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1、新定义阅读理解题 1. 阅读下列材料，解答下列问题： 材料一： 一个三位以上的自然数，如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示 的 数 之 差 是11的 倍 数 ， 我 们 称 满 足 此 特 征 的 数 叫 “ 网 红 数 ”.如 ： 65362 ， 362- 65=297=11 27，称65362 是“网红数”. 材料二： 对任意的自然数p均可分解为p=100x+10y+z（x0，0y9,0 z9 且想，x，y， z均为整数），如： 5278=52100+107+8，规定：G（p）= zx xzxx11 2 ）（ . （1）求证：任意两个“网红数”之和一定能被11 整除； （2）
2、已知：s=300+10b+a，t=1000b+100a+1142（1a7,0 b5，且a、b均为整数）， 当s+t为“网红数”时，求G（t）的最大值 . （1）证明： 设两个“网红数”为mn，ab（n，b分别为mn，ab末三位表示的数，m，a 分别为mn，ab末三位之前的数字表示的数）， 则n-m=11k1，b-a=11k2， mn+ab=1001m+1001a+11（k1+k2）=11（91m+91a+k1+k2）. 又k1，k2，m，n均为整数， 91m+91a+k1+k2为整数， 任意两个“网红数”之和一定能被11 整除 . （2）解：s=3100+10b+a，t=1000（b+1）+1
3、00（a+1）+410+2， S+t=1000（b+1）+100（a+4）+10（b+4）+a+2， 当 1a5 时，s+t=）（）（）（2a4b4a1b， 则）（）（2a4b4a- （b+1）能被 11 整除， 101a+9b+441=11 9a+2a+11b-2b+4011+1 能被 11 整除， 2a-2b+1 能被 11 整除 . 1a5， 0b5， -7 2a-2b+111， 2a-2b+1=0 或 11， a=5，b=0，t=1642，G（1642）=17 14 1 ， 当 6a7 时，s+t=）（）（）（2a4b6a2b， 则）（）（2a4b6a- （b+2）能被 11 整除，
4、101a+9b- 560=119a+2a+11b-2b- 5111+1 能被 11 整除， 2a-2b+1 能被 11 整除 . 6a7， 0b5， 3 2a-2b+115， 2a-2b+1=11， 1b 6a ， 2b 7a ， t=2742 或 3842，G（2742）=28 25 1 ，G（3842）=39 36 1 ， 综上，G（t）的最大值为39 36 1 . 2. 若将自然数中能被3 整除的数，在数轴上的对应点称为“3倍点”，取任意的一个“3倍 点”P，到点P距离为 1 的点所对应的数分别记为a，b. 定义：若数Ka 2 b 2 ab，则称数 K为“尼尔数”例如：若P所表示的数为3
5、，则a2，b4，那么K2 24224 12； 若P所表示的数为12，则a11，b13，那么K13 21121311 147，所以 12，147 是“尼尔数” (1) 请直接判断6 和 39 是不是“尼尔数”，并且证明所有“尼尔数”一定被9 除余 3； (2) 已知两个“尼尔数”的差是189，求这两个“尼尔数” 解： (1)6 不是尼尔数，39 是尼尔数 证明：设P表示的数为3m，则a (3m1) ，b(3m1) ， K(3m1) 2(3 m1) 2 (3m1)(3m1)9m 23， m为整数，m 2 为整数， 9m 23 被 9 除余 3； (2) 设这两个尼尔数分别是K1，K2，将两个“尼尔
6、数”所对应的“3 倍点数”P1，P2分别记为 3m1，3m2. K1K29m1 29m 2 2189， m1 2 m2 221， m1，m2都是整数， m1m27，m1m23， 2m 5m 2 1 ， 39k 228k 2 1 . 3. 若在一个两位正整数N的个位数字与十位数字之间添上数字2 ， 组成一个新的三位 数，我们称这个三位数为N的“诚勤数”， 如34 的“诚勤数”为324 ；若将一个 两位正整数M加2 后得到一个新数，我们称这个新数为M的“立达数”， 如34 的“立达数”为36. (1) 求证：对任意一个两位正整数A，其“诚勤数”与“立达数”之差能被6 整除； (2) 若一个两位正整
7、数B的“立达数”的各位数字之和是B的各位数字之和的一半， 求B的值 . 解： （1）设A的十位数字为a，个位数字为b， 则A10a+b，它的“诚勤数”为100a+20+b，它的“立达数”为10a+b+2， 100a+20+b- （10a+b+2） 90a+186（15a+3）， a为整数， 15a+3 是整数， 则“诚勤数”与“立达数”之差能被6 整除； （2）设B10m+n，1m9，0n9 （B加上 2 后各数字之和变小，说明个位发生了进位）， B+210m+n+2， 则B的“立达数”为10（m+1）+（n+2-10 ）， m+1+n+2 10= 2 1 （m+n）， 整理，得m+n14，
