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1、山东省 2012 届高中数学夏令营数学竞赛（及答案） 一. 填空题 ( 本题共 5 道小题 ,每小题 8 分, 满分 40 分 ) 1. 函数 ( )1232f xxx 的最大值是 _ ; ( 王泽阳供题 ) 解 :( )12322 2f xxx, 其等号仅当1232xx即 1 2 x时成 立, 所以 ,f(x)最大=2 2. 2. 如果自然数a的各位数字之和等于5, 那么称a为“吉祥数”, 将所有吉祥数从小到大 排成一列a1,a2, ,an. 若an=2012. 则 n=_. (王继忠供题 ) 解: 设 12m x xx为吉祥数 ,则 x1+x2+xm=5, 由 x11 和 x2, ,x m
2、0 得 (x1-1)+x2+xm=4, 所以 , 12m x xx为第 4 3m C 个吉祥数 . 2 1 m xx为第 4 2m C 个吉祥数 . 由此得 : 一位吉祥数共1 个, 二位吉祥数共 4 5 5C个, 三位吉祥数共 4 6 15C个, 因以 1 为首位的四位吉祥数共 4 6 15C个, 以 2 为首位的前两个四位吉祥数为: 2003 和 2012. 故 n=1+5+15+15+2=38. 3. 已知 f(x) 是 2011 次多项式 , 当 n=0,1, ,2011 时,( ) 1 n f n n . 则 f(2012)=_; (王林 供题 ) 解: 当 n=0,1, ,2011
3、 时, (n+1)f(n)=n,即多项式 (x+1)f(x)-x有 2012 个根 , 设(x+1)f(x)-x=ax(x-1)(x-2)(x-2011). 取 x=-1, 则 1=2012!a. 故 1 2012! a , (1)(2)(2011) ( ) 2012!(1)1 x xxxx f x xx , 2012!20122013 (2012)1 2012!201320132013 f . 4. 将圆周上5 个点按如下规则染色: 先任选一点染成红色, 然后依逆时针方向, 第 1 步转过 1 个间隔将到达的那个点染红, 第 2 步转过 2 个间隔将到达的那个点染红, 第 k 步转过 k 个
4、间隔 将到达的那个点染红. 一直进行下去 , 可得到_个红点 . ( 龚红戈供题 ) 解: 将 5 个点依次编号04, 且不妨设开始染红的是0号点 , 则第 1 步染红的是1号点 ,第 2 步染红的是3 号点 , 第 3 步染红的又是1 号点 . 故共可得3 个红点 . 5. 如图，设O,I分别为ABC的外心、内心，且60B，ABBC，A的外角 平分线交O于D，已知18AD, 则OI _. (李耀文供题 ) 解: 连接BI并延长交O于E, 则E为弧AC的中点 . 连 A D O E OE、AE、CE、OC，由60B ，易知 AOE、COE均为 正三角形 . 由内心的性质得知：AEIECE, 所
5、以 A、O、I、C四点共圆 , 且圆心为E. 再延长AI交O于F, 由题设知 D、O、F共线，于是 2OEIOAI, 22AODAFDOAI, 又OAODOEIE, 从而OADEOI, 故18OIAD. 二. 解答题 ( 本题共 5 道小题 ,每小题 20 分, 满分 100 分) 6. 证明 : 对任给的奇素数p, 总存在无穷多个正整数n使得p|(n2 n-1). ( 陈永高供题 ) 证明 : 取n=(p-1)k, 则由费尔马小定理知 (1) 21(mod) pk p, 所以 , p|(n2 n-1) (1) (1)21(mod )(1)1(mod )1(mod ) pk pkppkpkp.
6、 取k=pr-1(r N *), 即 n=(p-1)(pr-1),就有 (1) (1)21(mod ) pk pkp 即p|(n2 n-1). 7. 如图，已知P是矩形 ABCD内任意一点，延长BP交 AD于 E，延长 DP交 AB于 F，延长 CP交矩形的外接圆于G 。求证： GE GF. (叶中豪供题 ) 证法 1: 设 CG交 AD于 Q,由 GBA GDA及 AGB CGD 知 ABG QDG 。延长 DF、CB 交于 R，由 ADBR, AD=BC 得 AFBC FBBR 又由 CPB QPE 及 RPB DPE得 BCQE BRED 由 , 得 AFQE FBED , 表明 F,E
7、 是 ABG,QDG 的相似对应点, 故得 FBG EDG.所以 , FGB= EGD, FGE= BGD=90 0, 即 GE GF. 证法 2: 联结 GB,GD,令 GCB= , GCD= , 由正弦定理得 : sinsin sinsin GBBPPBC GDDPPDC sinsin sinsin BFBFPPBCBF DEDEPPDCDE , 由 GBF GDE得 FBG EDG. 所以 , FGB= EGD,FGE= BGD=90 0, 即 GE GF. 8. 对于恰有120 个元素的集合A.问是否存在子集A1,A2, ,A10满足 : (1)|A i|=36,i=1,2, ,10;
8、 (2)A1A2 A10=A; R A B C D P E G F Q A B C D P E G F Q (3)|AiAj|=8,ij. 请说明理由 . (刘裕文供题 ) 解: 答案 : 存在 . 考虑长度为10 的 0,1 数列 . 其中仅 3 项为 1 的恰有 3 10 120C个, 每个作为集合A 的一 个元素 . 对每个 j=1,2,10, 第 j 项为 1 的 0,1 数列恰有 2 9 36C个, 它们是集合Aj的 36 个元 素. 对每对 i,j1,2, ,10(i1,v1. 由 4v 2-3u21(mod8)知 u,v 为奇数 , 直接计算得umin=15,vmin=13,k=
9、56, 所以 , m最小=1513=195,n 最小=337. 10. 设实系数三次多项式 32 ( )p xxaxbxc有三个非零实数根 . 求证 : 3 32 2 610(2 )1227aababc. (李胜宏供题 ) 证明 : 设,为p(x)=0的三个根 , 由根与系数关系 a b c 得: 2222 2ab. 原式 3 22 2 6 (2 )10(2 )27a ababc 3 222222 2 6()()10()27. 若 222 0,则成立 . 若 222 0, 不妨设| | |, 由的齐次性 ,不妨设 222 9, 则 2 3, 222 296. 2()10. 因 22222 2()2()(2) 4(2) () 232 84() (92)2()()20()72 2 (2) (27)100100, 所以 ,2()10. 故原式 成立 .