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1、3. 2. 2函数模型的应用举例 第二课时自建函数模型解决实际问题 【教学目标】 能够收集图表数据信息，建立拟合函数解决实际问题。 【教学重难点】 重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。 难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。 【教学过程】 （一） 创设情景，揭示课题 201（）年4月8日，西安交通大学医学院紧急启动“建立甲型HIN I趋势预测与控制策略数学模型” 研 究项目，马知恩教授率领一批专家昼夜攻关，于4月19日初步完成了第一批成果，并制成了要供决策部门参 考的应用软件。 这一数学模型利用实际数据拟合参数，并对全国和北京、山西等地的疫情进行了计算
2、仿真，结果指出, 将 患者及时隔离对于抗击甲型H INI至关重要、分析报告说，就全国而论，甲型HINI病人延迟隔离1 天，就医人 数将增加1000人左右，推迟两天约增加工能力100人左右；若外界输入1000人屮包含一个病 人和一个潜伏病 人，将增加患病人数100人左右；若4月21日以后，政府示釆取隔离措施，则高峰期病人人数将达60万人。 这项研究在充分考虑传染病控制中心每口工资发布的数据，建立了甲型MINI趋势预测动力学模型和优化 控制模型，并对甲型II INI未來的流行趋势做了分析预测。 本例建立教学模型的过程， 实际上就是对收集来的数据信息进行拟合，从而找到近似度比较高的拟合函数。 （二）
3、 探究过程： 例1、某桶装水经营部每天的房租、工作人员等固定成本为200元，每桶水的进价是5元。销售单 ?价与 日销售量的关系如图所示： 销售单价 / 元6 7 8 9 101112 日均销售量 / 桶480440400360320 280 240 请根据以上的数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润? 探索以下问题： （1）随着销售价格的提升，销售量怎样变化？成一个什么样的函数关系? （2）最大利润怎么表示？润大利润二收入支111 具体的解答过程详见课本中的例5,在此略。 例2?某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表 （身高：cm；体重：kg） 身高 60 70 80 90 1
4、00110 体重6.137.909.9912.1515.0217.50 身高120130140150160170 体重 20.9226.8631.1138.8547.2555.05 1）根据表屮提供的数据，建立恰当的函数模型，使它能比较近似地反映这个地区未成年男性体重与 身高ykg与身高xcm的函数模型的解析式。 2)若体重超过相同身高男性平均值的1? 2倍为偏胖，低于0? 8倍为偏瘦，那么这个地区一名身高为175cm , 体重为78kg的在校男生的体重是事正常？ 探索以下问题： 1)建立适当的坐标系，根据统计数据，画出它们相应的散点图； 2)观察所作散点图，你认为它与以前所学过的何种函数的图
5、象较为接近？ 3)你认为选择何种两数來描述这个地区未成年男性体重ykg与身高xc加的函数关系比较合适？ 4)确定函数模型，并对所确定模型进行适当的检验和评价. 5)怎样修正所确定的函数模型，使其拟合程度更好？ 解答过程见课本中的例6 本例给出了通过测量得到的统计数据表，要想由这些数据直接发现函数模型是困难的，要引导学生借助计 算器或计算机画图，帮助判断. 点评：根据散点图，利用待定系数法确定儿种可能的函数模型，然后进行优劣比较，选定拟合度较好的函 数模型 ?在此基础上，引导学生对模型进行适当修正，并做出一定的预测?此外，注意引导学生体会本例所用 的数学思想方法 . 变式. 将沸腾的水倒入一个杯
