《2019版一轮复习文数通用版：第六单元解三角形1.doc.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版一轮复习文数通用版：第六单元解三角形1.doc.pdf（52页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、正弦定理、余弦定理 过双基 1.正弦定理 =岛=船=2R,其中R是三角形外接圆的半径 . sin D sm c 由正弦定理可以变形 : a : b : c=siq_A : siq_0 : siQ_C； (2)a=2Rsin A, =2Rsin c=2Rsin C. 2.余弦定理 /=X+2CCOS_A , b2=a1+c12accos B, c?=/+沪一2dbcos_C? 小题速通 且bV3(m), 在MON中，由余弦定理得， MN= yj 900+300-2 X 30 X 103 X=V300= l(h/3(m). 答案：l(h/3 3?如图，一艘船上午9： 30在4处测得灯塔S在它的北偏
2、东30。的方向，之后北 它继续沿正北方向匀速航行，上午10： 00到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏 东75。的方向，且与它相距82 n mile?则此船的航速是_ n mile/h? 解析：设航速为v n mile/h, 1 8 Fl 2 在厶ABS中刼，BS=8y/i, ZBSA=45。，由正弦定理得盘丽 =品苗 , 则77 = 32? 答案：32 清易错 易混淆方位角与方向角粧念： 方位角是指北方向线按顺时针转到目标方向线之间的水平夹角， 而方向角是正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角. 若点A在点C的北偏东30。，点B在点C的南偏东60。，且AC=BC,则点A在点 的 （） A.北
3、偏东15B.北偏西15 D.北偏西10。 解析：选B如图所示，ZACB=90 , 又AC=BCf ?ZCB4=45。， 而“=30。， .?.a=90 o-45 -30o = 15 . ?点A在点B的北偏西15 . 双基过关检测 . 、选择题 1.已知中，sinA ：sinB ：sinC=l ：1 ：迈，则此三角形的最大内角为（） A. 60 B. 90 C.北偏东10。 A A M 解析：选C Vsin A : sin B ： sin C=1 ： 1 ：羽, /.? : b : c=l ： 1 ：萌，设a=m,贝U b=m, c=y3m. q2+b2c? /+ 加23亦1 cos C=2b
4、= 2m1= T 2.在厶ABC中，已知 =40, c=20, C=60,则此三角形的解的情况是（） A.有一解 D.有解但解的个数不确定 ?角不存在，即满足条件的三角形不存在. 3?在厶ABC中，内角A, B, C的对边分别为a, b, c,若c=2a, b=4, cos B=. 则c的值为（） A?4 D?6 解析：选A Vc=2a, b=4, cos B=j, /. 由余弦定理得沪 =/+/ 2accos B, 即16=|c2+c2|c2=c2, 解得c=4? 4?已知AC中，内角A, B, C所对边分别为a, b, c,若人=申，b=2acosBf c= 1,则ZVIBC的面积等于（）
5、 解析：选B 由正弦定理得sin B=2sin Acos B, 故tan B=2sin A = 2sinj=/3,又B(0, n),所以 又A=B=务则厶4必是正三角形 , B.有两解 C?5 C.无解 5?（2018-湖南四校联考）在厶ABC中，角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 若（/+ b2-c2）tan C=abf则角C的大小为（） 6.已知A, B两地间的距离为10 km, B, C两地间的距离为20 km,现测得ZABC= 120 ,则4, C 两地间的距离为（） B 10/3 km C. l(h/5 km D? 1怖km 解析：选D 如图所示，由余弦定理可得，AC 2
6、= 100+400- 2X10X20Xcos 120 =700, .?.AC=l(h/7(km). 7. （2018-贵州质检）AABC中，内角A, B, C所对的边分别是a, b, c,若c2=（a 一掰+6, C=即 则皿眈 的面积是 () A. 3 科 D. 3筋 解析：选C 9：c2=(ab) 2+6t /. c2=a2-h 22ab+6 ? V C=.?./=/+方22肋cos =a 2+b2ab. 由得一血+6=0,即ab=6. 8 一艘海轮从A处出发，以每小时40 n mile的速度沿南偏东40。的方向直线航行，30 分钟后到达处，在C处有一座灯塔，海轮在A处观察灯塔，其方向是南
