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1、木文为自木人珍藏版权所有仅供参考 浅谈二次函数在高中阶段的应用 中山市第一中学常洁 在初小教材屮，对二次函数作了较详细的研究，由于初屮学生基础薄 弱，又受其接受能力的限制，这部份内容的学习多是机械的，很难从本质 上加以理解。进入高屮以后，尤其是高三复习阶段，要对他们的基本概念 和基本性质 ( 图象以及单调性、奇偶性、有界性) 灵活应用，对二次函数还 需再深入学习。 一、进一步深入理解函数概念 初屮阶段已经讲述了函数的定义，进入高小后在学习集合的基础上 又学习了映射，接着重新学习函数概念，主要是用映射观点來阐明函数, 这时就可以用学生已经有一定了解的函数，特别是二次函数为例來加以更 深认识函数的
2、概念。二次函数是从一个集合A (定义域 )到集合B ( 值 域) 上的映射使得集合B屮的元素y=ax2+bx+c(aO)与集合A 的元素X对应， 记为/(x)= ax 2+ bx+c(aHO)这里 ax+bx+c表示对应法则 , 又表示定义域屮的 元素X在值域屮的象，从而使学生对函数的概念有一个较明确的认识，在 学生掌握函数值的记号后，可以让学生进一步处理如下问题： 类型I：已知/(x)= 2x+x+2,求/(x+1) 这里不能把/(x+1)理解为x=x+l时的函数值，只能理解为自变量为 X+1的函数值。 类型II：设/(x+l)=x?4x+l,求/(x) 这个问题理解为，已知对应法则/ 下，
3、定义域屮的元素x+1的象是X 2- 4X+1,求定义域屮元素X的象，其本质是求对应法则。 一般有两种方法： (1)把所给表达式表示成x+1的多项式。 f (x+l)=x 24x+l=(x+l)26 (x+1)+6，再用 x 代x+1 得/(x) =x 26x+6 (2)变量代换：它的适应性强，对一般函数都可适用。 令t=x+l,则x=tl (t) = (t-1) 24 (t-l)+l=t26t+6 从而/ (x)= x26x+6 二、二次函数的单调性，最值与图象。 在高屮阶阶段学习单调性吋，必须让学生对二次函数y=ax2+bx+c 在 区间(一 I 一舟及一，+e 上的单调性的结论用定义进行严
4、格的论 证，使它建立在严密理论的基础上，与此同吋，进一?步充分利用函数图象 的直观性，给学生配以适当的练习，使学生逐步口觉地利用图象学习二次 函数有关的一些函数单调性。 类型III：画出下列函数的图象，并通过图象研究其单调性。 (1)y=x 2+21 x11 1 (2)y=|x 2-l| (3)= X 2+2|X |-1 这里要使学生注意这些函数与二次函数的差杲和联系。掌握把含有绝 对值记号的函数用分段函数去表示，然后画出其图象。 类型IV设/(X)=X 2-2X -1在区间t,t+l的最小值是g(t)0 求：g(t)并画出y=g(t)的图象 解：/(x) =x 22xl=(xI)22,在 x
5、=l 时取最小值一2 当1 W t, t+1即OWtWl, g(t)= 2 当tl 时,g(t)=/(t)=t 22t 1 当tvo 时,g(t)=/(t+l)=t 2-2 -V 2, (tl) 首先要使学生弄清楚题意，一般地，一个二次函数在实数集合R上 或 是只有最小值或是只有最大值，但当定义域发生变化吋，取最大或最小值 的情况也随之变化，为了巩固和熟悉这方面知识，可以再给学生补充一些 练习。 如：y=3x 25x+6 (-3WxW 1),求该函数的值域。 三、二次函数的知识，可以准确反映学生的数学思维： 类型V：设二次函数f (x) =ax2+bx+c (a0)方程/(x) x=0的两个根
6、 X，忌满足00,因此/(x) 0,即/(x)-x0.至此，证得x/(0),所 以当x 丘(0, Xi)时/ (x) 0) 函数/(x)的图象的对称轴为直线X二一士，且是唯一的一条对称轴, 因 此，依题意，得Xo=7-,因为X|, X2是二次方程ax 2+ (b1) x+c 二0 , 3 b-1 1 的根，根据违达定理得，X1+X2二一,Vx2 0, a a bl 1 x x 5 一亦方(X1+X2-)-,gPXo=o 二次函数，它有丰富的内涵和外延。作为最基本的幕函数，可以以它 为代表来研究函数的性质，可以建立起函数、方程、不等式之间的联系， 可以偏拟出层出不穷、灵活多变的数学问题，考查学生的数学基础知识和 综合数学素质，特别是能从解答的深入程度屮，区分出学生运用数学知识 和思想方法解决数学问题的能力。 二次函数的内容涉及很广，本文只讨论至此，希望各位同仁在高屮数 学教学屮也多关注这方面知识，使我们对它的研究更深入。