6、中，然后测得不同时刻温度的数据如下表： 时间(S) 60120180 240300 温度( C)86.8681.3776.4466.1161.32 时间(S)360420480540 600 温度( C) 53.0352.2049.9745.9642.36 1)建立适当的坐标系，描点画出水温随时间变化的图象; 2)建立一个能基本反映该变化过程的水温y ( C)关于时间的函数模型，并作出其图象，观察它与描点画出 的图彖的吻合程度如何 . 3)水杯所在的室内温度为18 C,根据所得的模型分析，至少经过几分钟水温才会降到室温？再经过几分钟 会降到10 C?对此结果，你如何评价？ 本例意图是引导学生进
7、一步体会，利用拟合函数解决实际问题的思想方法，可依照例1的过程，自主完成 或合作交流讨论 . 当堂检测： 某地新建一个服装厂，从今年7月份开始投产，并且前4个月的产量分别为1万件、1? 2万件、1? 3 万件、 1.37万件. 由于产品质量好，服装款式新颖，因此前几个月的产品销售情况良好. 为了在推销产?品 时，接收定 单不至于过多或过少，需要估测以后几个月的产量，你能解决这一问题吗？ 探索过程如下： 1)首先建立直角坐标系，画出散点图； 2)根据散点图设想比较接近的可能的函数模型： 一次函数模型：/(x)=上丫 + b伙工0);. 二次函数模型：g(x) = ax 1 + 加+ c(a H
8、0); 丄 幕函数模型： /?(%) = ax- +b(a丰0); 指数函数模型： /(%) = ab x + c (dH0,b0, bHl) 利用待定系数法求出各解析式，并对各模型进行分析评价，选出合适的函数模型；由于尝试的过程计 算量较多，可同桌两个同学分工合作，最后再一起讨论确定. （三）归纳小结，巩固提高. 通过以上四个题的练习，师生共同总结出了利用拟合函数解决实际问题的一般方法，指出两数是描述客观 世界变化规律的重要数学模型，是解决实际问题的重要思想方法. 利用函数思想解决实际问题的基木过程如下： 【板书设计】 一、 函数模型 二、 例题 例1 变式1 例2 变式2 【作业布置】 导
9、学案课后练习与提高 3. 2. 2函数模型的应用举例 第二课时自建函数模型解决实际问题 课前预习学案 一、 预习目标：知道5种基本初等函数及其性质 二、 预习内容： 函数图像定义域值域性质 一次函数 二次函数 收 集 数 据 画 散 点 图 选 择 函 数 模 型 求 函 数 模 型 用 函 数 模 型 解 决 实 际 问 题 不符合实际 指数函数 对数两数 幕函数 三.提出疑惑 同学们，通过你的自主学习，你还有那些疑惑，请填在下面的表格屮 疑惑点疑惑内容 课内探究学案 一、 学习目标：能够通过题意，自建模型，解决实际的问题 学习重点：收集图表数据信息、拟合数据，建立函数模解决实际问题。 学习
10、难点：对数据信息进行拟合，建立起函数模型，并进行模型修正。 二、 探究过程： 例1、某桶装水经营部每天的房租、工作人员等固定成本为200元，每桶水的进价是5元。销售单价与 日销售量的关系如图所示: 销售单价 / 元 6 7 89101112 日均销售量 / 桶480440400360320 280 240 请根据以上的数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润? 探索以下问题： （1）随着销售价格的提升，销售量怎样变化？成一个什么样的函数关系? （2）最大利润怎么表示？润大利润二收入- 支出 本题的解答过程 : 解： 本题总结 例2.某地区不同身高的未成年男性的体重平均值发下表 （身高：
11、cm；体重：kg） 身高 60 70 80 90 100110 体重6.137.90 9? 9912.1515-0217.50 身高120130140150160170 体重20.92 26.86 31.113 2）建立一个能基本反映该变化过程的水温y （ C）关于时间班 $）的函数模型，并作出其图象，观察它与描 点画出的图象的吻合程度如何. 3）水杯所在的室内温度为18 C,根据所得的模型分析，至少经过几分钟水温才会降到室温？再经过几分钟会 降到10 C?对此结果，你如何评价？ 解： 课堂检测 课木121页B组第1题 课后巩固练习与提咼 1、一辆屮型客车的营运总利润y （单位：万元）与营运年
