3第10讲再探实际问题与二次函数.docx.pdf

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1、第十讲再探实际问题与二次函数 教 学 目 标 1. 用待定系数法由已知图象上二个点的坐标求二次函数的关系式 2.使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或対称轴等条件求出函数的关系式 3.根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式 4.让学生体验二次函数的函数关系式的应用，提高学生用数学意识 教学重点 1. 已知二次函数图象上一个点的处标或三个点的坐标，求y=ax?+bx+c 的 关系式 2.已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式 教学难点 1 ?已知图象上二个点处标求二次函数的关系式 2.已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式 3.根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式

2、 教学方法建议讲练结合，讲授、讨论结合。 选材程度及数量 课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业 A 类(3 )道(1 ) 道(11 )道 B 类(3 )道(2 )道(11 ) 道 C 类(0 )道(0 ) 道(6 )道 _知识梳理 1.熟练应用待定系数法求二次函数的解析式 求二次函数的解析式，主要有三种方式，同学们要熟练掌握其条件特点和选择的求解模式。 (1)设解析式是一般式 条件特点：已知抛物线上任意的三个点的坐标，求解析式 当知道抛物线上一般的三个点的坐标: A (xi, y ) ) B (x2, y2) C (x3, y3)时, 要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下： 设二次函数的一般

3、形式：y=ax2+bx+c (aHO) 把点 A、B、C 的坐标分别代入所设的解析式中, 转化成关于 a、b、c的三元一次方程组 ; 解方程组，求得a、b、c的值； 把 a、b、c 的值分别代入所设的解析式中，得二次函数的解析式。 (2)设解析式是顶点式 条件特点：已知抛物线的顶点坐标，和某一个点的坐标，求解析式 当知道抛物线的顶点坐标：M (h, k)和抛物线上的一个点A (xi, 刃) 时， 要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下： 设二次函数的解析式为：y=a (x-h) 2+k (aHO) 把点的坐标代入所设的解析式屮，转化成关于3 的一元一次方程； 解方程，求得a值； 把 a的值代

4、入所设的解析式中，得二次函数的解析式。 (3) 设解析式是交点式 条件特点：已知抛物线与x 轴的交点坐标，和某一个点的坐标，求解析式 当抛物线与 x 轴的交点坐标 : A (xi, 0) B ( X2, 0)、C(X3, y：J时， 要求二次函数的解析式，通常的解题思路如下： 设二次函数的解析式为: y=a (x-xi) (x-x2) (aO) 把点 C 的坐标代入所设的解析式中，转化成关于a的一元一次方程； 解方程，求得a值； 把 3 的值代入所设的解析式屮，得二次函数的解析式。 2.在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中，可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决 . 步骤： 第一步设

5、自变量； 笫二步建立函数的解析式； 笫三步确定自变量的収值范围； 第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值( 在口变量的取值范围内). 二经典例题讲解 K 难度分级 1A 类 K 试题来源 1 经肌例题 K 选题意图初步建立求解析式的基本思路。 K 解题思路观察图象可知，A 点坐标是（ 8, 0）, C 点坐标为（ 0, 4）。从图中可知对称轴是直线x=3,由 于抛物线是关于对称轴的轴对称图形，所以此抛物线在x 轴上的另一交点B 的坐标是（一2, 0）,问题转化 为已知三点求函数关系式。 K 参考答案解：观察图象可知，A、C 两点的处标分别是（8, 0）、（ 0, 4）,对称轴是直线x

6、 = 3。因为 対 称轴是直线 x = 3,所以 13 点坐标为（一2, 0）o 设所求二次函数为y = a/+bx + c,由已知，这个图象经过点（0, 4）,可以得到 c=4,又由于其图象r 1 a= 64d + 8b 4 4 过（8, 0）、（一 2, 0）两点，可以得到血二匕=_4 解这个方程组，得 $ 3 3 - E 1 3 所以，所求二次函数的关系式是y = -x 2+x + 4 【例题 2】. 某宾馆客房部冇60 个房间供游客屈 - 住，当每个房间的定价为每天200元时，房间可以住 满. 当 每个房间每天的定价每增加10 元时，就会有一个房间空闲. 对有游客入住的房间，宾馆帝对每

