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1、第7讲空间中角与距离的计算 1.如图X8- 7-1,正方体ABCD 人BGD、的棱长为1,若E,尸分别是C, 的中点，则 到平面的距离为（） 2. （2016年黑龙江哈尔滨六中统测）如图X8- 7-2,在直三棱柱ABCW中，若BCLAG 5C=+ ，化=4,肋1=4,财为加】的中点，P为的中点，0在线段01上，A Q=3QC. 则异而直线 / 叩与M所成角的正弦值为（） 13 13 13 13 4.若正三棱柱AB （2）当AB=3, AD=2时，求二面角E-AG-C的大小 . A. 3.如图X8- 7-3,在正方体ABC0ABGD冲, A2 R2 2 J6 3 2 3 3 BB.与平血昇少所成
2、角的正切值是（） D . D C 图X8-7- 1 图X8-7- 3 图X8- 7- 4 8. (2017年广东深圳一模 ) 如图X8-7-6,四边形力磁为菱形，四边形倔为平行四边形，设 血与M相交于点G, AB=BD=2, 4E= , ZEAD= ZEAB. (1)证明：平面ACFE丄平面血匕9； 若处与平Lfij* ABCD所成角为60, 求二面角B-EF-D的余弦值 . 9.(2016年新课标II)如图X8-7-7,菱形 個勿的对角线化与肋交于点0,初=5, AC L =6,点 Q尸分别在 / ，CD匕AE=CF=&济、交弘于点将化尸沿上尸折到 D防的位置，OD = 76. (1)证明：
3、D H丄平面ABCD ； (2)求二面角禺的正弦值 . 图X8-7-7 第7讲 空间中角与距离的计算 1. D 2. C解析：以C为原点，伪为 / 轴，以为y轴，QG为z轴，建立如图D156所示的 空间 直角坐标系， 图D156 则由题意，得4(0, 4, 0), Q(0,0,0), B(4 並 0,0), M0, 4, 2), A(0, 4,4), P(2 晶2, 1).则张扌滋 =扌(0,4, 4) = (0, 1, 1).?0(0, 1, 1),花=(0, -4, 0),丙=(一2 羽， 1,0）.设异面直线P0与MQ所成角为8，cos 3. B解析：阳与平面畀切所成角即DIX与平面外巾
4、所成角，即羽0,其正切值是舒 4. B解析：方法一（间接法），由正三棱柱的所有棱长都相等，依据题设条件，可知禺 丄平面昇仞，:.ByDLDC.沁BDC为直角三角形 . 不妨设棱长为1,则有血=尊D= ￥， DC喜. ? foe _2 2 2 _ 8 . 设力到平面的距离为力， 贝惰仏兀 =叫皿， 1 1 力乂S 片尢BDX Swg ? _ :寸h乂 $ 2 设直线力与平面所成的角为（）, nl 力4 则sin- 方法二（向量法），如图0157,収的屮点0为坐标原点，建立空间直角坐标系. 0 | cos (AC, P? | = sin sin 0 噜.故选C. 不妨设各棱长为2, 则有J(0,
5、-1,0), “(0,0,2), C(0,l,0), B丽,0, 2). 设n=(x, y,力为平面的法向量， 由题意易知G丄平面ABBxAy, :.AC-AH即为ACx G=羽，GA=yAC 1 2 +C=2 心 兀 JI ?“毎石，即也与侧面力如所成角为百. 7.解：（1）因为API BE, AB BE, 又AB,八Pu平面ABP, /IBCAP=A, 所以/? 丄平面加 沪 乂 / 匕平面ABP,所以BHA_ BP. 又ZEBC= 120 , 1 +0 + 8_ 2 X3 2 JI 又e 0, y，所以 JI n? CD=D, 则有| 一 4 ? CBi=0 J_y+2z=0, y+2z
6、=0 a n= （0, 2, 1） ? 设直线与平面/c所成的角为久 ?I sin心cos历，刀 =今=. AD 9 心，DN= 2 解析：过，分别向作垂线，垂足分别为凡则可求得BM=- 迈，加1.?加 茹/+ 赢+惑?| 场|2=|扇/+ 亦+筋|2=|曲2+亦+| 亦| + (0 + 0 + 0) =|. | = 乎. + 2（弘.BH-W-筋+丽?血 = 6-i 解析：方法一如图D咏以C为原点建立空间直角坐标系，则水2, 0, 0), G (0, 0, 则cos ACi ? AG 方法二，取M同的中点 /, 连接J/, 与平面ABBxAx所成的角 . 在RtAfi/l中, 设直线AG与平
7、面ABB所成的角为 所以ZG沪=30 . (2)方法一，取EC的屮点，连接日 /, GH, CH,如图D159. 因为ZEBC=2h , 所以四边形为 处比为菱形 . 所以AE= GE= AC= GC=y)3 2 + 22= 换. 取加屮点必连接E” ，CM, EC. 则EAMG, CMAG. 所以ZEMC为所求二面角的平面角 . 又AM= 1,所以EM=创=寸13_1 =2 苍4BEC、 ,由于ZEBC= , 由余弦定理 , 得F6 2=22+2Z-2X2X2X COS 120 =12, 所以EC=2羽. 因此甸亿 为等边三角形 . 故所求的角为60 . 方法二，以为坐标原点，分别以血BP,
8、刚所在的直线为x, y, z轴，建立如图D160 所示 的空间直角坐标系 . 由题意 , 得力(0,0, 3), (2,0,0), 0(1,羽，3), r(-l,羽，0),故花=(2,0, -3), 忌=(1, 0),岳- 0, 3). 设m=(x, yi, zj是平面屁 &的一个法向量 . 取zi = 2,得平面必 ?的一个法向量加3, 羽，2). 设门=(血乃，刀 ) 是平面/ICG的一个法向 量? 因此所求的角为60 ? 8.(1)证明：连接 , ?四边形 / 刃为菱形, AD=AB. BDLAC DG= GB. 在 4和场中， AD=AB, AE=AE, ZEAD=ZEAB, : ?
