以求出，a116，即可求出 S5 【解答】 解：依题意，数列an是等比数列， a2a52a3，即，所以 a4 2， 又 a4与 2a7的等差中项为 ，所以 2+2a72，所以 a7， 所以 q3，所以 q 所以 a1 16， 所以 S5 31

11、 故答案为： 31 【点评】 本题考查了等差数列的等差中项，等比数列的通项公式，等比数列的前n 项和 公式本题属于基础题 8 （ 3 分）向量经过矩阵变换后的向量是 【分析】 运用矩阵的向量变换，计算可得所求 【解答】 解：， 故答案为： 【点评】 本题考查矩阵的变换，考查运算能力，属于基础题 9 （ 3 分）若双曲线的一个焦点是，则该双曲线的渐近线方 程是y 【分析】 利用双曲线的焦点坐标，求解a，然后求解双曲线的渐近线方程 第7页（共 18页） 【解答】 解：双曲线的一个焦点是，可得a2+913，解 得 a2， 所以双曲线的渐近线方程是：y 故答案为： y 【点评】 本题考查双曲线的简单性

12、质的应用，是基本知识的考查 10 （3 分）已知直线l 经过点 P（ 2，1） ，且点 A（ 1， 2）到 l 的距离等于，则直 线 l 的方程为2xy+50 或 x+2y0 【分析】 当直线 l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x 2，不成立；当直线l 的斜率 k 存在时，直线l 的方程为 kx y+2k+10，由点 A（ 1， 2）到 l 的距离等于，解得 k2 或 k，由此能求出直线l 的方程 【解答】 解：直线l 经过点 P（ 2，1） ， 当直线 l 的斜率不存在时，直线l 的方程为x 2， 点 A（ 1， 2）到 l 的距离 d1，不成立； 当直线 l 的斜率 k 存在时，直线l

13、的方程为 y1k（x+2） ， 即 kxy+2k+10， 点 A（ 1， 2）到 l 的距离等于， d， 解得 k2 或 k， 直线 l 的方程为y12（x+2）或 y1（x+2） ， 即 2xy+50 或 x+2y0 故答案为： 2xy+5 0 或 x+2y0 【点评】 本题考查直线方程的求法，考查直线方程、点到直线的距离公式等基础知识， 考查运算求解能力，是基础题 11 （ 3 分）已知数列2 n1?an 的前 n 项和Sn 9 6n，则数列 an 的通项公式为 第8页（共 18页） 【分析】 利用递推式即可得出 【解答】 解：数列 2 n1?an 的前 n 项和 S n96n， 当 n1

14、 时， 20?a196，解得 a13 当 n2 时， Sn196（n1） 15 6n， 2n 1?a nSnSn196n（ 15 6n） 6， 故答案为： 【点评】 本题考查了递推式的应用，考查了分类讨论思想方法，考查了推理能力与计算 能力，属于中档题 12 （3 分）若向量，且 x 33x4y0，则 与的夹角等于90 【分析】 由平面向量数量积的运算得： y 2+（x33x）2 4y+x33x0， 即与的夹角等于90，得解 【解答】 解：由（， 1） ，（，） ， 所以0，| |4， | |1， 所以 y 2+（x3 3x）2 4y+x33x0， 即与的夹角等于90， 故答案为： 90 【点

15、评】 本题考查了平面向量数量积的运算，属中档题 二、选择题 第9页（共 18页） 13 （3 分）已知 ABC 的边 BC 上有一点满足，则可表示为（） AB CD 【分析】 根据即可得出，解出向量即可 【解答】 解：； ； ； 故选： D 【点评】 考查向量减法的几何意义，以及向量的数乘运算 14 （3 分）设 l 表示直线， m 是平面 内的任意一条直线，则 “lm” 是 “l ” 成立的（） A充要条件B充分不必要条件 C必要不充分条件D既不充分也不必要条件 【分析】 根据充分条件和必要条件的定义分别进行判断即可 【解答】 解：因为 m 是平面 内的任意一条直线，m 具有任意性，若lm，

