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1、【知识梳理】 1?函数的单调性与导数 在区间，b)内，函数的单调性与其导数的正负有如 卜关系： 如果 _ , 那么函数y=fx)在这个区间 内单调递增 . (2)如果 _ , 那么函数在这个区间 内单调递减 . 如果 _ , 那么. 心) 在这个区间内为常 数. 2.函数的极值与导数 (1)函数的极小值 函数y=A x) 在点 x=a 的函数值久。 ) 比它在X=a附 近其 他皆的函数值都小， . 广( 。)=0；而且在点x=G 附近 的左侧 _ , 右侧 _ , 则 点0叫做函数y=fx)的极小值点 ,./(a)叫做函数y =/(x)的极小值 . 函数的极人值 函数y=f(x)在点x=b的函
2、数值/(b)比它在点x=b 附近 的具他点的两数值都人，f )=0；而且在点x=b附近 的左侧 _ , 右侧 _ , 则点b叫做函数y=/(x)的极大值点，夬方 ) 叫做函数 尹=/(x)的极大值 . 极小值点，极大值点统称为极值 点， 极人值和极小值统称为极值. (3)求函数极值的步骤 第一步，求导数 / (x)； 第二步，求方程_ 的根； 第三步，检查 ?广( x)在方程根左右的值的符号，如 果 _ , 那么/U)在这个根处取极大值； 如果 _ , 那么几。在这个根处取极小值. 3函数的最值与导数 (1) .函数用 ) 在0,切上有最值的条件： 一般地，如果在区间a,切上，函数y=f X)
3、的图象是 一条?_ 不断的曲线，那么它必有最大值和 最小值 . (2) .求函数y=/(x)在Q,切上的最大值与最小值的步 骤为： 1、 _ 求函数 y=fx)在(G, b)內的? _ . 2、 _ 将函数 y=f(x)的各极值与 ?_ 的函数值 张), ) 比较，其中最大的一个是最大值, 最小的 一个 是最小值 . 答案： ?/( X) 0 f (x)0 ?/ 0 ?/ (x) 0 时( ? A. f B. ? f C. f D. f 答案： 提不: 0 g ?o g f (x)V0 (x)0, 时，f W0, (x)0，贝Ix0, VO, W0 吋，f (x)0, g (x)0,即x0 吋
4、，/( 兀) 是 增函数，g(x) 是增函数，所以x0, g (x) x +a2x #+日$ a x x + a B . C. 提示：F 3若函数A%) =- ( 0)在1, +8)上的最人值为半， 则白的值为 () 答案：D 当/ 込时，f ( 力0, f(x)单调递增，当x=ya时，令 f(x) =￥ ，込=平0)的单调性可知函 A 数g(x) = 9x+在1,2上为增函数，故aW5. 5. (13新课标II)等差数列血 的前n项和为Sn, 已知 SI0=0, S15 = 25,则nSn的最小值为 _ ? 答案：一49 _ 10 2 提示：rh 已知，a+a =0, a+a】5= 3 d
5、n3 - 10n2 a) = 3,? *.nSn= - - , 易得n=6 或n=7 时， nSnill现最小值 . 当n=6 吋，nSn=48； n=7 吋, nSn= 一49. 故nSn的最小值为一49. 【课标示例题】 例1运用导数解决函数的单调性问题 (13 课标I 文) 已知函数,/(x) = e v(ax + A)-x2- 4x, 曲线 y=fx)在点(0, ./(0)处的切线方程为y=4x +4. 求G, b的值； 讨论7U)的单调性，并求./W的极大值 . 解析：(x) = e(ax + b) + ae - 2x - 4 = ex(or + a + A) - 2x - 4 ?y
6、 =/(x)在(0, /(0)处的切线方程为y = 4x + 4, :,f (0) = Q +/? - 4 = 4, /(0) = = 4, .*.6? = 4, b = 4. 由知 / (x) = 4ex(x + 2)-2(x + 2) = 2(x + 2)(2e v- 1) 令/ =0 得 %! = - 2, x2 = In 列表： T (-OO. -2) -2 (2UnD (in *? + 8) f f( T)+ 0 0 + 心)扱大值极小值 ? J = ./(x)的单调增区间为 (- 8 , - 2), + 8) ；单调减区间为 (-2, In ). /扱炖=/( -2) = 4-4e
