《2019版一轮复习理数通用版：第十五单元计数原理.doc.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019版一轮复习理数通用版：第十五单元计数原理.doc.pdf（34页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、第十五单元计数原理 两个计数原理 分类加法计数原理分步乘法计数原理 条件 完成一件事有两类方案 . 在第1类 方案 中有加种不同的方法， 在第2 类方案中 有种不同的方法 完成一件事需要两个步 骤?做第1步有加种不同的 方 法，做第2步有种不同 的方 法 结论 完成这件事共有N=m+n种不同 的方法 完成这件事共有N=mXn 种不同的方法 小题速通 1.某班有男生26人，女生24人，从中选一位同学为数学科代表，则不同选法的种数为 () A.50 B. 26 C. 24 D? 616 解析：选A 由分类加法计数原理知不同的选法种数为26+24=50? 2.从集合0,1,2,3,4,5,6中任取两
2、个互不相等的数a, b组成复数a+bi,其中虚数有 () A.30 个B. 42 个 C. 36 个D. 35 个 解析：选C *：为虚数，即有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以 组成6X6=36个虚数 . 3.已知集合P=xf j, z, 0=1,2,3,映射P-0中满足f(y)=2的映射的个数为 ( ) A. 2 B. 4 C?6 D?9 解析：选D 集合P=xf y 9 zf 0=1,2,3, 要求映射中满足Ay)=2, 则要构成一个映射 / ：PfQ,只要再给集合P中的另外两个元素X, Z在集合0中都找 到唯一确定的像即可 . 教材复习课“计数原理”相关基础知识一课过 知
3、识点一 两个计数原理 过双 基 x可以对应集合0中的三个元素中的任意一个，有3种对应方法， 同样z也可以对应集合0中的三个元素中的任意一个，也有3种对应方法， 由分布乘法计数原理，可得映射P-0中满足f(y)=2的映射的个数为3X3=9. 清易错 1?分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类 之间是独立的 . 2.分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而 未完 成这件事，步步之间是相关联的. 1?从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有 () A. 30 B. 20 C?10 D?
4、6 解析：选D 从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类：取出的两数都是 偶数，共有3种方法；取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有 N =3+3=6种. 2.用0,1,，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为() A. 243 B. 252 C? 261 解析：选B 0,1, 2,，9共能组成9X10X10=900个三位数，其中无重复数字的三 位数有9X9X8=648个，:. 有重复数字的三位数有900-648=252个. 排列与组合 过双基 1.排列与排列数 排列 从个不同元素中取出伽个元素，按照一定的顺序排成一列, 叫做从死个不同元素中
5、取出 m个元素的一个排列 . (2)排列数 从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数叫做从H个不同元素中取出加个元素 的排列数，记作A化 2.组合与组合数 组合 从n个不同元素中取出个元素合成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元 素的一个组合 . (2)组合数 D. 279 知识点二 从/1个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从畀个不同元素中取出加个元 素的组合数 , 记作C；? 3?排列数、组合数的公式及性质 公式 排列数公式 A : = n（n一1）（ 一 组合数公式 厂, ”A； 1 n(w-l) (/z-/w+l) Cw_ A；：- m! _ m! 2) m + 1)
6、= nl (nm)! 性质(l)A；=n!; (2)0! =1 (1)c=l； (2)C?=CP“_； C7+W+ 备注n,“zEN 且mWit 小题速通 1.在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序A只能出现在第一 步或最后一步，程序和C在实施时必须相邻，则在该实施中程序顺序的编排方法共有（ ） A. 34种B. 48种 C. 96 种D. 144 种 解析：选C 由题意知，程序4只能出现在第一步或最后一步，所以有A；=2种方法 . 因 为 程序B和C实施时必须相邻，所以把B和C看作一个元素，有A：A；=48种方法，根据 分步 乘法计数原理可知共有2X48=96种方法 .