7、偏东70。，在 处观察灯塔，其方向是北偏东65。，那么B, C两点间的距离是（） Ttf 5兀 A (2)求sin(2A+J)的值. 解在厶ABC中，因为a”, 3 4 故由sin B=E，可得cos B=亍 由已知及余弦定理，得b2=a+c 2-2accos B=13 1 所以b=y13? 由正弦定理七 =七，得sinA=. sin A sin B 9 b 13 由及acos B=acos C +ccos A, 贝0 B= _ ? 解析：法一：由2/cos B=acos C+ccos A及正弦定理，得 2sin Bcos B=sin Acos C+sin Ccos A=sin(A+C)=si
8、n B0, 因此cos B=*? 又0VBVTT,所以 =号 法二：由2方cos B=acos C+ccos A及余弦定理，得 a2+c 2Z2 a 2+Z2 c2 . Z 2+c2a lac lab +c ， 2bc 整理得，a 1+c2b2=ac9 所以2accos B=ac0, cos =壬 又OVB 2)sin(A+ B), A ft 2sin(/l+sin(/- =a2sin0+ sin0- B), /. 2sin Acos B*Z 2=2cos Asin , CE :.cos z DEA =yjlshi 2ZDEA = 題型二 TO决利用正、余弦定理判断三角形形状 ? ? ED=C
9、OS%A=2妁 14 即/cos Asin B=Xsin Acos B? 法一：用“边化角”解题 由正弦定理得a=2RsnAf b=2Rsin Bf sin 2Acos Asin B=sin2Bsin Acos B, 又sin A*sin H0, /. sin Acos A=sin Bcos B, /. sin 24=sin IB. 在ABC 中，0V24V2TT,0V2BV2 TT, /. 2A = 2B或2A=n2Bf J.A=B或A + B=. ?AABC为等腰三角形或直角三角形. 法二：用“角化边”解题 由正弦定理、余弦定理得： Z 2+c2a2 2 ?2+c2_Z2 a2bc =b5
10、 2ac /. (b 2+c2a)=+c2b2), ?(a 2 一b2)(a + 沪一c?)=0, /. a2Z 2=0 或 a2+b2c2=0. 即a=h或a2+b2=c2? ?AABC为等腰三角形或直角三角形. 方法技巧 厠断手形形状的2种方法 (1)“边化角” 利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含内角的三角函数间的关系，通过三角函数恒等 变形，得出内角的关系，从而判断出三角形的形状，此时要注意应用A+B+C=n这 个结论 . (2)“角化边” 利用正弦、余弦定理把已知条件转化为只含边的关系，通过因式分解、配方等得出边的相 应关系，从而判断三角形的形状. 提醒在两种解法的等式变形中，一般
11、两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免 漏解. 即时演练 1?设ZkABC的内角A, B, C所对的边分别为a, b, c,若方cos C+ccos =asin A, 则ABC的形状为 () A.锐角三角形 C.钝角三角形 B.直角三角形 D.不确定 解析：选B 依据题设条件的特点，由正弦定理， 得sin Bcos C+cos Bsin C=sin 3 4A, 有sin(B+C)=sin 2A, 从而sin(B+C)=sin A=sin 2A, 解得sin A = l, ?A=号，?ABC是直角三角形 . 2?在厶ABC中，“2dsinA = (2+c)sinB+(2c+)sinC,且si
12、n +sin C=l”，试判 断的形 状. 解:由已知，根据正弦定理得2a2=(2b+c)b+(2c+b)cf 即a2=b2+c2+hct由余弦定理得，cosA=sin A=, 则sin 2A=sin2B+sin2C+ sin Bsin C. 又sin B+sin C= 1,所以sin Bsin C=春， 解得sin B=sin C=*?因为OvC寻故 B=C= ￥， 所以 ABC是等腰钝角三角形 . 3 4 故SABc =2csin B=pac. 又SMBC=2,则ac. 由余弦定理及a+c=6得 Z 2=a2+c22accos B=(a+c)22ac(A +cos B) 三角形面积问题 (