8、1m9， 0n9， 6n 8m 、 8n 6m 、 5n 9m 、 9n 5m 、 7n 7m ， 经检验： 77、86 和 95 不符合题意，舍去， 所求两位数为68 或 59 4一个正偶数k去掉个位数字得到一个新数，如果原数的个位数字的2 倍与新数之和与19 的商是一个整数，则称正偶数k为“魅力数”，把这个商叫做k的魅力系数，记这个商为F （k）如： 722 去掉个位数字是72，2 的 2 倍与 72 的和是 76，7619=4， 4 是整数，所以 722 是“魅力数”，722 的魅力系数是4，记(722)4F (1) 计算：(304)(2052)FF； (2) 若m、n都是“魅力数”，其
9、中3030 101ma，400 10nbc(0 a 9，0b 9， 0c9，a、b、c是整数 ) ， 规定：(, ) ac G m n b 当( )( ) 2 4FmFn时，求(, )G m n 的值 解： （1）30+24=38，3819=2，F(304)=2. 205+22=209,209 19=11， F（2025）=11. F（304）+F（2052）=13； （2）m=3030+101a=3000+100a+30+a， F（m）= 19 a23a10300 = 19 a12303 =15+ 19 a1218 . m是“魅力数”， 19 a1218 是整数 . 0a9，且a是偶数，a=
10、0,2,4,6,8. 当a=0 时， 19 a1218 = 19 18 不符合题意 . 当a=2 时， 19 a1218 = 19 42 不符合题意 . 当a=4 时， 19 a1218 = 19 66 不符合题意 . 当a=6 时， 19 a1218 = 19 90 不符合题意 . 当a=8 时， 19 a1218 = 19 114 =6 符合题意 . a=8，此时m=3838，F（m）=F（3838） =6+15=21. 又F（m）+F（n）=24， F（n）=3. n=400+10b+c， F（n）= 19 c2b40 =3， b+2c=17， n是“魅力数”，c是偶数， 又0c9，c=
11、0，2,4,6,8. 当c=0 时，b=17 不符合题意 . 当c=2 时，b=13 不符合题意 . 当c=4 时，b=9 符合题意 . 此时，G（m，n）= b ca = 9 48 = 9 4 . 当c=6 时，b=5 符合题意 . 此时，G（m，n）= b ca = 5 68 = 5 2 . 当c=8 时，b=1 符合题意 . 此时，G（m，n）= b ca = 1 88 =0. 9 4 5 2 0， G（m，n）的最大值是 9 4 . 5. 已知一个正整数，把其个位数字去掉，再将余下的数加上个位数字的4 倍，如果和是13 的倍数，则称原数为“超越数”如果数字和太大不能直接观察出来，就重复
12、上述过 程如： 1131：113+41 117，11713 9，所以1131 是“超越数”；又如：3292： 329+42 337，33+47 61，因为 61 不能被 13 整除，所以3292 不是“超越数” （1）请判断42356 是否为“超越数”（填“是”或“否”），若ab+4c 13k（k为 整数），化简abc除以 13 的商（用含字母k的代数式表示） （2）一个四位正整数Nabcd，规定F（N） |a+d 2bc| ，例如： F（4953）|4+3 259| 32，若该四位正整数既能被13 整除，个位数字是5，且ac，其中 1a 4求出所 有满足条件的四位正整数N中F（N）的最小值
13、解： （1）否， 4235+46 4259，425+4 9461，46+4150，因为 50 不能被 13 整除，所以42356 不 是超越数 . ab+4c13k， 10a+b+4c13k， 10a+b13k4c， abc100a+10b+c10（10a+b）+c130k40c+c130k39c13（10k3c）， 13 abc 10k3c； （2）由题意得d5，ac， N1000a+100b+10c+5， N能被 13 整除， 设 100a+10b+c+45 13k， 101a+10b+2013k，且a为正整数，b，k为非负整数， 1a4， a2，b 9，k24 或a3，b8，k31，或a
14、4，b7，k38， F（N） |2+25 18| 9，或F（N） |3+25 24| 4，或 F（N） |4+25 28| 1， F（N）最小值为1 6. 一个两位正整数n，如果n满足各数位上的数字互不相同且均不为 0，那么称n 为“启 航数”，将n的两个数位上的数字对调得到一个新数n. 把n放在n的后面组成第一个四位 数，把n放在n的后面组成第二个四位数，我们把第一个四位数减去第二个四位数后再除 以 11 所得的商记为( )F n，例如： 23n 时， 32n ， 23323223 (23)81 11 F. （1） 计算(42)_;F若m为“启航数”，()F m是一个完全平方数，求()F m
