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1、函数的奇偶性 考纲要求：掌握函数奇偶性（高考要求B） 近三年题题号分布：函数的奇偶性的考察题既有填空题，又有解答题，填空题以5 分出现 , 解答题 每题 12 分。高考试题对本节能力点的考察以了解、理解为主，考察逻辑推理和运算求解能力。高 考试题考查形式两种：一种是给定函数，判断是否具有某种性质。 具体分布如下： 2012年全国各省市对函数奇偶性考察共计4 次。 一、知识要点： 1、 函数奇偶性定义： 如果对于函数7U）定义域内的任意x 都有夬一 x）=/（x）,则称 yu）为奇函数； 如果对于函数人无）定义域内的任意x 都有 xx）=j（x）,则称为偶两数。 如果函数几丫）不具有上述性质，则
2、7U）既不是奇函数也不是偶函数 如果函数同时具有上述两条性质，则几丫）既是奇函数，乂是偶函数。 2、 函数奇偶性的判定方法：定义法、图像法 （1）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： 首先确定函数的定义域是否关于原点对称；确定fi-x ）与几丫）的关系；作出相应结 论： 若夬一兀 ）=y 0) /(%) = Vx 2-lVl-x2 非奇 非偶 偶函数（利用定义域去绝对值） 1、(2008天津文 .16)设函数 /(x)在(-co, +oo)内有定义 , 下列函数： ?y=f I；)pf ( 兀彳) ；) =/*( x)；?y=f (x) f (x)o 必为奇函数的有 ( 要求 填写正确答案的序号
3、 ) 二、函数奇偶性的证明 【例 2】已知函数 f(x),当 x,yWR 时，恒有 f(x+y)=f(x)+f(y). 求证： f(x) 是奇函数 ; 证明 I?函数定义域为R,其定义域关于原点对称.?.?f(x+y)=f(x)+f(y), 令 y=-x,f(0)=f(x)+f(-x). 令 x=y=0,?f(0)=f(0)+f(0), 得 f(0)=0.?f (x) +f (-x) =0, 得 f(? x)=? f(x),?.f(x)为奇函数 . 当堂练习 a(2 x + 1)-2 1、已知 f(x)= -是奇函数，则实数a的佰等于1 2 X + 1 三、函数奇偶性的应用 【例 3】设定义在
4、卜2, 2上的偶函数 f(x) 在区间 0, 2上单调递减，若f(l-m) ) 2 当堂练习 1、 已知函数 /( 兀)是偶函数，而且在 (0,+OO) 上是减函数，判断/ 在 (-00,0)上是增函数 还是减函数，并证明你的判断. 2、 函数 y = /(%)是 R 上的偶函数 , 且在(-00,0上是增函数 ,若/ “(2),则实数 Q 的 取值范围是a2,或 aS? 2 _ 四、综合应用 【例 5】f(x)、g(x)都是定义在 R上的奇函数 , 且 F(x)=3f(x)+5g(x)+2, 若 F(a)=b,则 F(-a)= ? b+4 当堂练习 1、已知函数 f(x)=g(x)+2,xW
5、 ? 3, 3,且 g(x)满足 g(-x)=-g(x), 若 f(x) 的最大值、最小值分别为 M、 N,则 M+N= 4. 【例 6已知函数f( x) = 为奇函数， / 0. a 3a a 3a 下证 : 当 d0 时，在 (0,+8) 上 f (兀)=匸二 1是增函数。 ax 在(0,+oO) 内任取 X1，X2，且 X 产 X2，那么 /( X l) f( X 2) = - - + - =丄(州一丟 )( 1 -) V 。 a ax x a ax2 a一 xx2 r2 _4 即/( “)0时，在 ( 0，+O) /(X) = 是增函数 ax 2 所以 ，/(2)=0, /(4)=-=
6、 ,解得 = 2. 2 4a “ 、v 2 _4 综上所述： = 2, b = 0, c = -4, f(x)= - 2x (2) ?/( 兀)=匚电为奇函数，?/( 兀)=匸二兰在 ( 一叫 0)上也是增函数。 2x 2x 3 3 3 X-3。. a + b (1) 判断函数兀 0 在1,1上是增函数，还是减函数，并证明你的结论； (2)解不等式：沧 +；)勺亠 )； 2 x-1 (3) 若人比加 22p加+1 对所有兀 G 1,1,pw 1,1 (p 是常数 ) 恒成立 , 求实数加的取 值范围 . 解：( 1)函数. 心) 在一 1, 1上是增函数 . 证明：设任意xirr2e一 1,1
7、，且七 0, 兀 2 + (-坷) *.*X2+( X)=X2Xi0 A：1 )0, 即 y( 兀 2)狄兀 1),所以函数夬兀 ) 在 1，1上是 增函数 . -I - 2x-1 (3) 由以上知犬兀 ) 最大值为夬 1)=1,所以要夬对所有兀丘 1,1 ,p (2) /( X) = y/x 1 + X；(3) f(x)=x 2 +1 ( X 卜 10,10); 2. 函数 f(x),g(x) 在区间 -a, a (a0)上都是奇函数，则下列结论：f(x)? g(x)在-a,a 上是奇 函数； f(x)+g(x) 在? a,a上是奇函数； f(x) g(x) 在? a,a上是偶函数 ; f(0)+g(0)=0, 其中 正确的个数是 3. 知 函 数J(x)(xeR)是 奇 两 数， 且 x 0 时 J(x) = lx + x 3, 则x 0. 22. 已知函数沧）是（一oo, +oo）上的奇函数，比心）的图象关于兀=1 对称，当用0,1时， 沧） =2V-1, 求证： 7U）是周期函数；当圧1,2时，求 7W 的解析式； 计算 HO） +X1） + 雁）+A2013）的值. 18. 如果函数歹 = 2x-3,(x 0), /(x),(x0 ) . 是奇函数 , 则 /W= _