12、数兀（xWN）的变化关系如表所示，则客车的运输 年数为（）时该客车的年平均利润最大。 (A) 4 (B) 5(C) 6 (D) 7 -V - 46 8 ? ? ? y =处，+加+ c （万元） 711 7 ? ? ? 2、某地区1995年底沙漠面积为95万公顷，为了解该地区沙漠面积的变化情况，进行了连续5年的 观测，并 将每年年底的观测结果记录如下表。根据此表所给的信息进行预测：（1）如果不采取任何措施，那么到2010年底， 该地区的沙漠面积将大约变为多少万公顷；（2）如果从2000年底后采取植树造林等措施，每年改造0.6万公顷沙 漠，那么到哪一年年底该地区沙漠面积减少到90万公顷？ 观测时
13、间 1996 年 底 1997 年 底 1998 年 底 1999 年 底 2000年底 该地区沙漠比原有面积增 加数（万公顷） 0.2000 0.4000 0.6001 0.7999 1.0001 3、(2003北京春，理、文21)某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元吋，可全部租出 . 当每 辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元， 未租出的车每辆每 月需要维护费50元. (1)当每辆车的月租金定为360()元时，能租岀多少辆车？ (2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 参考答案 1
14、、B 2解析：(1)由表观寒知，沙漠面积増加数丁与年份数x之间的关系图 . 家近似地为 T 欠函数尸底戈的翹 将*1, j-0.2 .x=2, 1-0.4,代入 丁=底龙， 求得丄i=0, 所以=0.2x (xGN)o 因为原有沙漠面积为95万公顷，则到2010年底沙漠面积大约为 95-0.5X15=98 ( 万公顷 ) 。 ( 2)设从1996年算起，第x丢輙亥地区沙漠面积能减少到90万公顷，由题意得 95+0.2x-0.6(x-5)=90, 解得x=20 ( 年) 。 故到2015年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷。 故到2015年年底，该地区沙漠面积减少到90万公顷。 3、(2003
15、北京春，理、文21)某租赁公司拥有汽车100辆. 当每辆车的月租金为3000元时，可全部租 出. 当每辆 车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆. 租出的车每辆每月需要维护费150元，未 租出的车每辆每月 需要维护费50元. (1)当每辆车的月租金定为360()元时，能租岀多少辆车？ (2)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 解：(1)当每辆车的月租金定为3600元时，未租出的车辆数为：3600-3000二2,所以这吋租出 50 了88辆车. (2)设每辆车的月租金定为x元，则租赁公司的月收益为：/(x) = (100- %-300 ) (x-15
16、0) 50 _ A-300() X50,整理得： /( 兀)+ 162X-21000=- (x4050) 2+307050.所以，当 x=4050 时, 50 50 50 /( 兀) 最大，其最大值为/(4050) =307050.即当每辆车的月租金定为4050元时，租赁公司的月收益最大, 最大收益为 307050元. 亲爱的同学 : 经过一番刻苦学习，大家一定跃跃欲试地展 示了一下自己的身手吧！ 成绩肯定会很理想的 , 在 以后的学习中大家一定要用学到的知识让知 识飞起来，学以致用！在考试的过程中也要养成 仔细阅读，认真审题，努力思考，以最好的状态 考 出好成绩！你有没有做到这些呢？是不是又
17、忘 了检查了？快去再检查一下刚完成的试卷吧! 怎样调整好考试心态 心态就是一个人的心情。心情的好坏，会直接地影响我们工 作、学习的效果。你也能看到，在体育比赛中，由于心理状态的 起伏，参赛选手的发挥会跟着有较大的起伏。同样的道理，心理 状态的正常与否对参加考试的同学来说也至关重要。心理方面的 任何失衡都会使你手忙脚乱，得分率降低，平时掌握的内容也有 可能发挥不出来；相反，保持良好的心态，则会使你如虎添翼， 发挥出最佳水平。 加强心理调整，保持考前状态 考试中的心理偏差有两种：一是过于放松，难以集中注意力， 总是想起别的东西；二是过于紧张，心跳加快，手心出汗，有头 晕的感觉。那么如何进行考前的心