7、个房 间每 天支出 20 元的各种费用 . 设每个房间每犬的定价增加x 元. 求： （1）房间每天的入住量y （间）关于兀（元）的函数关系式. （2）该宾馆每天的房间收费z （元）关于 x （元）的函数关系式. （3）该宾馆客房部每天的利润w （元）关于 x （元）的函数关系式；当每个房间的定价为每天多少 元时, w 有最人值？最人值是多少？（2008年贵阳市） K 难度分级 1B 类 K 试题来源 1 经肌例题 K 选题意图住宿问题 K 解题思路因为每个房间每天的定价每增加10元时，就会冇一个房间空闲， X X 现在增加 X 元，折合个10 元，所以，冇个房间空闲； 1（）10 空房间数 +

8、入住房间数二 60,这样第一问就解决了； 房间收费数额应该等于房间的定价乘以房间的数量，这样第二问的等量关系也找到了； 在解答第三问时，关键是理解利润的意义，利润二每天的房间收费数- 每个房间每天支出的各种费用。 K 参考答案 1 解： Y （1）房间每天的入住量y （间）关于 x （元）的函数关系式是：尸60- 讦， r （2）宾馆每天的房间收费z （元）关于 x （元）的函数关系式是：z= （200+x） （60-）, （3）宾馆客房部每天的利润w （元）关于兀（元）的函数关系式是: Y Y W 二(200+x) (60-) -20 (60), 10 10 1c 整理, 得: W=x 2+

9、42x4-10800 10 1 9 = (x=420x) +10800 1() 1 ? =(x-210) 2+15210, 10 因为， a二- 丄0,所以，函数有最人值， 10 并且，当 x=210 时，函数 W 冇最大值，蝕大值为15210, 当每个房间的定价为每天410 元时， w 有最人值，最人值是15210元。 【例题 3】? 随看绿城南宁近儿年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高。某园林专业户计划 投 资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润”与投资量兀成正比例关系，如图所 示；种 植花卉的利润力与投资屋兀成二次函数关系，如图所示( 注：利润与投资量的单位：万元)

10、 (1)分别求出利润x 与 y2关于投资量 x 的函数关系式； (2) 如果这位专业户以8 万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是 多少？ K难度分级A类 K 试题来源 H (2008 年?南宁市 ) K 选题意图投资问题 K 解题思路 1 根据图像和题意知道刃是X 的正比例函数，并且知道图像上的一个点的坐标为P(l, 2),这 样就可以求出正比例函数的解析式: 仔细观察抛物线的特点，抛物线经过原点，顶点也在原点，因此，解析式一定是形如尸3/的形式。 K参考答案 解： (1) 因为 y】是 x 的正比例函数 , 设，yi=kx, 因为图像经过点P(l, 2), 所

11、以 2 二 k, 所以利润 y】关于投资量兀的函数关系式是y.=2x, x0； 因为 y?是 x 的二次函数，设， y2=ax, 因为图像经过点Q(2, 2), 所以 2 二 4a, 所以 a=, 2 所以利润 y?关于投资量兀的函数关系式是y 尸丄 x 2 , x0； 2 (2) 这位专业户以8 万元资金投入种植花卉和树木，其中投资花卉x 万元， 他获得的利润是： 1 . 1 ? v=vi+ y2=- x +2X (8-x) =- x 一 2x+16 2 2 =-(x-2) 2+14, 2 因为， a二一0,所以，函数有最小值， 2 并且，当 x=2 万元时，函数y 有最小值，最小值为14

12、万元； 因为，対称轴是x=2, 当 0WxW2 时，y 随 x 的增大而减小， 所以，当 x=0 时, y 有最大值 , 且为 y 二丄(x-2) 2+14=16, 2 当 20 又?. 00 1 Q 即当“一矿一药J?时, y max Aac-b 1 _4 0-182 4x(-1) =81 故当 x=9 米时，苗圃的面积最人，最人面积为81 平方米。 点评：在解答实际问题时，一定注意不要遗漏了单位。 3. 用 19米长的铝合金条制成如图所示的愆形的窗框。 （1）求窗框的透光面积S （平方米）与窗框的宽x （米） Z 间的函数关 系式; 解：(1)由图示的信息，可得：3BC+2X0. 5+3

13、x 二 19, 所以， BC=6 - x,所以 AOAB+BC 二(6 - x+0. 5)米, 13 所以， S二( 6 - x+0. 5) x= -x 2+x; 2 由题意，得 : x0, 6-x0,所以 0VxV6, 因此自变虽 x 的取值范围是： 0 y2 与 x 之间的函数关系式。 （2）为了投资少而利润大，每间包房提高x （元）后，设酒店老板每天晚餐包房总收入为y （元）， 请写 II! yAixZ间的函数关系式，求出每间包房每天晚餐应提高多少元nJ获得最大包房费收入，并说明理 由。 17. 函数 Y 二 W+2X-3 （-2 三 XW2）的最大值和最小值分别是（） A、4 和一 3

