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1、8待定系数法求二次函数解析式的初中数学组卷 一. 选择题（共 24 小题） 1.（2015 秋 ?海安县校级期屮）一抛物线和抛物线y= - 2x2的形状、开口方向完全相同，顶 点坐标是（?1, 3）,则该抛物线的解析式为（） A. y= - 2 （x - 1） 2+3 B. y 二? 2 （x+1） 2+3 C. y= - （2x+l）2+3 D. y= - （2x - 1）2+3 2.（2015 秋 ?宜昌校级期屮）与y=2 （x?1）存 3 形状相同的抛物线解析式为（） A. y=l+x2 B. y= （2x+l） 2 C. y= （x ? 1） ? D. y=2x 2 2 3.（2015
2、 秋 ?德州校级期中）己知抛物线y=x 2+bx+c 的顶点坐标为 （1, -3）,则抛物线对 应的函数解析式为（） O ? ? 0 A. y=x - 2x+2 B. y=x_ - 2x - 2 C. y= - x - - 2x+l D? y=x - 2x+l 4.（2015 秋 ?东莞校级期屮）若抛物线经过（0, 1）、（ - 1, 0）、（1, 0）三点，则此抛物线 的解析式为（） A. y=x2+l B. y=x2 - 1 C. y= - x 2+l D. y= - x2 - 1 5.（2015 秋 ?会昌县期小）二次函数图象如图所示，则其 解析式是（ 7 0 C? y 二? x - 2
3、x+4 D. y 二? x +2x+3 6.（2015 秋 ?三亚校级月考）如果二次函数y=ax2+bx,当 x=l 时，y=2；当 x=?1 时, 则 a, b 的值是（） A. a=3, b= - 1 B. a=3, b=l C. a= - 3, b=l D. a= - 3, b= - 1 7.（2015 秋 ?西华县校级月考）已知二次函数的图象经过点（1, 10）,顶点坐标为（?1, ?2）,则此二次函数的解析式为（） 0 9 , 9 0 A. y=3x +6x+l B. y=3x+6x - 1 C. y=3x - 6x+l D. y= - 3x - 6x+l 8.（2015 秋 ?赵县
4、校级月考）芳芳在平面直角坐标系画了一个二次函数的图象，并将该图象 的特点写在如图所示的卡片上，则该二次函数的解析式为（） 开口向下；顶点是原点；过点（6, - 6）. A. y= - xB. y=x? C. y= - 6x 2 D. y=6x2 6 6 9.（2014 秋 ?永川区校级月考）若二次函数的图象的顶点坐标为（2, - 1）,且抛物线过 （0, 3）,则二次函数的解析式是（） ?尸22)丄J D. y=l(x-2) 10. （2013 秋 ?江北区期末）如果抛物线经过点A （2, 0）和 B （?1, 0）,且与 y 轴交于点 C,若 002.则这条抛物线的解析式是（） A. y=x
5、 - x - 2 B.y=-x_?x-2 或 y=x“+x+2 C. y= - x?+x+2 D. y=x 2 ? x ? 2 或 y 二- x?+x+2 11.（2012 秋 ?宝丰县校级期末）设抛物线y=X2+8X - k 的顶点在 x 轴上，则 k 的值为（） A.? 16B. 16 C.? 8 D. 8 12. （2012 春 ?雁塔区校级月考）已知抛物线的顶点坐标是（2, 1）,且抛物线的图彖经过（3, 0）点，则这条抛物线的解析式是（） A. y= - x“ - 4x - 3 B? y= - x ? 4x+3 C. y=x - 4x - 3 D. y= - x_+4x - 3 13
6、. （2011 秋 ?济宁期屮）已知点A （ - 1, 0）在抛物线 y=ax 2+2 , 则此抛物线的解析式 为（） A. y=x2+2 B. y=x 2 - 2 C. y= - x2+2 D. y=? 2x2+2 14. （2010* 石家庄一模）如图所示，在平而直角坐标系小，二次函数y=ax2+bx+c 的图彖顶点 为 A （ - 2, - 2）,且过点 B （0, 2）,则 y 与 x 的函数关系式为（） A. y=x2+2 B. y= （x ? 2） 2+2 C. y= （x ? 2） ?2 D. y= （x+2） 2 - 2 15. （2010 秋 ?梁园区校级期末）若所求的二次函
