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1、 2.6对数与对数函数 基础知识 ?自主学习 I 要点梳理 1.对数的概念 如果a x =N(a0且aHl),那么数x叫做以a为底N的对数，记作x=loM ，其中q 叫做对数的底 数，N叫做真数 . 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则 如果a0且aHl, M0, N0,那么 M log(MN) = log/+ lo%N；log无=log理M_ log“ ； - M log0 且aH 1) ? (3)对数的重要公式 换底公式：I。渤2=曙, 均大于零且不等于1)； 呃 b=詁肓推广lo 当 x0 时.0?D. 2lg- A：F) =2 ,8X -2l8? 答案D 解析2,gx-2,8
2、y = 2 ,8X+lgy =2,gW-故选D. 4._ 函数/(x)=log5(2x+l)的单调增区间是 . 答案(_* ，+8) 解析函数./( X)的定义域为 (-* ，+8), 令 (/0). 因为尹 =10疾/ 在圧(0, + 8) 上为增函数，t = 2x+ 1在(- *, + ) 上为增函数，所以函数尹 = log5( 2兀+ 1)的单调增区间是( -* ，+ 00) 5.已知心 ) 是定义在R上的偶函数，一凡在0, + )上为增函数 ,/*) = 0,则不等式f( log, xx)0 8 的解集为 _ 答案(0, ju( 2, 4-00) 解析?：心) 是R上的偶函数， ?它的
3、图象关于y轴对称 . ?./(x)在0, +8)上为增函数， ?. 心) 在(-8, 0上为减函数，由 )=0,得X4) =o- : 小 log 1 兀)0 Fog 1 X 亍 8 8 8 今x2 或 ?兀丘(0, |jU(2, +8). 题型分类 ?深度剖析 题型一对数式的运算【例】若X=log43,则( r-2-y等于 A-l B.| C 罟 log2x, x0, 3_x+l, xWO, 思维启迪利用对数的定义将X = log43化成4V = 3; (2)利用分段函数的意义先求./(I),再求_A/(1); /(10g3)可利用对数恒等式进行计算. 答案(1)D (2)A (2)已知函数/
4、(x)= A. 5 B? 3 C. -1 解析 由x = log43,得4 = 3,即2丫 = 羽, 2” 芈所以( 2” -2-”)2 =普)2=扌. (2)因为XI) = 10g21=0,所以./(/(I) =/(0) = 2. 因为log3|4, 所以/(3 + log23) = (|)3 + log23 = |x (|)log23 1 1 1 =X= 8 3 24- 题烈二对数函数的图彖和性质 【例2】( 1)函数p=21og4( lx)的图象人致是() 己知 . 心) 是定义在 ( 一8, +呵上的偶函数，且在 ( 一8, 0上是增函数，设0=/(10创7), b=/(log I 3
5、), c=/(0.2“ 0-6),则 a, b, c的大小关系是 A? c0 K al) 的图象过两点 (T, 0)和(0,1),贝U , b= _ . 答案(1)A (2)2 2 c = 21og52 = log522y32 = 2log49, (1)当XWO,2时?，函数./( X)恒冇意义，求实数G的取值范围； (2)是否存在这样的实数Q,使得函数人对在区间1,2上为减函数，并且最人值为1?如果 存在，试求的值；如果不存在，请说明理由. 思维启迪./(X)恒有意义转化为“恒成立”问题，分离参数。来解决；探究。是否存在，可从 单调性入手 . 解( 1)?乙0且1,设心)=3 - ax, 则
6、/(%) = 3- ax 为减函数, xe0,2时，心 ) 最小值为 3-2Q, 当xe0z2时, 沧) 恒有意义 , 即xe0,2时，3-ax0恒成立 . 3 ?：3 一2a0a0, 函数 心) 为减函数 , ?金) 在区间1,2上为减函数 , ? “=1。即为增函数， ?G1, ?1,2时, 心) 最小值为3-2a, / 最大值为Xl) = loga(3-a), 故不存在这样的实数。，使得函数/(x)在区间1,2上为减函数，并且最大值为1. 思维升华解决对数函数综合问题时，无论是讨论函数的性质，还是利用函数的性质 (1)要分清函数的底数是兀 (0,1),还是。丘 (1, +8) ； (2)