14、 B、一 3 和一 4 C、5 和一 4 D、一 1 和一 4 18. 冇一拱桥的桥拱是抛物线形，其表达式是Y=-0.25x； 当桥下水面宽为12 米时，水面到拱桥拱顶的距离为（） A 3 米B 2 亦米C 4 命米D 9 米 1 2 S 19. 一学生推铅球，铅球行进的高度y（m）与水平距离x（in）之间的关系式为尸- x+x+则铅球落地 水 12 3 3 平距离为（）mc 5 A - B 3 C 10 D 12 3 20.已知某商品销售利润y（元）与该商品销售单价x（元）之间满足y=-20x 2+1400x-20000,则获利最多 为 （ ） A 4500B 5500C 450D 2000

15、0 21.已知二次函数y= -x 2+bx-8 的最大值为 8, 则 b 的值为（) A 8B -8C 16D 8 或8 22.如图在 - ?块直角三角形铁皮废料的内部剪卜?一?个长方形盒盖ABCD, 具屮 A B 和 BC 分别在两直角 边上, 设 A B = X c m, 长方形盒盖的血积为y cm 蔦要使长方形盒盖的血枳最大，X 应为（ C类题（6道题） 23.（黔东南州）抛物 线的图象如图所示，根据图象可知，抛物线的解析式可能是（） ? ? 24.二次函数 y = / 一 2 兀一 3 的图象关于原点0 （0, 0）对称的图象的解析式是 25.某宾馆有 50个房间供游客居住，当每个房间

16、的定价为每天180元时，房间会全部住满，当每个房间 的定 价每增加 10元吋, 就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾馆需对每个房间每天支出20 元的各 种费用。房价定为多少吋，宾馆利润最大？ 26.已知：某租赁公司出租同一型号的设备40 套，当每套月租金为270元时，恰好全部租出。在此基础 上, 每套月租金每增加10元, 就少租出 1套设备。而未租出的设备每月需支付各种费用每套20 元。 设每套设备实际刀租金为x 元（xM270 元），刀收益为y 元（总收益 =设备租金收入一未租出设备费用） 问题 1：求 y 与 x 的二次函数关系式 问题 2：当 x 为何值时，月收益最大？最大值是多少？

17、 问题 3：当月租金分別为300 元/ 每套和 350元/ 每套吋，力收益各是多少？根据月收益的计算结果，此吋 公司应该选择出租多少套设备更合适，请简要说明理。 2 24% + , C、y- 兀彳 - 兀+ 1 2 2 D、y=- x 2 4- x + 2 27.阅读材料： 如图，过的三个顶点分别作岀与水平线垂直的三条直线，夕卜侧两条直线之间的距离叫的“水平 宽”(臼) ，中间的这条直线在内部线段的长度叫的“铅垂高”. 我们可得出一种计算三角形血积的新方 法：=ah,即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半. 解答下列问题： 如图，抛物线顶点坐标为点(7(1, 4),交/ 轴于点水 3,0),

18、交 y 轴于点 (1)求抛物线和直线力的解析式； 点“是抛物线 ( 在第一象限内 )上的一个动点，连结PA, PB,当“点运动到顶点C 时，求 CM 的铅垂 高CD 出S心R； 9 (3)是否存在一点P,使Sg S?若存在，求岀戶点的处标；若不存在，请说明理由. 8 28.已知二次函数y = x 1 + or + d - 2。 (1)求证：不论 a为何实数，此两数图象与x 轴总有两个交点。 (2)设 M0,当此函数图彖与x 轴的两个交点的距离为V13 求出此二次函数的解析式。 第十讲课后自我检测试卷参考答案 A类试题 1. 5 5 ； 2. 5 ； 3. 1 8 c m 2 ； 4. 1 6

19、c m 2. 4 cm.正方形； 5. y = 5 0 x+l 0 0 x + 5 0 ； 6. 1 9； , 1 7. y=2x +2x； m； 3 9. 售价为 35 元时，在半月内可获得最大利润； 10. 解：根据图象，知道抛物线的对称轴是y 轴，顶点坐标为原点 所以，不妨设二次函数的解析式：y 二 ax (aHO), 因为, AB=20,所以， FA=FB=10, 因为, CD 二 10,所以， EC=ED=5 所以，点八的坐标为(-10,儿) ，点 C 的坐标为 (-5, y2 ), 所以， y2 = aX (-5) 2=25a, y= aX (-10) 2=100a, 因为, EF