7、数图彖与抛物线y=2x 2 - 4x - 1 有相同的顶 点，并且在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大，在对称轴的右侧，y 随 x 的增大而减小， 则所 求二次函数的解析式为（） A. y= - x +2x+4 B. y= - ax“ - 2ax - 3 （a0） C. y=? 2x ?4x?5 D. y=ax ? 2ax+a ?3 （a0. A. 24. 已知抛物线的顶点是 A. y= - 3x 2 - 2x+2 B- （气, 护与 y 轴交点的纵坐标为2,则它的解析式为（ y=3x 2+2x+2 C. y= - 3x?+2x - 2 D. y= - 3x2 - 2x - 2 27. （
8、2016*抚顺模拟）已知二次函数y=x 2+bx+c 的图象经过点（ - 1,0）, （4, 0）,则 c 二 _ 28.（2016* 安徽四模）已知二次函数的图象的顶点为（1,4）,且图象过点（?1,?4）,则 该二次函数的解析式为_ . 29.（2016* 陕西校级模拟）已知二次函数y 有最大值 4,且图象与 x 轴两交点间的距离是8, 对称轴为 x=?3,此二次函数的解析式为_ ? 30.（2015* 海安县校级模拟）若抛物线y=x?bx+9 的顶点在 x 轴上，则 b 的值为 _ - 31.（2015?广陵区一模）如图，二次函数y=ax 2+bx+c 的图象经过点 （-1, 0）、（3
9、, 0）和 （0, 2）,当 x=2 时，y 的值为 _ . 待定系数法求二次函数解析式的初中数学组卷 参考答案与试题解析 一. 选择题 ( 共 24 小题) 1.(2015 秋 ?海安县校级期中) 一抛物线和抛物线y= - 2x 2 的形状、开口方向完全相同，顶 点坐标是 ( ? 1, 3),则该抛物线的解析式为 ( ) A. y= - 2 (x - 1) 2+3 B. y 二? 2 (x+1) 2+3 C. y二- (2x+l) 2+3 D. y= - (2x - 1) 2+3 【分析】直接利用顶点式写出抛物线解析式. 【解答】解 : 抛物线解析式为y=-2 (x+1) 2+3. 故选 B
10、. 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时， 要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解. 一般地，当己知抛物 线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组來求解；当已知抛物线的顶点或 对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时 , 可选择设其解析 式为交点式来求解 . 2.(2015 秋 ?宜昌校级期中 ) 与 y 二 2 (x?l) ?+3 形状相同的抛物线解析式为( ) A. y=l+A-x 2 B? y 二(2x+l) 2 C ? y 二(x ? 1) ? D? y 二 2x? 【分
11、析】抛物线的形状只是与a 有关， a 相等，形状就相同 . 【解答】解： y=2 (x?1)2+3 中, a=2. 故选 D. 【点评】本题考查抛物线的形状与a 的关系，比较简单 . 3.(2015 秋 ?德州校级期中 ) 己知抛物线 y=x 2+bx+c 的顶点坐标为 (1,?3),则抛物线对 应的函数解析式为 ( ) 7 0 ? 7 A、y=x“ - 2x+2 B. y=x - 2x - 2 C. y= - - 2x+l D. y=x“ - 2x+l 【分析】利用配方法把二次函数化为顶点式，得出顶点坐标，比较得出答案即可. 【解答】解： A、y=x2 - 2x+2= (x- 1) 2+1,
12、顶点坐标为 (1, 1),不合题意； B、y=x2 - 2x - 2= (x - 1) 2 - 3,顶点坐标为 (1, - 3),符合题意； C、 y= - x2 - 2x+2= - (x+1) 2+3,顶点坐标为 ( ? 1, 3),不合题意； D、y 二 X 2x+l 二(x?l) S 顶点坐标为(1, 0),不合题意 . 故选： B. 【点评】此题考查待定系数法求函数解析式，利用配方法化为顶点式，求得顶点坐标是解决问 题的关键 . 4.(2015 秋 ?东莞校级期中 ) 若抛物线经过(0, 1)、( - 1, 0)、(1, 0)三点，则此抛物线 的解析式为 ( ) A. y=x2+l B
13、. y=x2 - 1 C. y= - x 2+l D. y= - x2 - 1 【分析】由于已知抛物线与x 轴的交点坐标，则可设交点式y=a(x+l) (x- 1), 然后把(0, 1)代入求 出 a 的值即可 . 【解答】解：设抛物线解析式为y=a (x+1) (x- 1), 把（），1）代入得 aXlX （?1） =1,解的 a=?1, 所以抛物线解析式为y=?（x+1） （x?1）,即 y=-x 2+l. 故选 C? 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时， 要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解. 一般地，当已知抛物