7、2. 【举一反三】1 (13 重庆) 设f(x)=a(x-5) 2 + 61nx，其中 aWR, 曲线y=f(x)在点(1, f(l)处的切线与y轴相交于 点(0, 6). (1)确定a的值 ;(2)求函数f(x)的单调 区间 与极值 . 提示：(1)因f(x)=a(x 5)2+61n x, 故f(x) = 2a(x 5)+$.令x=l,得f(l)=16a, f(l) =6 8a, 所以曲线y=f(x)在点(1, f(l)处的切线方程为 y 16a=(68a)(x 1), 由点(0, 6)在切线上可得6-16a=8a-6,故a=|. (2)由知，f(x)=|(x-5) 2 + 61n x(x0
8、), F (x) = .6 ( x - 2 ) ( x - 3 ) x 卄厂x 令f(x) = 0,解得X=2, X2=3.当03 时,f(x)0,故f(x)在(0, 2), (3, +8) 上为增函数；当 2X,如图所示 , 可知方程 f(X ) = Xl冇两个实根，f(X ) = X2冇一个实根，故方程 3(f(x) 2 + 2af(x)+b=0 共有3个不同实根： 当X1是极小值点时 ,f(X) = Xi ，X2为极大值点 , 且 X20, ?“(x)在x = 1处取到极小值 . 故选C. 例3利用导数解决函数的最值问题 (13 浙江) 已知aeR,函数f(x)=2x 3-3(a+l)x
9、2 + 6ax. 若a=l,求曲线y=f(x)在点(2, f(2)处的切线方程； (2)若|a|l,求f(x)在闭区间0, 2|a|上的最小值 . 解 析: 当a=l 时,f(x)=6x 212x+6,所以 f(2) =6. 乂因为f(2)=4,所以切线方程为y=6x 00 时，f (x)20, 则7U)在(0, +s)上是增函数，所以函数 /( 兀) 无极 大 值，也无极小值 . 二. 填空题 ( 本大题共4小题，每小题5分，共20 分) 11.函数,/(x) = x(c x-l)-p2,的单调增区间为 不是单调函数，贝U有OWk lv丄vk + l ,解得2 33 即/ 的取值范围是1,|
10、). 13 (13绵阳模拟 )下图是函数f(x)的导函数的 图像，给出下面四个判断. 答案：( -r -1)和(0, +8) . 提示：因为y( x) =x(e- 1)xS 所以/ (x) = e v - 1 + xc A _ x = (c _ 1 )-(x + 1). 令f (x)0,即(cY - l)(x + l)0,得x0. 所以函数沧) 的单调增区间为(-8, - 1)和(0, + )- 12 .( 山东省烟台市莱州一中13届月考 )若函数/(x) = x 2-lnx + 1 在其定义域内的一个子区间 2 伙-1, + 1)内不是单调函数，贝IJ实数k的取值范 围 _ . 2x 2x
11、2x 由/G)o得X丄，由厂 ( 兀)0, ?./(x)在R上单调递增 . (2)当X0 时，/ (x) = 3?-2Ax+ 1,其开口 向上, 对称 轴x = |,且过(0,1)点. 当/=4卩-12 = 4伙+迈) 伙一萌 )00,即- 迈 Wk0, 即X-逅时，令 . 广( x) = 0得又 /( 兀)J(k) = x kx + x - k = (x Q(# + 1 )0, : 、m =./(兀w(Ina,+oo),. ?厂(x)0. 所以/ (x)在(- ?In Q)上单调递减，在 (In a, +oo) 上 单调递增， 故/( X)在x = na处収得极小值，且极小值为 /(lna)
12、 = lna,无极大值 . 综上，当。50时，函数/(x)无极小值； 当Q0, /(x)在x = lna处取得极小值Ina,无 极大值 . 上没有实数解 . 所以仝的最大值为1. 解法二： (1)(11)同解法一 . (III)当 = 1 时，f(x) = x-l +丄. e x 直线与曲线y = f(x)没有公共点， 等价于关于x的方程Ax -1 = x -1 +丄在? /? 上没e 冇实数解 , 即关于X的方程： ( 丘1)兀=丄(*) 在/? 上没有实 数解. 当时，方程 (*) 可化为=0,在7?上没有 ? 实数解 . 当kHl时, 方程 (*) 化为丄 =xe v . k -1 令g(x) = xe x，则冇 gx) = (1 + x) . 令g，(x) = 0,得x = _l, 当兀变化时，gr(x)的变化情况如下表： 1 A 从而g(x)的取值范围为-,+00 ?所以当 乂函数g(x)的图象连续不断，由零点存在定理，可 1 1 丄 w -oo?-l时，方程 (*) 无实数解，解得 &的k- e) 取值范围是(l-e,l).综上，得的最人值为1.