7、确定函数的定义域，无论研究函数的什么性质或利用函数的某个性质，都要在其定义域 上进行； 如果需将函数解析式变形，一定要保证其等价性，否则结论错误. 跟踪训练3已知/( x) = |0g4(4A-l). (1)求/(x)的定义域； (2)讨论. 心) 的单调性 ; (3)求沧) 在区间百，2上的值域 . 解由4“-10,解得x0, 因此. 几丫) 的定义域为(0, + ). (2)设0 - l)=0.3 -5, c=log030.2,则a, b, c 的大小关系是 () A. abcB. abcB? bac (3)已知函数y=f(x)的图象关于y轴对称，且当xe( -oo, ) 时，心)+ “f
8、 (x)cicB. cab C. chaD. acb 思维启迪利用幕函数y = x 0-5 和对数函数y = logojx的单调性，结合中间值比较a, b, c 的大 小； (2)化成同底的指数式 , 只需比较10中3.4、10自3.6、- log30.3 = log3y的大小即可 , 可以利用 中间值或数形结合进行比较; (3)先判断函数卩 ( 兀)=如的单调性，再根据202, logn3, logs9的大小关系求解 . 解析 根据無函 数厂严 的单调性，可得0.3- 5logo,30.3 = 1,即少1. 所以blog3ylog43.6. 方法二log3-ylog33 = 1,且￥ l,
9、C. acbD. cah 10 .e. Iog43.6log3ylog43.6. 由于y=5=为增函 ft , A55b03T 5*?即5 bfl2 (+)z5IoB4,故ac 当x0 时，log2%l =x2, .x2. 综上所述，X的取值范围为 - 1VW0或x2. 4. 综上可得，yW. 设函数 fd ?迈V2V1. h 怦工心 0弓 logl ( ”f( a),则实数a的取值范 A.(-l,0)U(0,l) C. (-1,O)U(1, 4-oo)D.( 叫-1)U(O,1) 答案C 解析 a)f ( u)= ci0, logs alog| a0 fI alogj( a) (al “ I
10、 Ka?) =al 或 _ l0,且aHl, .? “ = ax-3为增函数，若函 数./( X)为增函数，则.Ax) = logf/w必为增函数 , 因此a 1 . 又y-ax-3在1,3上恒为正， ?a-30,即a3,故选D. 二、填空题 6. 计算(lgy-lg 25) -100-7- _ . 答案一 20 解析 ig *lg 25)ioo4=(lg 吕)* 4 1UU =2X 10= 20. 3+, xWO, 7.已知函数/x)= fc 则使函数7(x)的图彖 位于直线歹 = log?* 9 X0 9 1上方的X的取值范围是 T)U(1, ? I 9 8.若10缶叮花yo,则G的取值范
11、围是答案伶1) 解析当时, a 2 - a0, a1,此时不合题意 . 综上所述，1). 三、解答题 9.已知函数fx) = logX-v +1) log,( 1 x), a0且GHI. 求/(x)的定义域 ; (2)判断沧 ) 的奇偶性并予以证明； (3)当时，求使夬兀 )0的兀的解集 . 解( 1)要使函数./U)有意义 . x + 10, 则 解得 -10, 故所求函数./(x)的定义域为x| - 11时,. 心) 在定义域x|- 100口1,解得00的x的解集是x|00,且 QHI)的最大值是1,最小值是一, 求。的值 . 解 由题意知./( X) = |(logrA + 1 )(lo
12、g.A + 2) 1 3 当. 心）取最小值时，log/= - 2- 又Vxe2,8, A r/e （0,1）. :%）是关于lo财的二次函数， /. 函数/ （兀）的最大值必在x = 2或x = 8时取得 . 3 1 若应0缶2 +訝- = 1,则a = 2-y 0,二1 + G 1 ? e 1 + a0, /? 1 + a 2 + a, Il匕时_f（H）取得敢小值时,X=（2 i） T =例 2,8,舍去 . 若Rio邸+|） 5 6-|= 1,则 Q = 1 3 此时. 心）取得最小值时，x =（2） 2 = 2V2e2,8,符合题意， ? 1 ?巧 B组专项能力提升 1.设/（x）