13、2017-全国卷II)AAC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,已知sin(A + C)=8sin 2y. (1)求cos B； (2)若a+c=6, AABC的面积为2,求. 解 由题设及A+B+C=n得sin B=8sin 2y, 即sin B=4(l cos B), 故17cos2B-32cosB+15=0, 解得cos =晋或cos B=l(舍去). 5 8 (2)由cos B=p,得sin B=p, 典例 =36-2% ABC中BC边上的高 . 设BC=a,由题意 TT 1 2 知AD=BC=a, =牙，易知BD=AD=a, DCa. 在RtAABD中，由勾股定理得， A
14、B= 帥+闌2爭. 同理，4. RtAACD 中，AC= yj 人=￥? 4 3 于是sin 2B=2sin Bcos B=, cos 2B= 12sin 2B=T, 故sin(2B4)=sin 2Bcos Acos 2sin A 11?在厶ABC中，角A, B, C的对边分别为a, b, c?已知asin B=迈方cos A? (1)求角A的大小； 若 a=命, b=2f求的面积 . 解: (1)因为asin B=yJbcos A, 由正弦定理得sin Asin =7 sin Bcos A. 又sin H0,从而tan A=y3? 由于00,所以c=3?故厶ABC的面积S=l/csin A=
15、? 故sin C=sin(A+B)=sin(B+=sin Bcos 申+cos Bsin 所以 ABC的面积S=absin C=. 12.在厶ABC中，内角A, B, C所对的边分别为a, b, c, sin B?(acos B+bcos CCOS Be 求B； (2)若 b=2 心 AABC的面积为2、R,求厶ABC的周长 . 解：(1)由正弦定理得， sin B(sin Acos B+sin Bcos A)=/3sin Ceos B, /. sin Bsin(A+B)=Q5sin Ceos B, ?*. sin Bsin C=V5sin Ceos B? V sin CHO, /. sin
16、B=y3cos B,即tan B=萌. VBe(0, n)9?=￥? (2) T Sgc=￥ csiii B=+(ic=2 芋, ac=8. 根据余弦定理得，b2=a 2+c2-2accosB f ：.12=a2+c 2S f即a2+c2=20f /. a+c=p(a+c)2=ya 2+2ac+c2=6, ?ABC的周长为6+23? 力自选题 1.在平面五边形ABCDE中，已知ZA = 120 , ZB=90 , ZC=120 , ZE=90 , AB =3, A =3, 当五边形ABCDE的面积呼弓时，则BC的取值范围为 _ . 解析：因为AB=3f AE=3f且ZA = 120 , 由余弦
17、定理可得B =/A2+A 2-2AB AE COS A=33,且ZABE= ZAEB=30 . 又ZB=90 , ZE=90 ,所以ZDEB=ZEBC=60? 又ZC=120 ,所以四边形BCDE是等腰梯形 . 兀_3価 3= 14 ? 法二：由正弦定理，得 %= 佥, s,n 3 从而sin B= y/21 又由ab9知AB9所以cos B= 易得三角形ABE的面积为芈， 在等腰梯形BCDE中，令BC=xf则CD=3 帀_工,且梯形的高为字 , 故梯形BCDE的面积为舟 ?（3乂5+h/ 兀）?卑 即15W（6萌一Qrv24, 解得芋 Wx=cos(ZACB+30 )=cosZACBcos
18、30。一sinZACBsin 30 课堂真题集中演练 把脉命题规律和趋势 1. （2014?全国卷如图，为测量山高MN,选择A和另一座 山的山顶C为测量观测点 . 从A 点测得M点的仰角ZM4N=60。, C点的仰角ZC4B=45。以及 ZM4C=75。；从C点测得ZMCA = 60,已知山高BC=100m,则山高 MN= _ m. l MA AC 解析：在厶ABC中，AC= 100/2,在ZiMAC中，由正弦定理得品而 =而亦 MA = W(hj3,在MN4 中，MN=M4?sin60 = 150?即山高MN 为150m? 答M： 150 2.(2014-四川离考 ) 如图，从气球A上测得正