14、 线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或 对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时 , 可选择设英解析 式为交点式来求解 . 5.（2015 秋 ?会昌县期中）二次函数图象如图所示，则其 解析式是（ 7 9 C. y= - x - 2x+4 D. y= - x+2x+3 【分析】根据二次函数的性质，观察函数图象，利用开口方向可淘汰B,利用对称性可淘汰 C,利用抛物线与 y 轴的交点坐标可淘汰D,从而得到 A 为正确选项 . 【解答】解：?抛物线开 口向下， ?aV0,所以 B 选项错误；? 抛物线的对称轴在y 轴的右侧
15、, ，心护 ?b0,所以 C 选项错误； ?抛物线与y 轴的交点为（0, 4）, ?.c=4,所以 D 选项错误 . 故选 A. 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式吋， 要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解. 一般地，当已知抛物 线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组來求解；当已知抛物线的顶点或 对称轴时，常设其解析式为顶点式來求解；当己知抛物线与x 轴有两个交点时 , 可选择设其解析 式为交点式来求解 . 6.（2015 秋 ?三亚校级月考）如果二次函数y=ax2+bx,当 x=l 时，y=2；当 x=
16、?1 时，y=4, 则 a, b 的值是（） A.a=3, b= - 1 B. a=3, b=l C. a= - 3, b=l 【分析】把两组对应值分别代入y=ax2+bx 得到关于取 b 的方程组，然后解方程组即可. D. a= - 3, b= - 1 解得二 所以抛物线解析式为y=3x 2-x. 故选 A. 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时， 要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解. 一般地，当已知抛物 线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或 对称轴时，常设其解析式为顶点
17、式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点吋 , 可选择设其解析 式为交点式來求解 . 7.（2015 秋 ?西华县校级月考）已知二次函数的图象经过点（1, 10）,顶点坐标为（?1, ?2）,则此二次函数的解析式为（） 0 9 , 9 0 A. y=3x +6x+l B. y=3x+6x - 1 C. y=3x - 6x+l D. y= - 3x - 6x+l 【分析】根据抛物线的顶点坐标设出，抛物线的解析式为：y=“ （x+1） 2?2,再把（ 1, 10） 代 入，求出 a 的值，即可得出二次函数的解析式. 【解答】解：设抛物线的解析式为：y=a （x+1） 2-2, 把（1, 10）代入
18、解析式得 10=4a-2, 解得尸 3, 则抛物线的解析式为： y=3 （x+1） 2 - 2=3X2+6X+1 . 故选 A. 【点评】本题主要考查了用待定系数法求二次函数解析式，在己知抛物线顶点坐标的情况下, 通 常用顶点式设二次函数的解析式. 8.（2015 秋 ?赵县校级月考）芳芳在平面直角坐标系画了一个二次函数的图象，并将该图象 的特点写在如图所示的卡片上，则该二次函数的解析式为（） 开口向下；顶点是原点；过点（6, - 6）. A. y=- 丄/ B. y=C. y= - 6x 2 D. y=6x2 6 6 【分析】由于已知抛物线的顶点坐标，则可设顶点式y=ax2,然后把（6,?6