16、由线面垂直 判定定理，则l ，所以充分性成立； 反过来，若l ，m 是平面 内的任意一条直线，则lm，所以必要性成立， 故“ l m”是“ l ”成立的充要条件 故选： A 【点评】 本题主要考查了充分条件、必要条件的判断，意在考查考生对基本概念的掌握 情况根据充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键 15 （3 分）已知单位向量，的夹角为60，若2，则 ABC 为（） A等腰三角形B等边三角形 C直角三角形D等腰直角三角形 【分析】 根据题意， 由向量加减法的意义，用向量、表示出向量、， 结合题意，求出向量、的模，由三角形的性质，分析可得答案 第10页（共 18页） 【解答】 解：根据题意，

17、由2+， 可得2， 则|2| 2， 由，可得 |2 | 222 ?+ 2 1211+11， 故|1， 由（ 2+）+， 则|2|+|2 2+2 ?+ 2 1+21 1+13， 可得 |， 在 ABC 中，由 |2，|1， |， 可得 |2 |2+| |2， 则 ABC 为直角三角形； 故选： C 【点评】 本题考查数量积的性质与运用，注意先用向量的加法、减法的性质，表示出 ABC 的三边的向量 16 （3 分）在等比数列 an中，若，则（） ABCD2 【分析】利用等比数列通项公式先求出公比q，再由 ，能求出结果 【解答】 解：在等比数列an中，若 a2 ，a3， 第11页（共 18页） 公比

18、 q， ， 故选： B 【点评】 本题考查等比数列中两项和与另外两项和的比值的求法，考查等比数列的性质 等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题 三、解答题 17在长方体ABCD A1B1C1D1中，已知，E 是 AB 的中点 （1）求四棱锥A1BCDE 的体积 （2）求异面直线A1E 与 B1C 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） 【分析】（1）先求出 SBCDESABCDSADE，由此能求出四棱锥A1BCDE 的体 积 （2）以 D 为原点， DA 为 x 轴，DC 为 y 轴，DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向 量法能求出异面直线A1E 与 B1C 所成角

19、的大小 【解答】 解： （1）在长方体ABCDA1B1C1D1中， ，E 是 AB 的中点， SBCDESABCDSADE， 四棱锥A1BCDE 的体积： （2）以 D 为原点， DA 为 x 轴， DC 为 y 轴， DD1为 z 轴，建立空间直角坐标系， 第12页（共 18页） 则 A1（ ） ，E（，0） ，B1（） ，C（0，2，0） ， （ 0，1，） ，（，0，） ， 设异面直线A1E 与 B1C 所成角为 ， 则 cos ， arccos， 异面直线A1E 与 B1C 所成角的大小为 arccos 【点评】 本题考查四棱锥的体积的求法，考查异面直线所成角的求法，考查空间中线线、

20、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题 18已知平行四边形ABCD 中，F 是 BC 边上的点，且 2，若 AF 与 BD 交于 E 点，建立如图所示的直角坐标系 （1）求 F 点的坐标； （2）求? 【分析】（1）根据题意知EBF EDO，利用2求得点 F 的坐标； 第13页（共 18页） （2）根据求得点 E 的坐标，再计算、，求出数量积 【解答】 解： （1）根据题意知，EBF EDO， 则 O（0，0） ，B（2，0） ，C（3，1） ，D（1，1） ， 由 2，利用相似比的性质得 F（，） ； （2）（，） ， E（，） ， 从而（，） ，（，） ， ?+ 【点

21、评】 本题考查了平面向量的数量积计算问题，根据相似比得出各点的坐标是解题的 关键，是基础题 19如图，在y 正半轴上的A 点有一只电子狗，B 点有一个机器人，它们运动的速度确定， 且电子狗的速度是机器人速度的两倍，如果同时出发，机器人比电子狗早到达或同时到 达某点，那么电子狗将被机器人捕获，电子狗失败，这一点叫失败点，若ABBO3 （1）求失败点组成的区域 （2） 电子狗选择x 正半轴上的某一点P， 若电子狗在线段AP 上获胜，问点 P 应在何处？ 【分析】（1）设失败点为M（x，y） ，则 A（0， 6） ，B（0，3） ，不妨设机器人速度为V， 第14页（共 18页） 则机器人速度为2V，