20、=3,所以， 2 一) i 二 3, 所以， 25a -100a二 3, 解得: a=-,所以，所求函数的解析式：y= x2o 25 25 11.解： 小 1 2 8 (1 ) V =X + X 5 5 1/ 八 2 16 =(兀一 4)_ + 5 5 (2)令 y = 0,得： 1 2 8 n - X HX = 0 ? 5 5 解得：兀=0 , x2 = 8 , 所以，球飞行的最大水平距离是8m. (3)要让球刚好进洞而飞行最大高度不变，则球飞行的最大水平距离为10m 所以抛物线的对称轴为X = 5，顶点为 ( 5,), 5 设此吋对应的抛物线解析式为：y 二 ax+bx (aHO), 因为

21、，抛物线经过点(10, 0), 所以 100a+10b二 0,即 10a+b=0, 因为抛物线经过点 ( 5, 5 所以 25a+5b=,即 5a+b=, 5 25 解得：a = - , b=, 125 25 所以二次函数的解析式是：y = - x 2+ Xo 125 25 B类试题 12.解： 因为抛物线的対称轴是y 轴， 所以设二次函数解析式为: y=ax 2+c (aHO), 因为二次函数图象过点C (0, 1), 所以 c=l, 因为此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为2 米( 图屮川线段 AD 、CO、BE 等表示桥柱 ) ，且 FG = 2 米， 所以点 F的坐标是 (-4, 2),

22、 所以 16a+l=2, 解得: a二丄， 16 所以，二次函数的关系式是：y= x2+l； 1 Q 所以，抛物线 = 的开口向 下, 顶点为(4,匹、 I 5丿 对称轴为直线x = 4 Q (2)因为 0D 二 8 米， 设点 A 的处标是 (-8, y), 所以 y 二丄 X (-8) Si 二 5, 16 因此，柱子 A D 的高为 5 米。 13. 解：设二次函数解析式为：汽(x-1) 2, 因为二次函数图象过点B (3, 4), 所以 4a=4, 解得： a=l,所以, 二次函数解析式为 : y= (x-1) 2,即 y-x2-2x+lo 14. 解：设二次函数解析式为：y=a (x

23、-1) M, 因为二次函数图象过点B (3, 0), 所以 4a-4=0, 解得： a“,所以，二次函数解析式为：y 二(x-1) -4,即 y=x 2-2x-3 o 15. 解：设二次函数的一?般形式：y=ax 2+bx+c (aHO), 把点 A (1, 2)、B (2, 2)、C (3, 4)分别代入： y 二 ax+bx+c 中, 得： a+b+c=2, 4a+2b+c二 2, 9a+3b+c=4, 解得： a=l, b 二- 3, c=4, 所以二次函数的解析式为：y 二 x3x+4。 16. 分析： Y 因为，每个房间每天的定价每增加20元时，就会有10 个房间空闲，现在增加x 元

24、，折合一个20 元，所 20 X 以，有 (X10)个房间空闲；空房间数+入住房间数二100,这样第一问就解决了；房间收费数额应该等 20 于房间的定价乘以房间的数虽。 解： (1) y = 100 + x , y2 =丄 x； 2 (2) y = (100 +兀) ? (100- 丄兀) 1 ? 即：Y=( 兀50)2 +1 1250 2 当 x=50 时, 可获最大包房收入11250元，因为 1125010000o 乂因为每次提价为20 元，所以 , x 是不可能収到50,根据二次函数的対称性，与50 最接近的两个数，都 能使利润获得最大化， 而与 50 最接近的两个数分别是40或 60,

25、 所以，每间包房晩餐应提高40 元或 60 元。 17. C 18. D 19. C 20. A 21. D 22. D C类试题 23. 解析： 确定二次函数的可能解析式时，要仔细观察好图像的所有细节， 主要是： 抛物线的开口方向，它确定解析式中a的符号，开口向上是说明対应函数的a是正的，否则，就是负的； 图像与 x 轴交点的他标：交点的朋标是满足函数的解析式的，因此，只需代入解析式验证即可； 抛物线的对称轴：看图像的位置，人致判断对称轴的正负性，示结合解析式验证是否和符，相符，就有可 能，否则，就无可能； 抛物线与 y 轴的交点位置，这也是一个非常重要的环节，它确定二次函数中的常数c 是正