19、前方的河流的两 岸 B, C的俯角分别为75。，30。，此时气球的高是60 m,贝lj河流 的宽度C等于() A.240(3-l)m B.180(2-l)m C? 120( 萌一l)m D. 30(3+l)m . tan 60 tan 45 厂 解析：选C V tan 15 =tan(60 -45 ) = 1+tan 60otan 45o=, ABC=60tan 6060tan 15 =120(/3 l)(m). 咼考达标检测 一、选择题 1.（2018?东北三校联考） 如图所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C 的距离都等于 ? km,灯塔A在观察站C的北偏东20。，灯塔在观察站C的南 偏东
20、40。，则灯塔A与灯塔B的距离为（） 由正弦定理，得 _ BC sin ZACB sin Z BAC =sin ZAC sin Z BAC 2V7 7 ? 南 A. a km B.y/la km C.2a km D./3a km 解析：选D 依题意知ZACB=180 o-20 -40o = 120 ,在厶ABC中，由余弦定理知 （一 ）=J5a（km）,即灯塔A与灯塔的距离为km. 2?如图所示为起重机装置示意图，支杆BC=10 m,吊杆AC= 15 m, 吊 索AB=5y19 m,起吊的货物与岸的距离4D为（） A?30 m B?至四m C?15萌m 解析：选B 在厶ABC中，AC=15m,
21、 AB=5y19 m, BC=10m, 152+102-(5V19) 2 _1 = 2X15X10 =_2e 又ZACB+ ZACD= 180 . :.sin ZACD=sin ZACB= 在RtAADC 中， AD=ACsinZACD 让川15逅、 15X 2 2（m）? 3. （2018-江西联考）某位居民站在离地20 m高的阳台上观测到对面小高层房顶的仰角为 60。，小高层底部的俯角为45。，那么这栋小高层的高度为（） B? 20（l+V3 ）m C? 10（V2+V6 ）m D? 20（2+V6 ）m 解析：选B 如图，设A为阳台的高度，CD为小高层的高度，Ai 水平线 . 由题意知A
22、B=20m, ZD4E=45。，ZCAE=60 ,故DE=20 CE=AE tan 60 =203 m.所以CD=20（l+J5）m? 4?如图，一条河的两岸平行，河的宽度J=0.6 km, 一艘客船从码头 A出发匀速驶往河对岸的码头?已知AB=lkm,水的流速为2 km/h,若 客船 AB= a 2+a2-2XaXaX D 45 m 由余弦定理得cosZACB= AC+BC-AB 1 2XACXBC :.sin ZACB= V3 B B A 从码头A驶到码头B所用的最短时间为6 min,则客船在静水中的速度为（） A ? 8 km/h B ?6yl km/h C? 2回km/h D? 10
23、km/h 解析：选B 设A与河岸线所成的角为伏客船在静水中的速度为r km/h,由题意知 , sin =|,从而cos 6=|,所以由余弦定理得 ) 2=(X2)2+12-2XX2X1 X|, 解得v=&2. 5.(2018-武昌调研 ) 如图，据气象部门预报，在距离某码头南偏东45。 方向 600 km处的热带风暴中心正以20 km/h的速度向正北方向移动，距风暴中 心450 km以内的地区都将受到影响，则该码头将受到热带风暴 码头 影响的时间为 () x 45 : 热带风暴中心 A. 14 h D. 17 h C? 16 h 解析：选B 记现在热带风暴中心的位置为点A, / 小时后热带风暴
24、中心到达B点位置 , 在厶 OAB 中，04 = 600, AB=20f, ZOAB=45 ,根据余弦定理得(?B 2 = 6002+400r- 2X 20/X 600X, 令 0/2045()2,即4t2-12(t+l 575W0,解得 忙“, 所以该码头将受到热带风暴影响的时间为血| 土兰一彳普一巧=巧 山). 6. 一个大型喷水池的中央有一个强大喷水柱，为了测量喷水柱喷出的水柱的高度，某人在 喷水柱正西方向的点A测得水柱顶端的仰角为45。，沿点A向北偏东30。前进100 m到 达点 B,在B点测得水柱顶端的仰角为30。，则水柱的高度是 () A. 50 m B. 100 m C- 120