15、的值； （2）st、为“启航数”， 其中10,10sab txy（1ba9， 1x、y5， 且yxba, 为整数） 规定：( , ) st K s t t ，若( )F s能被7整除，且( )( )81162F sF ty，求( , )K s t的最 大值 . 解： （1）F（42） =162， 设m=pq（1pq9，且p、q为整数）， 则()=81() 11 pqqpqppq F mpq， ()F m完全平方数，pq为完全平方数， 1pq 9，且p、q为整数， 0p-q8，14pq或， F（m）=81 或 324； （2）由题意知：s=ab，t=xy（1ba9,1 x、y5，且abxy、 、
16、 、 为整数）， ( )81()F sab，( )81()F txy， ( )F s能被7整除， 81() 7 ab 为整数， 又 1ba9， 0a-b8， 7ab，9,28,1abab或， s=92 或 81. 又( )( )81162F sF ty， 81（a-b） +81（x-y）-81y=162， 2y=x+5， 1x，y 5 且x y， 1,33,4xyxy或， t=13 或 34， 79 (92,13) 13 K，K（92，34）= 34 58 ， 68 (81,13) 13 K， 47 (81,34) 34 K Kmax= 13 79 . 7. 若一个三位数，其个位数加上十位数等
17、于百位数，可表示为t100（x+y）+10y+x（x+y 9），则称实数t为“加成数”， 将t的百位作为个位，个位作为十位， 十位作为百位， 组成一个新的三位数h规定qth，f（m） 9 q ，例如： 321 是一个“加成数”，将 其百位作为个位， 个位作为十位， 十位作为百位， 得到的数h213， q321 213108， f（m） 9 108 12 （1）当f（m）最小时，求此时对应的“加成数”的值； （2）若f（m）是 24 的倍数，则称f（m）是“节气数”，猜想这样的“节气数”有多少个， 并求出所有的“节气数” 解： （1）f（m） 9 q ， 当f（m）最小时，q最小， t100（x
18、+y）+10y+x=101x+110y，h100y+10x+x+y101y+11x， qth 101x+110y（ 101y+11x） 9y+90x，且 1y9，0x9，x、y为正整数， 当x0，y1 时，q9，此时对应的“加成数”是110； （2）f（m）是 24 的倍数， 设f（m） 24n（n为正整数）， 则 24n 9 q ，q216n， 由（ 1）知：q9y+90x9（y+10x）， 216n9（y+10x）， 24ny+10x，（x+y10） 当n 1时，即y+10x24，解得：x 2，y4，则这样的“节气数”是24； 当n 2时，即y+10x48，解得：x 4，y8，x+y121
19、0，不符合题意； 当n 3时，即y+10x72，解得：x 7，y2，则这样的“节气数”是72； 当n 4时，即y+10x96，解得：x 9，y6，x+y1510，不符合题意； 当n 5时，即y+10x120，没有符合条件的整数解， 综上，这样的“节气数”有2 个，分别为24， 72 8. 在任意n（n1 且为整数） 位正整数K的首位后添加6 得到的新数叫做K的“顺数”， 在 K的末位前添加6 得到的新数叫做K的“逆数”若K的“顺数”与“逆数”之差能被 17 整除，称K是“最佳拍档数”比如1324 的“顺数”为16324，1324 的“逆数”为 13264，1324 的“顺数”与“逆数”之差为1
20、6324132643060，306017 180，所以 1324 是“最佳拍档数” （1）请根据以上方法判断31568 （填“是”或“不是”）“最佳拍档数”；若一个 首位是 5 的四位“最佳拍档数”N，其个位数字与十位数字之和为8，且百位数字不小于 十位数字，求所有符合条件的N的值 （2）证明：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30 整除 （1）解： 是； 【解法提示】 361568 315668 45900，且 4590017 2700， 根据最佳拍档数的定义可知，31568 是“最佳拍档数”； 故答案为：是 设“最佳拍档数”N的十位数字为x，百位数字为y，则个位数
21、字为8x，yx， N5000+100y+10x+8x 100y+9x+5008， N是四位“最佳拍档数”， 50000+6000+100y+10x+8x50000+1000y+100x+60+8x ， 6000+100y+9x+81000y100x68+x， 594090x900y， 90（66x10y）， 66x10y能被 17 整除， x2，y 3 时， 66x10y 34，能被 17 整除，此时N为 5326； x3，y 8 时， 66x10y 17，能被 17 整除，此时N为 5835； x5，y 1 时， 66x10y 51，能被 17 整除，但xy，不符合题意； x6，y 6 时，
