《32740高等数学(专)-1复习材料.doc.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《32740高等数学(专)-1复习材料.doc.pdf（10页珍藏版）》请在三一文库上搜索。
1、1.函数y二arcsin J兀2_9 定义域是 :3 0,QHl)的反函数是 :y = - 丄 1 + ox a + ax 4.设 /( )=兀 + 71 + x 2 , (xo) ，则/(X)= Hl (a0)在区间(0,-7)内单调增加，在区间(-a,a)内单 4 4 调减少 . 16.函数y = 3x 4-4x3 在x = l处取得极尘值 . 17.已知/( 兀)=疋+处2+办在x=l处有极值-2,贝lj a=Oib=z3/y=f(x)的极大值为2； 5. n -1 心 贝ij imxn =1. n-oo 6. 一00 io ” 7. 8. 2x + l lim - = 3/2. “T8
2、 3X sinx ,. lim - = ( 0 ) x?oo Y 9. lim ： “2 =( g) a _ 对 _ % + 10. x = 0是/(x) = e x 的第( 二) 类间断点 . 11.曲线y二兀一丄与x轴交点的切线方程是y = 2(xl)? x - 0 1 12.曲线y = 2sinx + x 2 在横坐标x=0点处的切线方程是y = 2x,法线方程是y =- 兀. 4 13. 1-lnx 1 + lnx 则y= -2 x(l + lnx) 2 14. 设丿= sin 2x x 则y= 2xcos2x-sin2x 15.函数y = xax-x 1 极小值为?2. (1+ dx
3、 = -x +4低一2厶 +j xVx 3 Q x 19. (3ex +-)dx=3e x- + c. J X X 因为limJ = lim - - 3 /(%) 3 _ 1 1 x 1 所以lim/(x) = oo x-l B|J ： 哪7- 占 2 00 4. limlT XTO 18. 二. 计算 解: 解: 4x 3 -2x2 +x lim - - Z) 3x + 2x 4x 2兀2 + x lim - - z) 3对 + 2x v 4x 2 一2兀 +1 = lim - go 3x + 2 r n 1 1 1、 lim(l + + + ? + ) 川* 2 4 2n r Z1 1 I
4、 1、 “2 4 2n i-dr = lim I =2 lim( XTI _ 兀 1 - x J W：设/ 心士一占，则 X 1 liml-4=0, ATI X + X 解：lim 厶+ 1 j 1 X (J x +1 1) ? (J X + 1 + 1) = lim ；= XTO厶 + 1 + 1 “2 5. lim如竺 XT8 X JT TT 解：因为一石Sx 石所以arctgx为有界函数 而lim丄二0, 由有界函数与无穷小的乘积是无穷小知. lim 竺Qo x* x 二. 计算题 .? sin 2x 1.lim - 入 TO sin 5x s sin2xzsin2x 5x 2、sin2
5、x 5x 2 2 解：lim -= lim( - ) = lim lim = ATO sin 5x ITO 2X sin 5x 5 x- 2x 心 sin 5x 5 5 _ 1 - cos 2x 2.lim - xsinx 2-sinx2 2sinx 小 sinx = lim - = lim - = 2- lim - =2 2 xsinx io % XT()X 3.limxsin XT8 x .1 ?1 sinsin 解：limxsin = lim =lim =1. XTOO x 1 丄 TO 1 X X X r 2,7_l + /7 v2 + hx 4.设f(x) = lim- , (1)求
6、/(x)； (2)当/( 兀) 连续时，求方的值 . 心 00 L +1 = lim XTO x ?(VxTi +1) = lim x-0 X x ? (Vx + 1 +1) 解: 1 - cos 2x lim- go xsinx 解：原式=lim”Q + + Q=lim(l + Jl + /)= 2 x-0 兀/ A-0 “ i sinx 6.limIn - 解：原式=ln(lim ) = lnl = 0 XTO % 5. 解:(1) v /(%) = lim ns lim 牙一 （） 1 + a严“+ b严 x + x xln /W = 1 2 - + a-b 2 ax2 * * * &
7、+ hx x 1 x = 1 |x|vl f(x)连续lim f(x) = lim - = 1 = /(l) = “ + ： + “ . ￥ -14-0 XTl+0 兀2 1 + a b lim f(x) = lim = 1 = f(l)= - - 2 no + b = l n a-b = -1 l-Vi+x 2 解：y= e，(x 2-3x + l) + ex(x2 -3x + iy e x (x 3 兀 + 1 + 2x 3) =e x (x2 x 2). 11. y 二Jl + In 2 x,求 . 求 . 解：y= (l + ln 2 xy- , 1= 21nx?丄?一. 1 2Vl
8、+ ln 2 兀2Vl + ln 2x _ In% xvl + ln 2x 12. y = 1 - xe y.求 解：y=_(R+灯 R), 即y=- 1 + xey 其小y是由方程y = 1 -xR所确定的隐函数 . 13. y = tan(x + y). 求y. 解：y=(i + y).Sec 2(x4-y), 即匕工二 . 其中y是由方程y = fgO+刃所确定的隐函数 . 14. b2小 + 9 =().求八 解：2yy-2y-2xy=0t即. y-x 其中y是由方程/-2 + 9 =()所确定的隐函数 . 16.求y = e x cosx 的极值 解：y = e x(cosx-sin
9、x), 令 y=0 ,得驻点x = +(k 为整数 ). y“=-2e x sin x A/?2k卄y* 0,x在该处収得极小值，其值为y 17. J(2tan + 3cot x)2dx 解： j(2tan+3cotx) 26/x= j(4tan x + 9cot2 x + 12)Jx= J(4sec2 x + 9csc2 x- l)dx =4tanx-9cotc-x + c 18. cos2dx. J 2 “ r2 X , r 1 + cos x f 1 z. 、 解：cos dx = - dx = (x + sin 兀)+ J 2 J 2 2 19. f - dx. J cos sin x
10、 解： 三. 证明题 1.证明：不论b取何值，方程疋一3兀+ b = 0在区间-1,1上至多有一个实根 . 证：反证法 . 设/(X) = X 3-3X + Z?,且在区间-1,1上有两个以上实根，其屮两个分 别记为兀1，兀2，不妨设一15兀则/( 州)=/( 兀2)= 0，由罗尔定理， 在(1,1)内至少有一点使广 ?) = 0. 而f(x) = 3x 2 一3在(-1,1)内恒小于0,矛盾. 命题成立 . 2?证明方程x = asxx + b至少有一个不超过d + b的止根 ( 其中a 0, Z? 0 ). 证明：设/(x) = asinx + b-x f则/(x)在0,a+ b上连续 .
11、 sin2 x + cos 2 x fr z 1 cos/sin必訂 ( 冇 -)dx= tanx-cotx + c sin x dx = J(x 空-2x 2 + X+C. 5 J cos，sin 2严= 解: 又/(0) = b0 9 f(a + b) = asin(a + b) 10. 若/(d + ZO = O,则结论成立 . 若f(a + b)0,则由零点定理 m和(0卫+方) 使得f? = 0? 2 7.y = 3x 2- +5 . 求八 X . 2 92 4 解：卩 =(3x 2 一一+5)*= (3x 2)-()? =6x + . & y = x 2 cosx ?求 . 解：y= (x 2 cosx)= (x2)cosx + x2 (cosx)1 = 2xcosx-x2 sinx. 9.y = sin x ? cosx ?求y. 解：y= (sin x ? cos x) = ( sin 2x)* = c o Sx. 10. y = e x (x2 - 3x +1) / .