7、2.某学校周二安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求数学不排在第一 节课，体育不排在第四节课，则这天课程表的不同排法种数为（） A. 720 B. 504 C. 384 D. 120 解析：选B 以数学课的排法进行分类：（1）数学排在第四节，则体育课可排在其余任意 一节，故不同的排法种数为Af=120. （2）数学排在除第一节、第四节外的其余四节，其排法为 4种；体育课则从除第四节、数学选择的节次外的其余四节任选一节，其排法为4种; 其余课程 由剩余4节课进行全排，不同的排法种数为A：=24?由分步乘法计数原理可得，不同的排法种 数共有4X4X24=384.综上，由分类加法计数原
8、理可得，不同的排法种数有120 +384=504. 3?将某师范大学4名大四学生分成2人一组，安排到A城市的甲、乙两所中学进行教学 实习，并推选甲校张老师、乙校李老师作为指导教师，则不同的实习安排方案共有种. 解析：采取“学校”选“人”的思路，则不同的实习安排方案有cic；=6种. 答案：6 4. _ 方程3A：=2A7+I+6A7的解为 ? 解析：由排列数公式可知 3x(兀一l)(x2)=2(x+ l)x+6x(x 1), ?兀M3 且xWN ”，/.3(X-1)(X-2)=2(X+1)+6(X-1), 2 即3x 2-17x+10=0,解得 x=5 或工=3(舍去) ，Ax=5 答案：5
9、1 I 7 5.已知c“，cf 0C“ 贝U 曙 = 解析：由已知得加的取值范围为M|0WMW5,加WZ, 由组合数公式可知 , 加！(5加) ！加! (62)! 7X(7,) ！加！ 5 _ 6! = 10X7! 整理可得，一23加+42=0,解得加=21（舍去）或m=2. 故Cs=Ci=28? 答案:28 清易错 易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有 关，组合问题与顺序无关. 用1,234,5,6组成数字不重复的六位数，满足1不在左、右两端，2,4,6三个偶数中有且只 有两个偶数相邻，则这样的六位数的个数为（） A. 423 C. 216 解析：选
10、B 若2,4相邻，把2,4捆绑在一起，与另外四个数排列（相当于5个元素排列） , 1不在左 . 右两侧，则六位数的个数为2XC；XA：=144,同理2,4与6相邻的有A；X2X2XA =48个，所以只有厶4相邻的有144-48=96个，全部符合条件的六位数有96X3=288个. 二项式定理 过双基 1?二项式定理 二项式定理 S+ZO“=Ch“+Ch“-%+?+C“ +? + C； 0SWN*) 二项式系数 二项展开式中各项系数C=o,b，W） B. 288 D. 144 知识点三 二项式通项耳+1=喙”初，它表示第k+1项 2.二项式系数的性质 小题速通 1?已知C?+2Ci+2 2C+23
11、C + ? ? ? + 2W C；=729,则U+C：+U+? + C；等于 （） A. 63 B. 64 C?31 D?32 解析：选A 逆用二项式定理得c!+2Ci+2 2cH23C+- + 2M C；=（l+2） n=3H =729, 即 3H=36,所以/i=6,所以C：+U+U+? + C；=26Cjj=64 1 = 63? 2.QX-2J） 5 的展开式中，X 2/的系数是（ ） A. -20 B. -5 D. 20 解析：选A 7 = c x）s（-2y） =（-2） r c-y-y. .x 2y3 的系数为一20. 3. （2017?山东离考）已知（1+3兀）“的展开式中含有
12、/ 项的系数是54,贝山= _ 解析:（l+3x）“的展开式的通项为77+i = C：（3x）? 令r=2,得八=9（：乂2. 由题意得9C：=54,解得n=4. 答案：4 4? （2018?山西四校联考）如果（2兀一1） 则最后两个点C, D有3种情况 . 所以共有3X（2X2+2X3 ）=30种不同的涂色方法 . 答案：30 三、解答题 13.已知（?2+l） n 展开式中的二项式系数之和等于 + 1）“的展开式的二项式系数最大的项等于54,求正数a的值. 10.若n 解析：由题意知，11= 20,8dx=lnx e 2018 =2 017,二项式（1-V2x） 2017 的展开式 一种，
13、使得相邻的顶点所涂的颜色不同，则共有种不同的涂色方法 . 的展开式的常数项，而（/ 令20-5r=0,得r=4, 故常数项75=CX _= 16, 又(? 2+l)M 展开式中的二项式系数之和为2“, 由题意得2“ = 16, n=4. ：.(a+l) 4 展开式中二项式系数最大的项是中间项门，从而 在4个城市当中，选择2个城市作为投资对象，有Ai=12种，这种情况共有3X12 =36 种. 有三个城市各获得一个投资的项目，获得投资项目的城市有C：=4种；安排项目与城 市对应，有A；=6种，这种情况共有4X6=24种. 综上，该外商不同的投资方案共有36+24=60种. 答案：60 11?若A