18、理状态调整呢？考前应该按照 一定的时间顺序进行自身的心理状态调整。 在考前10天：每个学生的实力已经定型， 一般无论怎 么用功， 水平也不会有显著地提高。所以，考生在这个时段主要应该进行 一些提纲挈领的复习，即考前复习要有所侧重，特别是检查一下 重点内容的掌握情况，如老师明确指定和反复强调的重点内容， 自己最薄弱的、经常出错的地方。所以，考前10天考生宜看书而 不宜做题。通过看书可以温习已有的知识，增强口信心，而做题 则不同，一旦题目太难, 就会挫伤自信心。另外，考试前人的精神 往往高度集中，理解力和记忆力在短期内急剧提高，因此在这个 时段内应该加强记忆方面的知识，如历史、地理、政治、英语等，
19、 但是也不可过度紧张而耗费考试时的精力。 在考前3天：这个时间很多学生认为万事大吉，完全不沾书 本，这是十分错误的。重要内容虽然已经掌握了，但还是要适当 浏览一下，如历史、地理、政冶的基本知识、语文的文学常识、 英语的单词、数学的公式等。对自己已经考过的试题应该看一看， 把经常出错的地方再强化一下，适当地做一点“热身题”。所以， 在考前3天还要适当地翻阅一下书本，这样做不仅使这些重点内 容始终在大脑中处于待提取的激活状态，而且可以使自己心里踏 实。 在这3天，应该调整自己的心理状态，切不要把弦绷得太紧， 应该适当地放松自己，如通过散步、和家人聊天、听音乐等方式 调整自己的心态。此外，还应该做好
20、考试的物质准备，如文具、 准考证、换冼的衣物、考试中提神的香水等。 在考前1天：考试前1天仍然有许多准备要做， 不要认 为“万 事俱备，只欠东风”，也不要“破罐子破摔”，听天由命。在这 天应注意以下问题，第一，注意自己的饮食，考前2天应该遵循自 己平时的饮食习惯，可以多加几个菜，适当增加肉蛋类食品，但 不要为了补充能量而暴饮暴食，以免消化不良，直接影响第二天 的考试；第二，不要参加剧烈的运动，以免体能消耗过大或发生 其他的意外，从而影响第二天的考试。也不要长时间地玩棋牌、 上网打游戏，以免过度兴奋。适当的放松和休息应该是最后一天 的主旋律；第三，熟悉考场，应该仔细考察通往考场所在地的交 通线路
21、，选择路程最短、干扰最少、平时最熟悉的路线，还应该 考虑如果发生交通堵塞后的应对措施。对考场所在学校、楼层、 教室、厕所以及你的座位位置都要亲自查看，做到心中有数，以 防 止不测事件的发生；第四，要认真检查考试时所使用的准考证、 文具等，并把它们全部放在文具盒内，以保证第二天不出现慌忙 现象；第五，如果有的同学不看书心里就不踏实，还要临阵磨枪， 那就不妨把第二天所考科目的课本随意翻阅一遍，但不可太动脑 筋。如果有的同学不愿再看书，那就听一些轻松欢快的音乐，以 放松一下自己；第六，严格按照平时的作息时间上床睡觉，不应 太晚，也不宜太早，以免成太早或太晩上床而又不能及时入睡。 睡前可用温水洗脚 ,
22、 以帮助自己睡眠，如数数、深呼吸等。切不要 服用安眠药 , 因为安眠药会抑制人的大脑，导致第二天考试不够兴奋。 要增强自信心 要获取好成绩，一定要有自信心。这如同体育运动员一样， 要在比赛中获取好的名次，应该具有良好的竞技状态, 以保证自己 能够发挥出最好的水平。考生在进入考场之前，多想一些有把握 获取好成绩的条件，如“自己已经全面和系统地复习了”，“考 试就像平时测验，无非在这里多做几道题而已”，尽量回忆和憧 憬一些美好的事情，设法使大脑皮层产生兴奋中心，产生一种积 极的情绪。 自我放松，缓和紧张的心理状态 常用的自我放松训练有以下几种： 呼吸松弛训练。坐在座位上，双目微闭，两脚着地，双手
23、自然放在膝上，脚与肩同宽。然后进行腹式呼吸34次。 吸气时 用鼻慢慢地吸，先扩张到腹部，在扩张到胸部，吸足气后屏一屏 气，然后用鼻和嘴将气慢慢地吐出，这个过程连续多次就可以达 到平静的心理状态，消除紧张和忧虑的效果。 肌肉松弛训练。考试时，坐姿要放松，一旦双手发生颤抖 或有紧张情绪，可迅速拉紧所有的肌肉，然后立即解除紧张、也 可马上做深呼吸，反复两三次，这时全身肌肉必会放松，就可避 免生理、心理紧张加剧而引起的恶性循环。 转移想象训练。转移也是保持良好心境的一种方式。如涂抹一 点清凉油，听听音乐，从事散散步、游泳等不剧烈的体育运动， 使心态平衡，头脑清醒，紧张缓解。 自我暗示训练。要善于利用自