13、= lg（jl：+J是奇函数，贝I使金）0的x的収值范围是（） A.（-1,0）B. （0,1） C.（一 I 0）D. （一8, 0）U（l, 4-oo） 答案A 解析 由几丫）是奇函数可得-1, + Y ?. 心）=| 盯二定义域为（-1,1）. 1 儿 5 + X 由心）0,可得0 1, ? 一10. 1 一x 2.设函数./（x）定义在实数集上fi2x ）=fix ）f且当兀31时，. 心）=lnx,贝卩有（） A.冶） / （2）冶） B.冶皿）站 C.,/（|）A|）A2） D.,/（2）/（|）A|） 答案C 6 x + x 解析 由,A2-x） =Ax）知./（x）的图象关于直
14、线x = _ 2 ? =1对称，又当时， . 心）= lnx,所以 离对称轴兀 =1距离大的x的函数值大， ?2 - 11卜11电一11, ?尿）諾）勺. 3.设函数./U) = log,K ( 。0,且占1),若./( 炯2?兀2 015) = 8,则./Uf)+./() + ? +./( oi5) = 答案16 解析 金1兀2X2015) = 1O&( 兀1兀2兀2 015)= & =loga(XX2 ?X2 015)= 21oga(XiX2%2 015)= 16. 4.设Xx) = |lgx|, a, b 为实数，H. 01. (3)在的条件下，求证：由关系式代 b)=2j 雷牛 仇丘(
15、3,4),使g( 加)=0. 解由/(x)=l 得，lgx = l, 所以x= 10或吉. (2)证明 结合函数图象 , 由张)=妙可判断用 (0,1), g(l, +8) , 从而-lg a = lg b、从而ab = 1. 和 2通 又丁 = 丁二 K因訐 (3)证明由已知可得匕珂导几 得4b = / + 圧 + 2ab,得+ + 沪 + 2 - 4b = 0, 1 7 g(b) = z+b +2-44 因为g(3)0,根据零点存在性定理可知，函数g(b)在(3,4)内一定存在零点，即存在加 丘(3,4),使g(Z)0) = 0. 5.已知函数尹=log (x 2ax+a) 在区间 (一
16、8, 返) 上是增函数，求G的取值范围 . 2 解 函数y = log ( X 2 - ax + G) 是由函数y = log /和/ = / - ar + a复合而成 . 2 2 因为函数尹 =log，在区间(0, + 8) 上单调递减， 2 而函数t = x 2 - ax + a 在区间 (- , 号) 上单调递减， 故函数y = log (x 2 - ax + a) 在区间 (- 自上单调递增 . 2 又因为函数y=log (x 2 - ax + a) 在区间 (-8, 迈) 上是增函数， 2 g l 即2边WaW2（迈 + 1）. 12- 迈a + QO, 夯实茶础突破疑难 2 1 o
17、g og 22 2.2 ) 所得到的关于b的方程g(b)=0,存在 解得 1. 判断下面结论是否正确 ( 请在括号中打“ J ”或“ X ” ) 若 log2(log3X ) = log3(log) = 0,则 x+y=5. ( V ) (2)21og510+log50.25 = 5. ( X ) (3)已知函数7(x)=lgx,若X)=l,则Aa * 1 2 3 )+Ab 2)=2. ( V ) (4)log2x2 = 21og2x. ( X ) (5)当xl 时，10&沈0. ( X ) (6)当xl 时，若lo帥log/A ，则dbaB ? bca C. acbD. abc 答案D 解析a = log36 = 1 + log32 = 1 + Z7 = log510= 1 + log52 = 1 c = log714 = 1 + log72 = 1 + 。爲 , 显然ahc. 3. (2013?浙江 )已知x,尹为正实数，贝I( ) A. 2 ,g,g=2lgx +2,gv