22、由题意有，代入坐标计算求解即可； （2）设 P（x， 0） ， （x0）由题意有，代入坐标计算求解即可 【解答】 解： （1）设失败点为M（x，y） ， 则 A（0，6） ，B（0，3） ， 不妨设机器人速度为V，则机器人速度为2V， 由题意有， 即 x2+（y 2） 24， 即失败点为M 的轨迹为以（ 0， 2）为圆心， 2 为半径的圆面上运动， 故失败点组成的区域为：以（0，2）为圆心， 2 为半径的圆面 （2）设 P（x， 0） ， （x0） 由题意有， 则， 即 x20， 所以 P 点在 x 轴正半轴上即可 【点评】 本题考查合情推理，涉及了一个具体情境，注意阅读，理清关系即可 20已

23、知椭圆的左右焦点为F1，F2，右顶点为A，上顶点为B，且 b c （1）求直线 AB 的方向向量； （2）若 Q 是椭圆上的任意一点，求F1QF2的最大值； （3）过 F1作 AB 的平行线交椭圆于 C、D 两点，若 |CD|3，求椭圆的方程 【分析】（1）可得 a，kAB 即直线AB 的方向向量为 ； （ 2 ） 在 F1QF2 中 ， 设PF1 mPF2 n ， 则cos F1QF2 0， 即可 求解 第15页（共 18页） （3）设椭圆方程：直线CD 的方程为： x利用韦达定理、 弦长公式计算 【解答】 解： （1） bc， a， 顶点为A（，0） ，上顶点为B（0，b） ，则 kAB

24、直线 AB 的方向向量为； （2）在 F1QF2中，设 PF1m PF2 n， 则 cosF1QF2 0， 当且仅当mn 时，即 Q 为上（或下）顶点时，F1QF2，最大，最大值为 （3）设椭圆方程： ABCD，直线CD 的方程为： x 由可得 4y2+2 by b 20 ?， |CD|y1 y2| 3，解得 b22， a24 椭圆方程： 第16页（共 18页） 【点评】 本题考查了椭圆的方程、性质，考查了弦长计算，属于中档题 21已知数列 an的前 n 项和为 Sn，通项公式为，数列 bn的通项公式为bn 2n 6 （1）若，求数列 cn 的前 n 项和 Tn及 的值； （2）若，数列 en

25、的前 n 项和为 En，求 E1，E2， E3的值，根据 计算结果猜测En关于 n 的表达式，并用数学归纳法加以证明； （3）对任意正整数n，若恒成立，求t 的取值范围 【分析】（1）根据等比数列的求和公式和极限的定义即可求 （2）求出 en ，可求 E1，E2，E3的值，猜想En的表达式，再根据数学 归纳法的证题步骤进行证明 （3）问题转化为t，对于任意正整数n 恒成立，设f（n），利用导 数求出函数的最值即可求出t 的范围 【解答】 解： （1） an3n 1， cn （） n1， Tn （ 1）（） n1， （1）； （2） bn2n6， 第17页（共 18页） E1e1 ， E2e1+

26、e2+，E2 e1+e2+e3+， 猜想 En ， 理由如下， 当 n1 时，成立， 假设 nk 时成立，则Ek， 那 么 当n k+1 时 ， Ek+1 Ek+ek+1 + ， 即 nk+1 时，猜想也成立 故由 和 ，可知猜想成立； （3） Sn （ 3n1） ， 若恒成立， 则（3n）tn6， 即 t，对于任意正整数n恒成立， 设 f（n） f（ n）， 令 f（ n） 0，解得 n6+， 当 1n 6+时， f（ n） 0，函数 f（n）单调递增， 当 n6+时， f（ n） 0，函数 f（n）单调递减， ln3 1， 01， 66+7 f（6）0， f（7）， f（n）maxf（7） ， t 第18页（共 18页） 【点评】 本题考查了等比数列的求和公式，数学归纳法，函数最值的等知识，考查了转 化与化归思想，属于中档题