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1、浙江省杭州学军中学2008 年高考数学（理）模拟试卷 一选择题：本大题共10 小题，每小题5 分，共50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的，答案请涂写在答题卡上 1. 已知集合A=1,log| 2 xxyy, B=1,) 2 1 (|xyy x , 则 AB=( ) A. 10|yy B. 2 1 0|yy C. 1 2 1 |yy D. 2函数) 1(32 2 xxxy的反函数为（） A )2(21xxy B )2(21xxy C )2(21xxy D )2(21xxy 3如果 n x x 3 2 2 3的展开式中含有非零常数项，则正整数n 的最小值为（） A3 B
2、5 C6 D10 4. 设lm，均为直线，为平面，其中,lm，则“/l”是“/lm”的（） A充分不必要条件 B 必要不充分条件 C充分必要条件 D 既不充分也不必要条件 5. 若) 5 4 (cos 5 3 siniz是纯虚数，则tan的值为（） A 4 3 B 3 4 C 4 3 D 3 4 6曲线 2 14yx与直线 :(2)4lyk x 有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（） A.（ 5 12 ，+） B. （ 5 12 ， 3 4 C.（0， 5 12 ） D.（ 1 3 ， 3 4 7函数 2 |log|1 ( )2 x f xx x 的图像为（） 8. 异面直线a，b成 80
3、 o 角，点P是a，b外的一个定点，若过P点有且仅有2 条直线与a，b所成的角相等且 等于 ，则 属于集合 ( ) A |0 o40o B. |40 o50o C. |40 o90o D. |50 o90o A. B. C. D. O 1 y x 1 O 1 y x 1 O 1 y x 1 O 1 y x 1 2 tan 2 tan3 2 tan 2 tan CACA 9. 设 O 为坐标原点，(1,1)A，若点(,)B x y满足 22 2210 12 12 xyxy x y ，则OA OB取得最小值时，点 B的个数是（） A1B2C 3D无数个 10双曲线 22 2xy的左、右焦点分别为
4、12 ,F F，点, nnn P x y（1,2,3n）在其右支上，且满足 121nn PFP F， 1212 PFF F，则 2008 x的值是（） A4015 2 B. 4016 2 C. 4015 D. 4016 二填空题：( 本大题共7 小题，每小题4分，满分28 分) 11. 在ABC中，已知A、B、C成等差数列，则的值为 _. 12. 两个正数a、b的等差中项是 9 2 ，一个等比中项是2 5，且 ,ba则抛物线 2 ()yba x的焦点坐标为 . 13三条正态曲线对应的标准差分别为 1,2 , 3 ( 如图 ) ， 则 1,2, 3的大小关系是 . 14. 在ABC中，已知D是A
5、B边上一点，若 2,ADDB CDCACB，则 的值为 _ _ . 15从北京等8 座城市中选6 座参加 2008 年奥运会火炬接力的传递活 动, 规定从举办城市北京出发最后回到北京, 中间必须按先后顺序经过 杭州 ,上海两座城市, 则不同的传递路线条数为 . 16 如图，P是正四面体ABCV的面VBC上一点，点P到平面ABC 的距离与到点V的距离相等，则其轨迹为，离心率等 于 17. 已知不等式 22 2xyaxy对于1,2 ,2,3xy恒成立 , 则a的取值范围是 三：解答题 18. （本题满分14 分）某电视台举行电视奥运知识大奖赛，比赛分初赛和决赛两部分为了增加节目 的趣味性，初赛采用
6、选手选一题答一题的方式进行，每位选手最多有5 次选题答题的机会，选手累计答 对 3题或答错 3 题即终止其初赛的比赛，答对 3 题者直接进入决赛，答错 3 题者则被淘汰 已知选手甲答 题的正确率为 2 3 (1) 求选手甲可进入决赛的概率； (2) 设选手甲在初赛中答题的个数为，试写出的分布列，并求的数学期望 19. （本题满分14 分）如图，四棱锥PABCD 中，PA平面 ABCD , 底面 ABCD 是直角梯形， 0 90ADC，GACABACABBCAD,2,/为PAC的重心，E为PB的中点，F在线段 BC上，且FBCF2. (1) 求证：/FG平面PAB； (2) 求证：ACFG； (
7、3) 当二面角ACDP多大时，FG平面AEC 20. （本题满分14 分）已知椭圆C ： 22 22 1 xy ab ()cba. （ 1）若椭圆的长轴长为4，离心率为 2 3 ，求椭圆的标准方程； （ 2）在（ 1）的条件下，设过定点M（0，2）的直线l与椭圆 C 交于不同的两点A、B，且AOB为锐角（其中O为坐标原点） ， 求直线l的斜率k的取值范围 ; （ 3）如图，过原点O任意作两条互相垂直的直线与椭圆 22 22 1 xy ab (0ba) 相交于QRSP,四 点，设原点O到四边形PQSR一边的距离为d，试求1d时ba,满足的条件 . x y O P S R Q 21 （本题满分15