25、 m D. 150 m 解析：选A 设水柱高度是hmt水柱底端为C,则在 ABC中，A=60 , AC=h, AB=100, BC=?,根据余弦定理得，(y3h) 2=/r2+1002-2-h-100-cos 60 ,即 h2+50h-5 000=0,即(/i-50)(/z +100)=0,即/i=50,故水柱的高度是50 m? 二、填空题 7.(2018-郑州调研 )如图，在山底测得山顶仰角ZCAB=45 t沿倾斜 角为30啲斜坡走1 ()00 m至S点，又测得山顶仰角ZDSB=75。，则山 咼BC为 _ m. 解析：由题图知ZBAS=45 -30 = 15 , ZABS=45。一15。=3
26、0。， ? ZASB= 135。,在厶ABS中，由正弦定理可得 ：, 專。=sijgs。 0002, :.BC AB =1 000- 答案：1000 8?如图，在水平地面上有两座直立的相距60 m的铁塔AAi和BBi? 已知从塔的底部看塔BBi顶部的仰角是从塔BBi的底部看塔AAi / 顶部的仰角的2倍，从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互“了 为余角 ?则从塔的底部看塔必1顶部的仰角的正切值为 _ ；A C B 塔BB1的高为 _ 解析：设从塔BB的底部看塔人4顶部的仰角为（Z,则AA1=60tana, Bi=60tan 2久 ?从两塔底部连线中点C分别看两塔顶部的仰角互为余角，? A
27、ACS C血， ?帀 1= /.AArBBi=900, .*.3 600tan atan 2a=900, /. tan a=（负值舍去），tan 2V3 m? 在RtAABD 中，ZBAD=45 f 4B=100m,则BD=100 m? 在中，ZDBC=75 +15 =90 , 则DC=yjBD 2+BC2=200 m, CD 所以客车的速度0=而=20 ni/s=72 km/h, 所以该客车没有超速 . (2)在RtABCD 中，ZBCD=30 , 又因为ZDBE= 15 ,所以ZCB =105 , 所以ZCE=45? FR RC 在中，由正弦定理可知吋=品苗， 所以肋 =疇夢=5皿m, 即
28、此时客车距楼房5(/6 m. 璧力自选题 1 ?如图所示，在平面四边形ABCD中，AD=lr CD=2f AC=ylt若 ZBAD=_ sinZCBA=字，贝t BC= _ ? 解析：由题意，在厶ADC中，AD=lr CD=2, AC=yft, 1+74 2、冋 ?由余弦定理可得coszCAD=9X1X=-, A sin ZCAD= :.sin Z C4B=sin( Z BAD- Z CAD) 由cos ZBAD= 迈 14 可得sin ZBAD= 3佰 14 An = sin Z BA Deos N CAD cos 乙 BADsin 乙 CAD= 答案：3 2.湖面上甲、乙、丙三艘船沿着同一
29、条直线航行，某一时刻，甲船在最前面的A点处, 乙船 在中间点处，丙船在最后面的C点处，且BC : AB=3 : 1.一架无人机在空中的P点 处对它们 进行数据测量，在同一时刻测得Z4M=30。，ZBPC=9(F? ( 船只与无人机的大小及其它因素忽 略不计 ) (1)求此时无人机到甲、丙两船的距离之比； (2)若此时甲、乙两船相距100 m,求无人机到丙船的距离 .( 精确到lm) _ AB _AB =sinZAPB=T 2 CP _ BC _BC sin N CBP=sin Z CPB= 7?厂q 又因为AB =lf sinZABP=sin 乙 CBP, 故此时无人机到甲 . 丙两船的距离之
30、比为2 : 3. (2)由BC : AB=3 : 1,得AC=400,且ZAPC= 120。? 由可设AP=2xt则CP=3x, 在厶APC中，由余弦定理得160 000=(2x)2+(3x)22X2工X3xXcos 120。, 解得兀 = 40(V 茂 19 即无人机到丙船的距离为CP=3x= 网 Q275(m). 在PC中，由正弦定理得 所以 AP_2AB_2 CP =BC=y 在ABC中，由正弦定理可得C= :(1)画出示意图如图所示，在厶ABP中，由正弦定理得 4P sin ZABP =3 6 2 故sin Bsin C= . (2)由题设及得cos Bcos Csin Bsin C= 即cos(+C)=? 所以B+ C=y,故A = 申? 1 2 由题设得渤csin 4=3$讪人，即bc=& 由余弓玄定理得h 2+c2-bc=9f 即（方+c）2-3方c=9, 得Z+c=V33? 故厶ABC的周长为3+V33? 5. （2017-全国卷IIDAABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c?已知sinA+Q5cosA