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1、第一次课第一章三角形的证明 知识点一：等腰三角形 1、 全等三角形的性质及判定 全等三角形的性质：对应边相等，对应角相等。 判定三角形全等的四种方法：SSS, SAS, ASA, AAS. 2、 等腰三角形的 性质 定理： 等腰三角形，两底角相等（等边对等 角） 。 等腰三角形，底边的高，顶角的角平分线，底边的中线重合。( “三线合一 ”) 等腰三角形两底角的角平分线相等，两腰的中线相等，两腰的高相等。（特殊线段相等） 。 等腰三角形的 判定 定理：有两角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边 ） 。 知识点二：等边三角形 1、 等边三角形的性质定理：等边三角形，三条边相等，三个内角都相等，且都
2、等于60。 2、 等边三角形的判定定理：有一个角是60的等腰三角形 是等边三角形。 三个角都相等的三角形 是等边三角形。 知识点三：反证法 步骤：假设：假设结论不成立； 推论：将假设当条件继续推论，得出与已知条件、公理、定义、定理相矛盾的结论； 假设不成立；原命题成立。 知识点四：直角三角形 1、 直角三角形性质定理： 角的角度：直角三角形，两锐角互余。 边的角度：勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方。 2、 直角三角形的判定定理： 角的角度：两锐角互余的三角形是直角三角形。 边的角度：勾股定理的逆定理（在三角形中，若其中两边的平方等于第三边的平方，则此 三角形是直角三角形。
3、 ） 3、 特殊的直角三角形： 在直角三角形中，有一个角是30，则它所对的直角边是斜边的一半。 在直角三角形中，若直角边是斜边的一半，那么直角边所对的角为30。 4、 “HL”定理：斜边和一条直角边分别相等的两个三角形全等。 （注意：此定理只是用于直角三角形中，用之前要强调两个三角形是直角三角。） 知识点五：垂直平分线（点到点） 1、性质定理：垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。 2、判定定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。 （垂直平分线点到点的距离相等） 3、三角形三边的垂直平分线：三角形的三条边的垂直平分线交于一点，并且这一点到三角形三个 顶点的距离相等。
4、 （证明“三点共线” ：先作出其中两条边的交点，再证明该点在第三条线上） 知识点六：角平分线（点到边） 1、 角平分线性质定理：角平分线上的点到角两边的距离相等。 2、 角平分线性质定理的符号语言：D 在 ABC的角平分线BM 上， 且 DEAB， DFBC， DE=DF 。 3、 角平分线判定定理：在一个角的内部，到角两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。 4、 平分线判定定理的符号语言（ABC ） ：DEAB，DFBC ，且 DE=DF ，所以 D在 ABC的角 平分线。 （角平分线点到边的距离相等） 3、三角形三内角的角平分线：三角形的三个内角的角平分线交于一点，并且这一点到三角形三条
5、 边的距离相等。 知识点七：尺规作图： 1、线段垂直平分线的画法：分别以线段的两个端点为圆心，以大于线段的二分之一长度为半径 画弧线。得到两个交点(两交点交于线段的两侧)。连接这两个交点。 2、等腰三角形的画法：已知，求作 例：已知等腰三角形的底和高，求作等腰三角形。 已知：线段a 和 b. 求作：等腰三角形ABC ，使 BC=B ，高 AD=a. 解：作法： .作射线 BE； .在射线 BE 上取一点 C，使 BC=b； 作线段 BC的垂直平分线MN，交 BC于点 D； 以点 D 为圆心，以a 为半径画弧，交MN 于 A； 连接 AB、AC. 则ABC就是所求作的三角形。 4、 角平分线的画
6、法（ABC） ： 以角的顶点B为圆心，以任意长度为半径画弧，分别交AB、BC于点 M、N； 分别以 M、N 分别为圆心，以大于1/2MN 为半径画弧，两弧交于点O； 连接 BO。 判定定理 性质定理 判定定理 性质定理 专题一：证明线段相等 1、如图，已知在ABC 中， AD 为 BC 边上的中线， E 为 AC 上一点， BE 与 AD 交 于点 F，若 AE=EF ，求证： AC=BF. 2、已知 :如图 , ABC 是等边三角形 ,BD 是 AC 边上的高 ,延长 BC 到 E,使 CE=CD, 求证 :BD=DE 。 专题二：证明角相等 3、如图，已知等边ABC ，现将 ABC 折叠，
7、使A 点落在 BC 边上 D 点，折痕为 EF，求证： BED= FDC 4.已知 :如图 , ABC （AB AC ）中 ,D、E 在 BC 上,且 DE=EC, 过 D 作 DF/BA 交 AE 于 点 F,DF=AC. 求证 :AE 平分 BAC 专题三：直角三角形的应用 5、 工人师傅要测量A 山山顶的垂线到山一脚的距离AF.直接测量十分烦琐,恰巧有一 B 山已被开发成功.已知 B 山 A 山等高 ,且两山斜坡长度DF 与 NP 也相等 .若山已知距 离 BP 为 100 米,那么能否直接判定A 山距离 AF 也为 100 米呢 ? 专题四：角平分线的应用 6、 如图， 若， 则_ 。 7、 ABC中, C= 90 DE AB于 D, 交 AC 于 E,若 BC=BD,AC=5cm. 则 AE+ED=_. 8、已知：线段a和 b. 求作：等腰三角形ABC ，使 AB=AC=a ，高 AD=b. 9、如图，在 ABC中， ABC= 45， CD AB，BE AC，垂足分别为D， E，F 为 BC 中点， BE 与 DF，DC 分别交于点G，H， ABE= CBE 。 （1）线段 BH 与 AC 相等吗？若相等给予证明，若不相等请说明理由。 （2）求证：。 A C B D E