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1、江苏省泰州中学20122013 学年度高三年级上学期期中考试 数学试题（2012.11.5 ） 一、填空题：本大题共14 小题，每小题5 分，共计70 分 1. 已知集合 , 1,2,0 2 aBA，若4,2 ,1 ,0BA，则实数a= 2. 若 4 sin,tan0 5 ，则cos . 3. 写出命题：“,sinxRxx”的否定： 4. 幂函数 f(x)x ( 为常数 ) 的图象经过(3, 3)，则 f(x)的解析式是 5. 若 a+a -1=3，则 2 1 2 1 aa的值为 6. 函数 22 ( )21f xxaxa的定义域为A，若2A，则a的取值范围为 7. 已知 f(x)是偶函数，它
2、在0 ， ) 上是增函数，若f(lgx)f(1) ，则 x 的取值范围 是 8. 设数列 n a是首相大于零的等比数列, 则“ 21 aa”是“数列 n a是递增数列”的_ 条件 9. 若向量( ,2 ),( 3 ,2)axx bx，且,a b的夹角为钝角，则x的取值范围是 510. 已知函数)(log 2 2 1 aaxxy在区间2,(上是增函数，则实数a的取值范围 是 . 11. 给出下列命题： 存在实数x，使得 3 cossinxx； 函数xy2sin的图象向右平移 4 个单位，得到) 4 2sin(xy的图象； 函数) 2 7 3 2 sin(xy是偶函数； 已知,是锐角三角形ABC的
3、两个内角，则cossin。 其中正确的命题的个数为 12. 已知点O为ABC的外心，且4AC，2AB，则AO BC的值等于 13. 数列 n a中, 11 1 ,() 211 n n n na aanN nna ，则数列 n a的前2012项的和 为 . 14. 已知定义在R 上的函数fx 满足12f，1fx，则不等式 22 1fxx的解集为 _ . 二、解答：本大题共6 小题，共计90 分解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. （本小题满分14 分） 已知命题p：指数函数f(x) (2a6) x 在 R上单调递减，命题q：关于x的方程 x 23ax2a210 的两个实根均大于 3.
4、 若p或q为真，p且q为假，求实数a的取值范围 16. （本小题满分14 分） 在ABC中 ， 角,A B C的 对 边 长 分 别 为, ,a b c，ABC的 面 积 为S， 且 222 43 ()Sbca （1）求角A；（2）求值： 00 cos(80)13tan(10 )AA 17. （本小题满分14 分） 设函数 2 2111 ( )log() 2122 x f xxx x 或. (1) 证明 :( )f x是奇函数 ; (2) 求( )fx的单调区间 ; (3) 写出函数 2 21 ( )log 23 x g x x 图象的一个对称中心. 18. （本小题满分16 分） 某汽车生产
5、企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10 万元 / 辆，出厂价为13 万元 / 辆，年 销售量为5000 辆. 本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆 车投入成本增加的比例为x（0x1)，则出厂价相应提高的比例为0.7x，年销售量也相 应增加 . 已知年利润 =（每辆车的出厂价每辆车的投入成本）年销售量. （1）若年销售量增加的比例为0.4x，为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本 增加的比例x应在什么范围内？ （2）年销售量关于x的函数为) 3 5 2(3240 2 xxy ，则当x为何值时，本年度的年利润 最大？最大利润为多少？ 19. （本小题满分16
6、分） 已知函数xaxxfln)( 2 (a为实常数 ). (1) 若2a，求证：函数)(xf在(1 ，+) 上是增函数； (2) 求函数)(xf在1 ，e 上的最小值及相应的x值； (3) 若存在,1 ex，使得xaxf)2()(成立，求实数a的取值范围 . 20. （本小题满分16 分） 设数列 n a、 n b满足 1 4a， 2 5 2 a， 1 2 nn n ab a， 1 2 nn n nn a b b ab （1）证明：2 n a，02 n b（ * nN） ； （2）设 3 2 log 2 n n n a c a ，求数列 n c的通项公式； （3） 设数列 n a的前n项和为
7、n S， 数列 n b的前n项和为 n T， 数列 nn a b的前n项和为 n P， 求证： 8 3 nnn STP2n 江苏省泰州中学2013 届高三期中考试 数学参考答案与评分标准 1 2 2. 3 5 3. ,sinxRxx 4. 1 2 ( )f xx 5.1 6. 13 f 99a2a 210 ， a2或a 2 a2 a5 2 ，故a5 2， 又由题意应有p真q假或p假q真6 分 若p真q假，则 35 2 ， 5 2a3 或 a 7 2. 6 分 故a的取值范围是a| 5 2a3 或 a 7 2 14 分 16.(1) 01 4sin3 2cos ,tan3,0,60 2 bcAb