24、我暗示语的强化作用。如可以暗示 自己“今天精神很好”，“考出好成绩是有把握的”等等。自我 暗示语要简短、具体和肯定，要默默或小声对自己说（不让他人 听见，不影响他人答题），这样，可以通过听觉说话运动觉等渠 道，反馈给大脑皮层的相应区域，形成一个多渠道强化的兴奋中 心，能够有效抑制怯场。 情景模拟训练。同学们参加模拟考试时，或在平时考试过程 中，有意识地进行练习和放松训练，从而保证高考时有良好的心 态。 浏览全卷，制定答题方案 考试时一般是提前5分钟发卷，考生应充分利用好这5 分钟， 首先把整个考卷浏览一遍，对题目难度、题量、题型、答题要求、 分值等做到心中有数。然后确定自己的答题方案, 即对自
25、己答题的 顺序和在各个题目上的时间分配做出全局性的安排，同时还应预 留检查全卷的时间。浏览全卷可以对所有的题目在头脑中留下一 个印象，在答题时有助于各个题目之间的相互联想，这对于开阔 思路，消除记忆堵塞现象有好处。在浏览全卷的过程中，发现自 己熟悉的不要过分狂喜, 发现自己不会的也不要过分紧张，要保持 镇定的心态，应该想到：“我难人亦难，我易人亦易。” 审清题意，细心答题 做题前首先要认真审题，明确题目的要求，避免盲目答题。 审题的内容包括：看清题型和题目的具体要求，还包括审准题目 所提供的信息。尤其是文科课程的考试，能否从阅读材料中准确 地找到所需信息，合理演绎，大胆猜测，反复推敲词意句意，
26、往 往是答对题目的关键。在答题的过程中, 有的同学没想妥当就匆忙 地在试卷上填写，然后改来改去，既浪费了时间，又弄脏了卷面。 有的同学则过于谨慎，什么都要在 ? X稿纸上写得清楚明白，然后 才向试卷上填写。实际上考试时间十分有限，许多题目没有时间 打全稿，特别是一些大题，在草稿上写出答题思路或提纲后，就 可以在试卷上直接书写。 先易后难，合理分配时间 试卷的安排一般是从易到难，所以做题时也是按题目顺 序做，只要时间安排合理，最后检查试卷的时间是足够的。 但问题不是绝对的，每个人掌握知识的情况不同，答题的模式也 不是一成不变的。有的同学遇到难题后就一心要把它做出来，忘 记了后面还有很多题等着要做
27、，浪费了太多的时间, 造成心理上的 紧张，许多能够做的题电不会做了。正确的方法是先易后难，合 理分配时间。先易后难的答题方法有利于消除紧张，逐步提高自 信，以饱满的精神和较佳的思考水平来攻克后面的难题，避免完 全按顺序答题时不停地遇到难题，不停地产生紧张焦虑心情，最 后会阻碍思维水平的正 常发挥。在时间分配上，要注意对整个试卷的完成时间作出 镇定自若，巧解难题 在考试中不是所有的题目都是自己熟悉的，总会遇到许多困难。 考试中经常遇到的困难主要有两类：一是记忆卡壳，平时会做的 题，记得很清楚的知识，忽然忘记了；二是题目难度太大，一时 间不知道从哪里下手。遇到困难时首先 统筹安排 , 最后必须安排
28、 5?10分钟的时间进行检查。 是不要紧张，因为上述两种情况往往是太紧张、太兴奋造成的。 正确的方法是：先放下这些题目，去做一下其他的考题, 或者去检查一下前面已经做完的与之相关的或类似的题目, 看能否 从中找到提示，或者回忆一下自己曾经做过的例题，或者回忆一 下 相关的知识，寻找突破口，以退为进；或者干脆把考试中其他 的题目全部做完之后，再把这道题当作一般的练习题来做，没有 了后顾之忧，就可以集中精力重点突破。在考试中，切忌不要赌 一时之气，不顾时间和其他的题, 无原则地蛮干。 全面检查，站好最后一班岗 全部题目做完之后，或者还有少数题目实在做不出来, 在这个时候，应该抓紧时间对已经做出的题进行全面的检 选择题的答案是否正确，机读卡的填涂是否正确，题号与答案是 否有错位的现象等等。全部试题答案检查完毕后，还应该检查一 下姓名和准考证号码的填写情况。 查。检查的内容包括：答案的计算是否正确, 书写是否有 错误，答案的内容是否完整, 要点是否突出，阐述是否清晰,