19、）代入求出 a 即可. 【解答】解：设抛物线解析式为y=ax2, 把（6, - 6）代入得 36a= - 6,解得 a 二- 丄， 6 所以抛物线解析式为尸?lx 2. 故选 A. 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时， 要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解. 一般地，当已知抛物 线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组來求解；当已知抛物线的顶点或 对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当己知抛物线与x 轴有两个交点时 , 可选择设其解析 式为交点式来求解 . 9.（2014 秋 ?永川区校级月考）若二次函
20、数的图象的顶点坐标为（2, - 1）,且抛物线过（0, 3）,则二次函数的解析式是（） 【解答】解：根据题意得 a+b=2 b=4 2-1 【分析】根据二次函数的顶点式求解析式. 【解答】解：设这个二次函数的解析式为y=a (x-h) 2+k ?二次函数的图象的顶点坐标为(2,?1), ?二次函数的解析式为y 二 a (x-2) 2- 1, 把(0, 3)代入得沪 1, 所以 y 二(x - 2) 2 - 1. 故选 C. 【点评】主要考查待定系数法求二次函数的解析式. 当知道二次函数的顶点坐标时通常使用二 次函数的顶点式来求解析式?顶点式：y=a (x?h) 2+k. 10. (2013 秋
21、 ?江北区期末 ) 如果抛物线经过点A (2, 0)和 B ( - 1, 0),且与 y 轴交于点 C,若 002.则这条抛物线的解析式是( ) A. y=x2 - x - 2 B. y= - x 2 - x - 2 y=x 2+x+2 C. y= - x?+x+2 D. y=x 2 ? x ? 2 或 y 二- x2+x+2 【分析】由于已知抛物线与x 轴的交点坐标， 则可交点式 y=a (x - 2) (x+1), 再由 002 得到 C点坐 标为(0, 2)或(0, -2),然后把(0, 2)和(0, -2)分别代入 y 二 a (x-2) (x+1) 可求出对应的 a 的值，从而可得抛
22、物线解析式. 【解答】解：设抛物线解析式为尸a (x?2) (x+1), V0C=2, ?C 点坐标为(0, 2)或(0, -2), 把 C (0, 2)代入尸 a (x-2) (x+1) 得&? ( -2) *1=2,解得 a=- 1,此时抛物线解析式为 y 二- (x-2) (x+1), 即 y 二-x?+x+2； 把 C (0, - 2)代入 y=a (x - 2) (x+1) 得 a?(-2) *1= - 2, 解得 a=l,此时抛物线解析式为 y 二(x ? 2) (x+1),即 y=x 2 -x-2. 即抛物线解析式为y= - X2+X+2 或 y=x?x?2. 故选 D. 【点评
23、】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时， 要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解. 一般地，当已知抛物 线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或 对称轴吋，常设英解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点吋 , 可选择设其解析 式为交点式來求解 . 11. (2012 秋 ?宝丰县校级期末) 设抛物线 y=x?+8x - k 的顶点在 x 轴上，则 k 的值为 ( ) A.? 16 B. 16 C.? 8 D. 8 【分析】顶点在 x 轴上，所以顶点的纵坐标是0? -Air -殳
24、 2 【解答】解：根据题意得 二 0, 4X 1 A. y=- 0） C. y= - 2x - 4x - 5 D. y=ax - 2ax+a - 3 （a3 时, y0. 【分析】观察可知抛物线的图象经过(1, 0), (3, 0), (0, 3),可设交点式用待定系数法得到二次函数 的解析式 . y0 时，求 X 的取值范围，即求抛物线落在X 轴上方时所对应的X 的值 . 【解答】解：观察可知抛物线的图象经过(1, 0), (3, 0), (0, 3), 由“ 交点式 “，得抛物线解析式为y 二 a (x - 1) (x - 3), 将(0, 3)代入， 3=a (0-1) (0-3), 解