26、还是负，或是 0。 看图像，开口向下，所以，a是小于 0,所以， A 是不可能的； 对称轴是正的， BP-0,所以， a、b 是异号，这样 , C 是不可能的 ; 2a 图像 Ai x 轴的一个交点坐标是（-1, 0）, 1 0 1 代入尸 -一/+ x + 1 屮，函数值不是0,所以， B 不可能的，因此，正确的答案是D。 2 2 解：选 D。 24. 分析：同学们乍看，感觉是不知如何去求解，因为，同学们没有学过这样的问题，但是，与此问题相 近的问题我们是学过，就是求一个点关于原点的对称的对称点的坐标，所以，只要我们从函数图像上确定 几个关键点，然后求出这些关键点的对称点坐标，再确定函数的图

27、像，我们觉得这条路子是行的通的。 因为，抛物线y = 2 兀一 3 的顶点坐标是（ 1, -4）,与 y 轴的交点坐标是（ 0, -3）, 所以，顶点（ 1, -4）关于原点 0 （0, 0）对称的对称点的坐标是（-1, 4）, （0, -3）关于原点 0 （0, 0）对称的对称点的坐标是（0, 3）, 所以，对称函数的解析式为：y = d(x + l)2+4, 把( 0, 3)代入，得： 3=a+4,所以， a=-l, 所以，函数的解析式是：y = (X +1)2+4，即 y = 2 兀+ 3。 点评：把不熟悉的图像对称问题转化成熟悉的点对称问题，正是数学的转化思想在二次函数屮的具体应丿 I

28、J。 25. 设 XX10 为提高的价格，利润为Y 所以 Y= (50-X) (180+10XX)-20X (50-X) Y=-10X 2+340X+8900 Y=-10(X 2-34X-890) 所以当 X=17 的时候利润最大 即提高 170 元的单价 350元, 最大利润为 11790元 26.(1) f(x) 二 x40-(x-270)/10-20*(x-270)/10 1 9 1 9 (2) f(x) =一一X2+65X + 540,/(X) =一一(x-325) 2 + 1 1102.5 10 10 ? ? 当x 为 325时, 月收益达到最大值11102.5。 (3) 刀收益相等

29、。 27. 解：( 1)设抛物线的解析式为：风二叭兀一1 尸+4 把A (3,0)代入解析式求得 所以儿 =一( 兀一 1)2 + 4 = -x 2 +2x + 3 设直线应的解析式为：y2=kx + b 由 X =-x 2+2x + 3 求得点的坐标为 ( 0,3) 把 4(3,0), (0,3)代入 y2=kx + b中 解得：k=,b = 3 所以 J2 = _兀+ 3 (2)因为 C 点坐标为 (1,4) 所以当力 =1 吋，yi=4, . = 2 所以CD=Z = 2 SSCAB =-x3x2 = 3 （平方单位） (3)假设存在符合条件的点只设戶点的横坐标为曲必的铅垂高为力, 贝

30、ij h - y 一y2 = (-x 2 + 2 兀 + 3) (-x + 3) = -x 2 + 3x 9 “ l：l：l SPAF SgR 8 19 得：_x3x(-x 2 +3x) = -x3 28 化简得：4x2 -12x + 9 = 0 3 解得，兀二一 2 3 将 x =-代入 X 二一兀 2 +2X + 3中， 2 ? 3 15 解得 P点朋标为 ( 二上) 2 4 2&分析：本题在解答时，用到的主要知识点有： 1、 一元二次方程的判别式： 抛物线 M x 轴有两个交点一b2-4ac0； 抛物线与 x 轴冇一个交点一b2-4ac=0, 抛物线与 x 轴没有交点一 b2-4ac 0 所以，不论 a为何实数，此函数图彖打x 轴总有两个交点。 (2)设 xi、X2 是y = x 2 + dx + ? - 2 = 0 的两个根， 贝 ij 兀+ 兀 2 = 一。， X ?兀 2 = _ 2, 因为，两交点的距离是JTL 所IUI X. -x 2 1= 7( X I-%2) 2 = V13 o 即：(%,-%2)2 =13 变形为： ( 兀+x2)2一 4兀 ?兀2 = 13 所以：(a)24(a 2) = 13 整理得：(67-5)(67+ 1) = 0 解方程得：。 =5或一1 又因为：a0 所以：a二一1,所以，此二次函数的解析式为y = x 2-x-3o