8、cAAAA 6 分 （2）原式 = 0 00 00 cos110 cos20 (13 tan50 )cos20 cos60 cos50 o 00 0 2cos 20 (sin 20 ) 1 sin 40 14 分 17.(1)4分(2) 单调增区间有 11 (,),(,) 22 6 分(3)( 1,0) 4 分 18. 解： （1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为10（ 1+x） ； 出厂价为13（ 1+0.7x ） ；年销售量为5000（ 1+0.4x ） ，2 分 因此本年度的利润为13(10.7 )10(1)5000(10.4 )yxxx (30.9 )5000(10.4 )xx 即：
9、 2 1800150015000(01),yxxx6分 由 2 180015001500015000xx ，得 5 0 6 x 8 分 （2）本年度的利润为 )55 .48.49.0(3240) 3 5 2(3240)9.03()( 232 xxxxxxxf 则),3)(59(972)5 .46. 97. 2(3240)( 2 xxxxxf 10分 由,3 9 5 ,0)( xxxf或解得 当)(,0)() 9 5 ,0( xfxfx时，是增函数；当)(,0)()1 , 9 5 ( xfxfx时，是减函数 . 当 9 5 x时，20000) 9 5 ()(fxf取极大值万元， 12 分 因为(
10、 )f x在（ 0，1）上只有一个极大值，所以它是最大值，14 分 所以当 9 5 x时，本年度的年利润最大，最大利润为20000 万元1 6 分 19. （1）当2a时，xxxfln2)( 2 ，当), 1(x，0 ) 1(2 )( 2 x x xf， 故函数)(xf在), 1(上是增函数4分 （2）)0( 2 )( 2 x x ax xf，当, 1ex，2,22 22 eaaax 若2a，)(xf在, 1e上非负（仅当2a，x=1 时，0)(xf） ，故函数)(xf在, 1e 上是增函数，此时 min )(xf1)1(f6分 若22 2 ae，当 2 a x时，0)(xf；当 2 1 a
11、x时，0)(xf，此时)(xf 是减函数；当ex a 2 时，0)(xf，此时)(xf是增函数故 min )(xf) 2 ( a f 2 ) 2 ln( 2 aaa 若 2 2ea，)(xf在, 1 e上非正（仅当 2 e2a，x=e 时，0)(xf） ，故函数)(xf在 , 1 e 上是减函数，此时 )()( min efxf 2 ea 8分 综上可知， 当2a时，)(xf的最小值为1，相应的x值为 1；当22 2 ae时，)(xf 的最小值为 2 ) 2 ln( 2 aaa ，相应的x值为 2 a ；当 2 2ea时，)(xf的最小值为 2 ea， 相应的x值为e10分 （3）不等式xax
12、f)2()(， 可化为xxxxa2)ln( 2 , 1ex, xx1ln且等号不能同时取，所以xxln，即0ln xx， 因而 xx xx a ln 2 2 （, 1ex）12分 令 xx xx xg ln 2 )( 2 （, 1ex） ，又 2 )ln( )ln22)(1( )( xx xxx xg，14 分 当, 1ex时，1ln,01xx，0ln22xx， 从而0)(xg（仅当 x=1 时取等号），所以)(xg在, 1e上为增函数， 故)(xg的最小值为1) 1(g，所以a的取值范围是), 1 16分 20. （1） 1 2 nn n ab a， 1 2 nn n nn a b b ab
13、 两式相乘得 11nnnn a bab， nn a b为常数列， 1 1 4 nn a ba b； （2 分） 4 n n b a 1 14 ()2 2 nn n aa a ；02 n b； （若2 n a，则 1 2 n a，从而可得 n a为常数列与 1 4a矛盾）； 4 分 （2） 3 2 log 2 n n n a c a ， 2 1 13333 1 12 2 2222 logloglog2log2 12 222 2 2 n nnnn nn nnn n n a aaaa cc aaa a a 又因为 1 1c， n c为等比数列， 1 2 n n c8 分 （3）由 1 2 n n c
14、可以知道， 1 111 2 222 3124 22 12 313131 n nnnn a ， 令 1 2 4 31 n n d ，数列 n d的前n项和为 n D，很显然只要证明 8 3 n D2n， 2 2 2314 n n 因为 1 2 4 31 nn d 22 2 12 22 2 441 4 3131 31 nn n n d ， n d 22 22 4 3131 nn 22 122 111 444 n nn ddd 所以 n D 123 () n dddd 22 12 111 1 444 n dd 2 22 11 1 24 218218 221 1 343343 1 4 n nn 所以 8 2 3 n Sn14 分 又4,2 nnn a bb，故4 ,2 nn Pnn且T， 所以 888 224 333 nnn STnnnP2n16 分