9、ED=EB ? :.BDVEG. ：ACQ EG= a BDL平面川7F ? B此平面ABCD,:. 平面ACFEV平面ABCD. m? /E=0, 可得 、m ? AG=0, 2山3zi=0, 山+_Ki = 0, n ? AG=Q, 由- 山? CG=Q, 可得严辰=0, ( 2 疋+3 刁2 = 0, 取z2=2,可得平面的一个法向量刀=(3, 所以cos皿n) m n 1 Im/ ? /n/ 2* (2)解：方法一，如图D161,过G作防的垂线，垂足为必连接MB, MG, MD. 易得“AC为初与 平面初仞所成的角 . ?Z刃0=60 . J EFl GM, EFL BD, :. EF
10、1_平面BDM, ADMB为二面角B-EF-D的平面角 . 可求得MG= DM= $%=屯 5 在屮由余弦定理，可得cos Z洌仞=看, ?二而角呂炉的余弦值为百. 方法二，如图D162,在平ABCD内，过 &作M的垂线，交EF于肘点、, 由( 1)可知，平Ifij ACFEL平面月磁 , ?胎丄平面ABCD. ?直线GM, GA.血两两互相垂直 . 分别必，GB, G肘対x, y, z轴建立空间直角坐标系G- xyz, 易得ZEAC为力应与平面 / 磁所成的角， ?Z胡0=60 . 则D(O,i,o), Mo, 1,0), 4平o 扌) ，彳_3 护,0,扌) 则西=(2 书，0,0),庞=
11、(平，一1，D，庞=徑，1, | . 设平面阳 7 的一个法向量为n= (x, y, z), 则n ? FE=Q, n ? BE=Q. 、月3 x= 0, 且专xy+严=0. 取z=2,可得平面应尸的一个法向量为力=(0,3,2). 同理可 求得平面的一个法向量为m= (0,3, -2). ?：cos 刀，ni) =. ?二而角B-EF-D的余弦值为花 . 9.(1)证明：由已知，得AC1BD, AD=CD. FL/ JE CF 口 又由AE=CF, =蚁ACEF. 因此/ 尸丄 , 从而EFLD H. 由AB=5,应=6,得D0= BO=AAd=4. 亠“OH AE 由EFAC,际疗公 所以
12、0H=, D r H=DH=3. 于是0H=, D f /+6/ = 3 2+12=10 = Z?Z 图 D161 (2)解：如图D163,以为坐标原点，厉的方向为X轴的正方向，建立空间直角坐标系H- xyz, 则“(0,0,0),力( 一3, -1,0), 3(0, -5, 0), C(3, -1,0), D (0, 0, 3).所以乔=(3, -4, 0),兀=(6,0,0), AD 1 =(3, 1,3).设刃=5, 门，方 ) 是平面ABD的法向量，则 所以可以取刃=(4,3, -5). 设n= lx?,妙勿) 是平面/1加的法向量 , 则 n ? AC=Q, 即 6曲=0, 、n ? AD 1 =0, 所以可以取刀 =(0, .3疋+乃+3刀=0 ? 3, 1) ? 于是cos 刃，ri)= -14 也I ? 11 _V5bx/To _ 因此二面角B-D f A-C的正弦值是空运 sin 5, d 芈 zb 25 ?乔=0, 阳-T， 3i+yi + 3zi = 0. 故HVOH.