22、 66x10y 0，能被 17 整除，此时N为 5662； x8，y 3 时， 66x10y 28，不能被17 整除，但xy，不符合题意； 当x 9，y4 时， 66x10y17，能被 17 整除，但xy，不符合题意； 综上，所有符合条件的N的值为 5326，5835， 5662； （2）证明： 设三位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z， 它的“顺数”：1000z+600+10y+x， 它的“逆数”：1000z+100y+60+x， （ 1000z+600+10y+x）（ 1000z+100y+60+x） 54090y90（6y）， 任意三位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定
23、能被30 整除， 设四位正整数K的个位数字为x，十位数字为y，百位数字为z，千位数字为a， （10000a+6000+100z+10y+x）（10000a+1000z+100y+60+x）5940900z 90y90 （ 66 10zy）， 任意四位正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30 整除， 同理得：任意三位或三位以上的正整数K的“顺数”与“逆数”之差一定能被30 整除 9. 若实数a可以表示成两个连续自然数的倒数差，即a n 1 - 1 n1，那么我们称 a为第n个 “1 阶倒差数”，例如 2 1 1- 2 1 ， 2 1 是第 1个“1 阶倒差数”， 6 1 2 1 - 3 1
24、， 1 6是第 2 个“1 阶倒差数”同理，若b n 1 - 2n 1 ，那么，我们称b为第n个“2 阶倒差数” (1) 判断 1 32是否为“1 阶倒差数”；直接写出第5 个“2 阶倒差数”； (2) 若c，d均是由两个连续奇数组成的“2阶倒差数”，且 d 1 - c 1 22，求c，d的值 解： (1) 1 32不是“1 阶倒差数”， 2 35； 【解法提示】 3213221648，不是两个连续自然数的积， 32 1 不是“1 阶倒差数” 第 5 个“2 阶倒差数”为 5 1 - 7 1 35 2 . (2) 设m是由两个连续奇数2x-1，2x+1 组成的“2 阶倒差数”，则 m= 1x2
25、 1 - 1x2 1 = ）（ ）（ 1x21x2 1x21x2 = 1x4 2 2 . c，d是两个连续奇数组成的“2阶倒差数”， 可设c 1y4 2 2 ，d 1z4 2 2 ， d 1 c 1 22， 4z 21 2 4y 21 2 22， 即z 2 y 211， (zy)(zy) 110， zy. 11111， 1yz 11yz ，解得 6z 5y ， c= 154 2 2 = 2 99， d= 164 2 2 = 2 143. 10. 任意一个正整数n，都可以表示为：nabc（abc，a，b，c均为正整数），在 n的所有表示结果中， 如果 |2b （a+c） | 最小，我们就称abc
26、是n的“阶梯三分法”， 并规定：F（n） b ca ，例如： 6116123， 因为|2 1 （1+6）| 5，|2 2 （ 1+3）| 0，50，所以 123 是 6 的阶梯三分法，即F（6） 2 31 2 （1）如果一个正整数p是另一个正整数q的立方，那么称正整数p是立方数，求证：对于 任意一个立方数m，总有F（m） 2； （2）t是一个两位正整数，t10x+y（1x9，0y 9，且xy，x+y10，x和y均为 整数），t的 23 倍加上各个数位上的数字之和，结果能被13 整除，我们就称这个数t 为“满意数”，求所有“满意数”中F（t）的最小值 解： （1）m为立方数， 设mqqq， |2
27、q（q+q）| 0， qqq是m的阶梯三分法， F（m）= q qq =2； （2）由已知， 23 （10x+y）+x+y 能被 13 整除， 整理得： 231x+24y能被 13 整除， 231x+24y13（ 18x+2y）（ 3x+2y）， 3x+2y能被 13 整除， 1x9， 0y9， 3 3x+2y45， x，y均为整数， 3x+2y的值可能为13、26 或 39， 当 3x+2y13 时， xy，x+y10， x3，y 2，t32， 32 的阶梯三分法为244， F（32） 2 3 2 42 ； 同理，当3x+2y26 时， 可得x 8，y1 或x6，y 4， t81 或 64， F（81） 4，F（64） 2； 同理，当3x+2y39 时， 可得x 9，y6（不合题意舍去）， 综合，F（t）最小值为 2 3 .