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1、2? 8二次函数与一元二次方程（第一课时）教学设计 南海执信中学蒋勇军 【教学目标】 1、知识与技能： （1）体会两数与方程之间的联系，初步体会利用函数图象研究方程问题的方法； （2）理解二次函数图象与x轴（横轴）交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系, 理解方程有 两个不等的实根、两个相等的实根和没有实根的函数图象特征； （3）理解一元二次方程的根就是二次函数与y二h （h是实数）图象交点的横处标。 2、过程与方法： （1）由一次函数与一元一次方程根的联系类比探求二次函数与一元二次方程之间的联系; （2）经历类比、观察、发现、归纳的探索过程，体会函数与方程相互转化的数学思想和数形结合的
2、数学 思想。 3、情感、态度与价值观： 培养学生类比与猜想、不完全归纳、认识到事物Z间的联系与转化、体验探究的乐趣和 学会川辨证的观点看问题的思维品质。 【重点与难点】 重点：经历“类比 -观察发现 - 归纳”而得出二次函数与一元二次方程的关系的探索过程。 难点：准确理解二次函数与一元二次方程的关系。 【教法与学法】 教法：命题课，采用“发现式学习”的方式，注重 最近发展区”，寻根问源，以旧知识为基础创设问题情 境，引导学主经历“类比一猗想一观察一发现一归纳一应用”的探究过程。学法：探究式学习。 【课前准备】 多媒体、PPT课件。 【教学过程】 情景或问题设计设计意图学生活动 课前的话： 教师
3、投影：数学家华罗庚说：数缺形时少直观，形少 数时难入微，数形结合百般好，隔离分家事万休。” 引用名家名 言, ，引起学生对 “数”和“形” Z 间 关系的兴趣。 感受伟大数学家对 于数学的理解 环节一：复习旧知，明确结论这一环节让学生活动一：独立预习，主动 准备预习提纲，让学生提前预习，教师引导总通过对旧知识的思考 结并板书：回顾及对新知识 （1）解一元一次方程 通过观察函数图象，可以发现并归纳一次函数的思考，梳理旧知x+1二0；（2）画一次函 数 与一元一次方程之间存在联系：识, 起到承上启下y= x+1的图象，并指出 从“数”的方血看，当一次函数y= x+1的函数值之效，同时通过老函数y二
4、x+1的图象与x y=0时，相应的自变量的值即为方程x+1=0的解； 师的引导，培养学轴有几个交点。（3） 从“形”的方面看，函数y= x+1与x轴交点的横生的形成解决一元一次方程x+1二0与一 坐标即为方程x+1二0的解。类问题的通用方次函数y= x+1有什么联 实际上，这也反映了一般函数3法的思维品质。系？ 学生按教师发下 与方程的关系：一次函数尸ax+ 2 / 的提纲提前进行预习， 的图象与X轴交点的横坐标即课内交流H己的预习成 y=0的值就是方程ax+b=0的根c C / -1 果，并以小组代表进行 汇报。 环节二 类比猜想，启迪新知引起学牛的认知活动二 : 合作学习，探求 （4）你觉
5、得一元二次方程x2+2x=0的根与二冲突，激发学生的方法 次函数y=x;:+2x之间有联系吗 ? 寻求它们之间的求知欲望 , 大胆猜学生思考，交流，初步 联系可以采用哪些方法来研究呢？想, 通过交流寻求探求解决问题的方法。 师生：求根、作图、观察与发现、归纳结论、验解决类似问题的 证结论。方法。 环节三：问题探究，深入思考：注重“最近发展活动三：小组合作，探求 教师投影出二次函数y=x+2x, y=x?2x+l,区”，寻根问源，新知 y=x?2x+2的图象。 4 / / 学生对二次函数学生独立思考，完 与元二次方程成第（1）、（2）题，填 提出问题： y 12 * 的联系从特殊到写表格，初步感
6、知特殊 （1）每个图象与X轴有儿个交点？ ?般性结论的讨函数与方程之间的联 (2) x 2+2x=0, x2-2x+l= 0 有几个根 ? 解方程 论。逐步提高学生 系，然后小组讨论交流 检验一下。一元二次方程x2-2x+2=0有根吗？从旧知识中“类比成果，过渡到第（3）问。 二次函数函数图象与X轴 交点横坐标 方程的 根 -?元二次方程猜想”、“观察发 现”、“归纳概括” 最后得出“结论” 的 从感性到理性的抽象 思维能力。 然后对第（3）小问进行一 般性结论的讨论与交流。 y=x 2+2x -2, 0-2, 0 X2+2X=0 y=x 2-2x+l 11 X2-2X+1=0 y=x 2-2
7、x+2 无交点无实根 X2-2X+2=0 问题：函数图象与X轴相交时，函数值y二？ （3）二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交 点的 坐标与一元二次方程ax +bx+c=0的根有什么关系呢？ 教师引导学生回答，学生对于第（1）、（2）问的 回答问题不人，基木通过思考和讨论可以解决，第（3） 问需要较好的引导，从数与形结合的角度进行。 环节四：观察发现，归纳结论 教师引导学生发现并完成表格： （1）观察填表： 通过教师引导 学生完成表格, 使学 生 对命题 的内涵 理 解，“学生对数学命 题中各 部分符号的含 义 能深刻理解，发现 并知道各部分间的内 在联系。”填空使学 生从“形” 与“数
