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1、函数及其表示 花知识讲解 一. 禽敖的概念 设 A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f .使对于集合A中的任意一 个数 兀, 在集合 B中都有唯一确定的数 / （兀）和它对应 , 那么就称 / ：A T B为从集合A到集 合B的 一个函数 . 记作：尸 / （兀）， “人，其中兀叫做自变量，兀的取值范围 A叫做函数的定义域；与 *的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合”（兀）应邓叫做函数的值域. 注意（1 ） “） 匸/ （兀）是函数符号，可以用任意的字母表示，如“尸g（x）； （2 ）函数符号） =/ （兀）中的 / （兀）表示与兀对应的函数值，一个数，而不是/ 乘兀. 二、詢報
2、的三要素 1 ?定义域三种形式 自然型：指函数的解析式有意义的自变量兀的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次 根式函数的被开方数为非负数等等）； 限制型指命题的条件或人为对自变量兀的限制，这是函数学习中的重点, 往往也是难点 , 因为 有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误； 实际型：解决函数的综合问题与应用问题时, 应认真考察自变量 x的实际意义 . 2 ?求值域方法 配方法（将函数转化为二次函数）； 判别式法（将函数转化为二次方程）; 不等式法（运用不等式的各种性质）; 函数法（运用基本函数性质，或抓住函数的单调性、函数图象等）? 三. 两个甜毅的相尊 函数的定义含有三个要素 ，即定义域A、
3、值域C和对应法则 / . 当函数的定义域及从定义域到值域的对应法则确定之后，函数的值域也就随之确定. 因此，定义域和对应法则为函数的两个基本条件，当且仅当两个函数的定义域和对应法则都分 别相同时 , 这两个函数才是同一个函数? 1?区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； 2?无穷区间； 3?区间的数轴表示. 五、唳射的概念 一般地 , 设 A、B是两个非空的集合 , 如果按某一个确定的对应法则/ ，使对于集合A 中的任意 一个元素 x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应/ ：A - 3 为从集合A到 集合 B的一个映射 ?记作. 函数是建立在两个非空数集间的一种对应, 若
4、将其中的条件非空数集弱化为任意两个 非空集合 , 按照某种法则可以建立起更为普通的元素之间的对应关系，这种的对应就叫 映射. (1 )这两个集合有先后顺序，A到B的射与B到A的映射是截然不同的 ?其中f表示具体的对应 法则，可以用汉字叙述 . (2 ) 都有唯一什么意思 ? 包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思? A.禽敖的素斥方该 解析法就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式, 简称 解析式 ; 列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；图象法：就是用函数图象表示两个变量之 间的关系 . 七. 今段禽敎 定义: 若一个函数
5、的定义域分成了若干个子区间，而每个子区间的解析式不同，这种函数又 称分段函数 . 1.分段函数的表达式因其特点可以分成两个或两个以上的不同表达式. 2.分段函数的图像可以是光滑的曲线段, 也可以是一些孤立的点或几段线段. 3?分段函数的值域，也就是各部分上的函数值集合的并集. 4?分段函数虽然有几部分组成”但它仍是一个函数. 若尸/( 町”(x),xw(a,b)，心仙,n)，那么y = /g(x)称为复合函数， “ 称为中 间变量，它的取值范围是 g(H的值域 . 九. 為報團像的作注 1.描点法：列表、描点、用光滑的曲线连线. 2?变化作图法 “ _ d 向右平移 /b?位“2 小 平移：
6、y = fM - y = f(x-a)； 向艸移b个单位 尸/( 兀)+几上0 对称 : 严/ 亠叫/ ； 关于 y轴对称 y = fM i 原点对祢y = 心) y = /(|x|) 保田X轴上方的图彖 . 再把 ?郁1 卜方的图檢対称到上方 y=fWy=fM 再茶 经典例题 一，镇空龜(坎2小塞J 1 ?已知f ( x )的定义域是0,4, 则f ( x+1 ) +f ( x?1 )的定义域1,3； f ( x+1 )的定义域是0 ,4，则f ( 2x?1 )的定义域为1,3 ? 【解答】解：由题意得: 用，解得 :1WXW3； (2 )?.?0WxW4 , ?1WX+1W5 , ?lW2
7、x?2W5 ,解得:KxW3 ； 故答案为 :1 , 3 z 1 , 3? 2?已知函数f(3x+2 )的定义域是 (-2,1),则函数f(x 2) - f ( ) 的定义 域为( ?叵亚 _ . 【解答】解： ?函数f ( 3x+2 )的定义域是 (-2,1), 即?23 或Y2即30 X2-3X4 :C0 / - 5x+60 x+170 5? (2017秋?泰安期中 )判断下列各组函数是否为相等函数： f(x)=f(x)=g)(;-5)起 (2 )若对于任意的X1ER，总存在X2e 0 , 1,使得g ( X2 ) =f ( X1 )成立，求 【解答】解：(1)当烂0时 zf ( x )
8、=0 , 当f(x)签 2 取 )? ?函数f (x) =4的值域为仙?lWyWi; /+1 (2)由(1)得:A=f (x) |xER = - 1 , 1, 又B=g (x) |xe0 z 1 = 5 - 2a z 5 - a? V f ( a ) =2 - a a+31 = - a 2 - 3a+2= - ，其中 (云-1, |)； 实数a的 若x0，贝Of ( x ) = -0 依题意AC B , 即5-2a=C-l , 解得：3WaW4 , ?实数a的取值范围是3,4? 15 . ( 2017秋?东湖区校级月考) 已知函数f (x) =V(a 2-l) x2+(a+l)x+l ； (1
9、 )若f ( x )的定义域为( ?co , +8 ), 求实数a的取值范围； (2 )若f ( x )的值域为0 , + 00 ), 求实数a的取值范围? 【解答】(1 )依题意可得： (a2 - 1 ) x 2+ ( a+1 ) x+120 对一切xeR恒成立 ; 当a 1=0时，即a二1或a二?1 ； ?l a=l : 寺 不符合，舍去； 2 a二?1 : 10 ,显然符合； 由得 :aG(Q, -1 U 鲁， +8) 0 当a 1=0即a=l或a二?1 l a=l , 当a?1H0时，即al且aH - 1 ； a2-l0 A- (a+1) 2 -40 (2 )依题意可得：只要t= (
10、a 2 - 1 ) x2+ ( a+1 ) x+1 能到所有的正数； 所以a=l符合 3= “ 1不符合? 当a?1H0时，即al且aH?1时， 16 .( 2017秋?兴义市校级期中)已知二次函数f( x )满足f( x+1 ) =2X2+X，试求 : (1)解不等式彳 【解答】解：心2】亠?2 ?gf ( x ) X1 或-1 一14 (2 ) f ( x )二x x ? 4| 冷， t-x(x-4)=-(x2) 4, x4或a3 函数f (x)的图象如图所示 : 13in+11 -11 in | v 13in+1+1 -m | 二? |irrH | |irrH | 当且仅当 (3m4-l)(l-m) 0, 且3m+l I 2 11 ? m | , mH ? 1 z 对任意实数mH二?1恒成立，得 |x+1 - |x - 3| 即mMl或m?1时， (II ) 由不等式f(x)2 由(I )中图象，可知x$2 ,