25、得 a=l. 故函数表达式为y=x2 - 4x+3. 由图可知当 x3 时，y0? 【点评】在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设 出关系式，从而代入数值求解. 一般地，当己知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法 列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解； 当已知抛物线与x 轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解. 27. (2016* 抚顺模拟 ) 已知二次函数 y=x2+bx+c 的图象经过点 (- 1, 0), (4, 0),则 c 二_二 4. 【分析】由于已知抛物线与x 轴的交点坐标，则可用交点
26、式表示解析式为y= (x+1) (x?4), 然后 变形为一般式即可得到c 的值. 【解答】解：抛物线的解析式为尸(x+1) (x-4), 即 y=x2-3x-4, 所以 c= - 4. 故答案为 - 4. 【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时， 要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解. 一般地，当已知抛物 线上三点吋，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或 对称轴时，常设其解析式为顶点式來求解；当已知抛物线与x 轴有两个交点时 , 可选择设其解析 式为交点式來求解 . 28. (2016
27、?安徽四模 ) 已知二次函数的图象的顶点为(1, 4),且图象过点 ( ? 1,?4),则 该二次函数的解析式为y 二?2(x?1)莓 4 . 【分析】根据题意，二次函数的图象的顶点坐标为(1,4),可设其顶点式，将 (- 1, -4) 代入可得 . 【解答】解：根据题意，可设二次函数解析式为：y=a (x- 1) 2+4, 将( ? 1,?4)代入解析式可得： 4a+4= - 4, 解得： a= - 2, ?二次函数解析式为：y=-2 (x- 1) 2+4 故答案为： y= - 2 (x - 1) ?+4. 【点评】本题主要考查二次函数解析式的求法，根据题意设出合适的函数形式是解题的关键,
28、- 般有三种设法：一般式、顶点式、交点式. 29.(2()16 ?陕西校级模拟) 已知二次函数 y 有最大值 4,且图象与 x 轴两交点间的距离是8, 对称 轴为 x 二?3,此二次函数的解析式为丄(x+7) (x - 1)? 【分析】根据抛物线的对称性得到抛物线与x 轴的两个交点坐标， 然后把顶点坐标(-3,4) 代入函 数解析式 y=a(x+7) (x- 1) 求得系数 a 的值. 【解答】解： ?该函数图象与x 轴两交点间的距离是8,对称轴为 x 二?3, ?抛物线与x 轴的两个交点坐标是(0,?7)、(0, 1). 故设该抛物线解析式为y 二 a (x+7) (x - 1) (aHO)
29、. 把顶点 (- 3, 4)代入得到： 4=a ( -3+7) ( - 3 - 1), 解得 a=?丄 . 4 则该二次函数解析式为：y 二-丄(x+7) (x- 1). 4 故答案是： y= - (x+7) (x - 1). 4 【点评】木题考查了待定系数法求二次函数解析式. 根据题意得到抛物线与x 轴的两个交点坐 标和顶点坐标是解题的关键. 30.(2015 ?海安县校级模拟) 若抛物线 y=x?bx+9 的顶点在 x 轴上，则 b 的值为 6? 2 【分析】抛物线 y=ax 2+bx+c 的顶点坐标为 (- 鸟， 4aC b ), 因为抛物线 y=x2 ?bx+9 2a 4a 的顶点在
30、X 轴上，所以顶点的纵坐标为零，列方程求解. 【解答】解： ?抛物线y=x2?bx+9 的顶点在 X 轴上， 2 2 ?顶点的纵坐标为零，即y- 4ac b -36 b -0 4a 4 解得 b=6. 【点评】此题考查了学生的综合应用能力，解题的关键是掌握顶点的表示方法和x 轴上的点 的 特点. 31.(2015* 广陵区一模 ) 如图，二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过点 ( ? 1, 0)、(3, 0)和(0, 2),当 x 二 2 时，y 的值为 2 . 【分析】把三点坐标代入二次函数解析式求出a, b, c的值，即可确定出二次函数解析式, 然后 把 x=2 代入解析式即可求得 . 【解答】解： ?二次函数y=ax2+bx+c 的图象经过点 (- 1, 0)、(3, 0)和(0, 2), 2 - b+c 二0 ?9a+3b+c二0， g 则这个二次函数的表达式为尸寺兮乜把 x=2 代入得， y 二- -2 X4+Ax2+2=2. 解得： 3 3 故答案为 2. 【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键.