8、 分）已知函数xaxxfln)( 2 在2, 1是增函数，xaxxg)(在(0,1)是减函 数； 求)(xf、)(xg的表达式； 求证：当0x时，方程2)()(xgxf有唯一解； 当1b时，若 2 1 2)( x bxxf在x(0,1内恒成立，求b的取值范围； 22. （ 本 题 满 分15分 ） 已 知 各 项 均 为 正 数 的 数 列 n a的 前n项 和 n S满 足1 1 S， 且 naaS nnn )(2)(1(6为正整数） . （ 1）求 n a的通项公式； （ 2）设数列 n b满足 为奇数 为偶数 n na b na n n ,2 , ，求 nn bbbT 21 ； （ 3）
9、设为正整数）n b b C n n n ( 1 ，问是否存在正整数N，使得Nn时恒有2008 n C成立？若存 在，请求出所有N的范围；若不存在，请说明理由. 。 参考答案 一选择题： BDBBC BDBBD 二填空题： ( 本大题共7 小题，每小题4 分，满分28 分) 11.3 12. 1 (,0) 4 13. 123 1 14. 1 2 . 15. 600 16 3 22 17.), 1 三：解答题 18： 【解】 (1) 选手甲答3道题进入决赛的概率为 27 8 ) 3 2 ( 3 ； 选手甲答4道题进入决赛的概率为 27 8 3 2 3 1 ) 3 2 ( 22 3 C； 选手甲答5
10、 道题进入决赛的概率为 81 16 3 2 ) 3 1 () 3 2 ( 222 4C； 选手甲可进入决赛的概率 27 8 p+ 27 8 + 81 16 81 64 (2) 依题意，的可能取值为3,4,5则有 3 1 ) 3 1 () 3 2 ()3( 22 P， 27 10 3 1 3 2 ) 3 1 ( 3 2 3 1 ) 3 2 ()4( 22 3 22 3 CCp， 27 8 3 1 ) 3 1 () 3 2 ( 3 2 ) 3 1 () 3 2 ()5( 222 4 222 4 CCp，因此，有 345 p 3 1 27 10 27 8 27 26 3 27 107 27 8 5
11、27 10 4 3 1 3E 19.(3)arctan2 20解：（1） 2 2 1 4 x y （2）显然直线x=0 不满足题设条件，可设直线l： 1122 2, (,),(,).ykxA x yB xy 5 分 由 2 1 4 2 2 kxy y x 得01216)41( 22 kxxk. 0)41(124)16( 22 kk, ), 2 3 () 2 3 ,(k （1） 又 221221 41 12 , 41 16 k xx k k xx 由0900.AOBOA OB 1212 0.OA OBx xy y 所以4)(2)1 ()2)(2( 2121 2 21212121 xxkxxkkx
12、kxxxyyxxOBOA 04 41 16 2 41 )1(12 22 2 k k k k k 22k （2） 由（ 1） （2）得：)2 , 2 3 () 2 3 , 2(k。 （3）由椭圆的对称性可知PQSR 是菱形，原点O到各边的距离相等。 当 P在 y 轴上， Q在 x 轴上时，直线PQ的方程为1 xy ab ，由 d=1 得 22 11 1 ab ， 当 P不在 y 轴上时， 设直线 PS的斜率为k， 11 (,)P x kx，则直线 RQ的斜率为 1 k ， 22 1 (,)Q xx k 由 22 22 1 ykx xy ab ，得 2 222 1 11k xab (1) ，同理
13、2222 2 111 xak b (2) 在 RtOPQ 中，由 11 | | 22 dPQOPOQ，即 222 |PQOPOQ 所以 222222 22 121112 ()()() () xx xxkxxkxx kk ，化简得 2 2 22 21 1 1 k k xx ，分 2 22 22222 111 ()1 k kk ak bab ，即 22 11 1 ab 。 综上， d=1 时 a,b 满足条件 22 11 1 ab 22 解： （1）1n时，236 1 2 11 aaa，且1 1 a，解得2 1 a。 2n时，, 236 2 nnn aaS236 1 2 11nnn aaS，两式相
14、减得： 1 2 1 2 336 nnnnn aaaaa即0)3)( 11nnnn aaaa，0 1nn aa， 3 1nn aa， n a为等差数列，13nan 。 （2） 为奇数 为偶数 n nn b n n ,2 , 13 13 ， nn bbbT 21 。. 当n为偶数时， 4 )43( )18( 7 4 2 )135( 2 81 )81(4 )()( 2 2 42131 nn n n bbbbbbT n n nnn , . 当n为奇数时， . 4 )13)(1( )18( 7 4 2 )435( 2 1 81 )81 (4 )()( 2 1 2 1 14231 nn n n bbbbbbT n n nnn 为奇数， 为偶数 n nn n nn T n n n 4 )13)(1( )18( 7 4 , 4 )43( )18( 7 4 2 1 2 (3) 为奇数 为偶数 n na n na C na n n n a n n n , 2 23 2 , 13 22 13 1 23 1 , 当 n 为奇数时，0)23(6483 2 1 2 23 2 83 531353 2 nn nn CC nnn nn , nnn CCC, 2 递减， 2008 4 5 1 CCn， 因此不存在满足条件的正整数N。