14、, B, C, D, E, F六个不同元素排成一列，要求A不排在两端，且B, C相 邻，则不同的排法有_ 种( 用数字作答 ). 解析：由于B, C相邻，把C看做一个整体，有2种排法 . 这样，6个元素变成了5个. 先排 A,由于A不排在两端，则A在中间的3个位子中，有A；=3种方法，其余的4 个元素任意排， 有A：种不同方法，故不同的排法有2X3XA：=144种. 答案：144 12.航天员拟在太空授课，准备进行标号为0,1,23,4,5的六项实验，向全世界人民普及太空 知识，其中0号实验不能放在第一项，最后一项的标号小于它前面相邻一项的标号， 则实验顺序的编排方法种数为_ ( 用数字作答
15、). 解析：优先安排第一项实验，再利用定序问题相除法求解. 由于0号实验不能放在第 一项，所以第一项实验有5种选择 . 最后两项实验的顺序确定，所以共有的编排 方法. 答案：300 三、解答题 13.将7个相同的小球放入4个不同的盒子中 . (1)不出现空盒时的放入方式共有多少种？ (2)可出现空盒时的放入方式共有多少种？ 解：将7个相同的小球排成一排，在中间形成的6个空当中插入无区别的3个“隔 板” 将球分成4份，每一种插入隔板的方式对应一种球的放入方式，则共有Ci=20种不同 的放入方 式. (2)每种放入方式对应于将7个相同的小球与3个相同的“隔板”进行一次排列，即从10 个位置中选3个
16、位置安排隔板，故共有Co=12O种放入方式 . 14.(2018-郑州检测 ) 有5名男生和3名女生，从中选出5人担任5门不同学科的课代表， 分别求符合下列条件的选法数： (1)有女生但人数必须少于男生； (2)某女生一定要担任语文课代表； (3)某男生必须包括在内，但不担任数学课代表； (4)某女生一定要担任语文课代表，某男生必须担任课代表，但不担任数学课代表. 解:先选后排 . 符合条件的课代表人员的选法有( 令5-2r=-l,得r=3,因此(2x- )5的展开式中 +的系数为C12 5_3X(-l)3=-40, 所以G+ (2*守 5 的展开式中的常数项为8040=40. 二、填空题 9
17、.若血仗一1)“ + 02(兀1) +。3(兀1)2 +血仗1) +。5=兀“，则血 +的+心二 _ 解析：x 4=(x-l) + l4=c$(x-l)4+cl(x-l)3+ci(x-l)2+ci(x-l)+ct 对照a(x 1) 4 + ?2( l)3 + 3 (-V 1)2 + ?4(X 1) + ?5 = X 4, 得Q2=C：, 3=C：, S = C：, 所以a2+d3+a4=C!+C；+C：= 14? 答案：14 展开 式的 通项 为 故含x 2 项的系数是( 一1V? C：? 26T = -192? 答案：-192 rx5_2r-(-l)r. C?30 10. 已知a= J 二o
18、(sin x+cos x)dx, +i = C?(2x) 的展开式中，含兀 $项的系数 解析：a= f 77+1 = 4(2 心)6(- 勸= ( 一1)C? 26 一“3 二 令3-r=2,得r=l. 的展开式的通项Tr 则二项 11.已 知(x+l) 2(x+ “ 的 展 开 式 中 没 有F项 ，WGN且5WW8,贝 山 = ? 解析：因为(x+l) 2(x+fl =(x 2 则当第1个括号取 / 时，第2个括 号不能有常数项， 而当刃=8时，展开式中含有常数项C：;当第1个括号取加时，第2个 括号不能含有兀项，而当 n=5时，展开式中含有兀项C|x;当第1个括号取1时，第2个 括号不能
19、含有X项，而当/1=6时， 展开式中含有兀 $项Q?由上可知n=7. 答案:7 12.若31)*+ 的展开式中含分的项的系数为30,则a的值为 _ , 展开式 中所有项的系数之和为_. 解析：因为的展开式的通项为7；+ = C衣一旳，所以(?x-l)(+x) 6 的展开式中含/ 的项为a?C 衣一+“, 45+2r=3,解得r=4,故a?C：=30,解得a=2.令x=l,得(2 -1)X(1 + 1)6=64. 答案：2 64 三、解答题 (1)判断展开式中是否存在常数项，若存在，求出常数项；若不存在，说明理由; (2)求展开式的所有有理项 . 解：(1)?二项式系数最大的只有第5项，即 U最
20、大, ?S=8 即3r=16, 又rWN,矛盾, ?不存在常数项. 因为0W/W 7 令6-2r=-l,得r=(舍去) ； 令6-2r=-2,得r=4,则T5=c2(-l) 4x2, .-.(1+ X+X 2)( X-Q6的展开式中的常数项为C：_C： =15_20=_5? 答案：-5 则二项式的通项Tr+i = C7(3x) 7_r *(X) r =(l) r *3 7_r C7x7令7尹=3,得r=6, 故展开式中占的系数是(-1) 6-37_6C?=21 ? 答案：21 2. _ 若伍+肖) 展开式中的常数项 为180,则。= _ ? 解析： + 少展开式的通项为77+】 = Go( 心严诈 ) =心“5务，令5-|r=0, 解析：选B因为(A+4?+4) 3=+2 X) 6,其展开式的通项为 Tr+l = C 6r -(2x) r = C$212L6,令2r-6=0,可得r=3,故展开式的常数项为C6*2 3=160.