8、” 的角度体 会数形结合 思想 , 以及方程与函 数 互相转化的思想， 从而归纳出具一般性 的结论。 活动四：比一比，看谁理解 得深刻： 学生对结论的归纳与 提炼。完成一元二次方程 ax2+bx+c=O的根的 个数与 二次函数y=ax2+bx+c图象 与x轴 交点的个数的表格， 思 考并完成填空，学生以比 赛形式汇报，师生共 同总结。 二次函数 y=ax2+bx+c 的图象 与x轴交点的个数 一元二次方程 ax2+bx+c=O 的根的 个数 22 11 00 教师提问：二次函数ypx+bx+c的图象与x轴交 点 的个数有二种情况， 有函个交点、 有二个交点、 没直 交点。 （2）从“形”的方血
9、看， 二次函数y二ax+bx+c 与 生轴交点的模坐标即为二次方程ax2+bx+c=0的 （3）从“数”的方面看，当二次函数y=ax2+bx+c 的函数值y=0时, 相应的自变量的值即为二次方程 ax2+bx+c=O的根； 通过对问题（3）的引导回答，教师和学生一 起总结 : 二次函数y二汰+bx+c的图象与x轴的交点有 三种情 况：有两个交点、有一个交点、没有交点。当二次函数 y=ax ?+bx+c 的图象与x轴有交点时， 交点的模坐标就是当 y二0时自变的值，即一元二次方程ax1 2 3 4 5+bx+c=0的 根。 环节五：练习巩固，加深理解p 幻灯投影：例1: ; 丿 （1）已知二次函
10、数/ y=x 2-x-6 的图彖如图所示：寸 / 图象与x轴有2个交点，交点的横坐XV 是 _ ，则方程x2-x-6=0有_个根，方程的根是 （2）方程x2-5x+6=0有_ 个根，它们是 _ 、 _ ，所以，函数y= x-5x+6的图彖与x轴 有 个交点，其交点坐标为 _ 、 环节六：实际应用，拓展强化 教师投影改编书本P70页“情景问题”，结合P72 页“想一想”及随堂练习题1第（3）小问： 例2：从地面开始竖直上抛物体距离地而的高度h （m） 与运动时间t（s）的关系可以由公式h二5f+vot表示， 其屮v（）（m/s ）是抛出时的初速度。?个小球从地 面被以40m/s的速度竖直上抛起，
11、那么： 2h与t的关系式是什么？ 3何时小球离开地面的高度是h=60m?, 你是如何 知道的？ 4小球经过多少秒后落地？ 课题: 通过 “ 命题 学 习”的例题教学 , 进 一步了解命题的内 在联系及其演绎规 律，体会逆 构命题对 思维品 质的挑战。 活动五：小试牛刀， 初露 锋 芒 学生独立完成2个 小 题，小组交流所做结 果，巩 固对命题的理解。 活动六：挑战自我，提升认 识： 学生思考，独立完成 第1小问，师生共同完成 第2小问，通过思考，发 表自己的认识， 展示思维过 程。 进一步理解函 数与方程互相转化 的思想。 理解一元二次 方程的根就是二次 函数与y=h（h 是实 数）的交点的横
12、坐 标。 进一步提升学 生对于实际问题中 的二次函数与一元 二次方程的关系的 理解应 用，用于解决 实际 教师需要及时肯定与表扬学生对于问题2、3、4的思 考与衣达，引导得出正确的理解（见右图）变式迁移：书 本P73数学理解第2题： 二次函数y= -x2+5x+4的图象与一次函数y= 2x-l的 图象相交吗？如果相交，求出它们的交点坐标。 教师引导鼓励学生完成笫2题，充分交流想法与解答 过程。（图见右侧） 思想. 三种题型：函数图象与x轴交点的横处标、方程根的 个数、函数图象的交点处标。 环节八：布置作业，巩固提升 第1题必做，第2题选做 1、 求下列二次函数图象与x轴的交点坐标，并作草 图验
13、证 （1） y=x2+6x-9；（2） y=9-4x 2。 2、（2009肇庆市第24题）已知一元二次方程 x2+px+q+l 二0 轨。 的一根为2. （1）求q关于P的关系式； （2）求证： 抛物线y二x+px+q与x轴有两个交点； 附：板书设计 : 问题。求二次函数 与 一?次函数图象交 点问题的理解 , 其本 质就是求方程根的 问题。 系: 环节七：课堂小结，提高认识 一个关系：二次西数图象与-?元二次方程根的关 用 精 炼 的 语 言，使得学生记忆 简 便，而且印彖加 深 , 同 时 让 学 生在总结小反思 , 完 成升华。 活动六：颗粒归仓，享受成 功 学生思考，共同小结。 分层教学，让 学生既能体会到学 数学的成功感 , 乂能 恰当的提高学生的 兴趣，适当 的与中考 题型接 活动七：量力而行，独立 探究 第1题必做，第2题有能 力的同学选做。 两种思想：函数与方程互相转化的思想；数形结合 （4）方程?5件40匸60与方程?5沖40匸0的实 际 意义是什么？你能在图上表示出來吗？ 二次函数与一元二次方程的关系: (1)交点个数与根的个数：? (2)数： (3)形： 结论： 例题的步骤的书写 例1： 例2： (1) (2) (3) 一次函数打次方程回顾