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1、期末复习二一元二次方程 复习目标 要求知识与方法 了解 一元二次方程的概念，一元二次方程的一般形式 一元二 ?次方程根与系数的关系 理解辨别一元二次方程的二次项、一次项的系数和常数项 会选合适的方法解一元二次方程 一元二次方程的根的判别式 运用用一元二次方程解决实际问题 配方法求最值 必备知识与防范点 一、必备知识： 1. 一元二次方程的一般形式：_ , 其中a _ 0. 2. 解一元二次方程的常见方法： _ 、 _ 、 _ 、_ 等. 3. 当_ 20时，一元二次方程ax 2 +bx+c=0的求根公式是_ . 4. _ 叫做一元二次方程ax 2 +bx+c=0 (aHO)的根的判别式，b 2
2、 -4ac0? ； b 2-4ac 0O 方程 ax+bx+cO (aHO)有两个相等的实数根；b2-4ac 0O方稈ax 2+bx+c=0 (aHO) 没有实数根 . 5. 一元二次方程根与系数的关系：如果xi，X2是一元二次方程ax 2 +bx+c=0 (aHO)的两个根，那 么X1+X2= _ , X1 ? x2= _ . 6. 关于x的一元二次方程(m4) x 2 +x+m 2 16=0有一根为0,则m= _ ? 7. 定义：如果一元二次方程ax 2+bx+c=O (aHO) 满足a+b+c=O,那么我们称这个方程为“凤風”方 程. 已知ax2+bx+c=0(aH0)是“凤凰”方程，且
3、有两个相等的实数根，则下列结论正确的是( ) A. a=c B. a=b C. b=c D? a=b=c 8. 某校去年投资2万元购买实验器材，预期今明两年的投资总额为8万元，若该校这两年购买器 材的投资的年平均增长率为X,则可列方程 _ . 9. 某超市销售一种商品，每件商品的成本是20元. 当这种商品的单价定为40元时，每天售出 200件. 在此 ?基础上，假设这种商品的单价每降低2元，每天就会多售出15件. （1） _ 设商品 的单价为x元时销售该商品的利润为4500元，可列方程： _ ； （2） _ 设商 品降价2y元时销售该商品的利润为4500元，可列方程： _ . 二、防范点： 1
4、. 一元二次方程二次项系数不为0； 2. 运用韦达定理时注意A $0, aHO； 3. 求二次三项式最值可运用配方法，也可用A . 例题精析 考点一 一元二次方程的解 例1 （1）（雅安中考）已知关于x的一元二次方程x2+mx-8=0的一个实数根为2,则另一实数根及 m的值分别为（） A. 4,?2 B. -4, -2 C. 4, 2 D. -4, 2 1 Q （2）设a是关于x的方程 :X2-9X+1 = 0的一个实数根 , 求a 2-7a+- 的值; a 2 （3）已知关于x的一元二次方程x2 + mx+2 = 0与x2 + 2x+m = 0有一个公共根，求这个公共根及m 的值. 反思：能
5、使一元二次方程两边相等的未知数的值叫一元二次方程的解. 遇到方程的解，一般先代入方程， 再进行适当的变形 . 考点二求一元二次方程的解 例2 （1）- 元二次方程X 2-2 V3 x=-3 通过配方可化为（） A. （x-2 A/3） 2 =9 B. （x-V3 ） 2 =9 C. （X-2V3 ） 2=0 D. （x-V3 ） 2 =0 （2）给出下列方程：X2+6X-2=0；3X2-4=0；2,-3冶1二0.你认为选用哪种方法解方程较简便 （填 序号）？开平方法： _ ，配方法： _ ，公式法： _ ? 例3用适当的方法解下列方程 (1) (2x-l)乙9二0； (2) X 2-2 A/3
6、X=1； (3) x (x-6) =-2 (x-6)； (4) (2y-l) 2 +2 (2y-l) -3=0. 反思：解一元二次方程的方法比较多，碰到方程先要选择一种较简便的方法求解. 一般情况下一次项系数 为0时，可选择直接开平方法；二次项系数为1, 一次项系数为偶数时，可选择配方法；能因式分解的用 因式分解法，其他往往用公式法. 解题过程中还要注意运用整体思想. 考点三一元二次方程判别式 例4 （1）如果关于x的一元二次方程kxLj2 + l x+l=0有两个不相等的实数根，那么k的取值范 围是 _ ? （2）已知关于x的方程 （m-2） x2+2mx+m+3=0有实根，则m的取值范围是
7、（） A. B. mW6 且mH2 C. m0, 2k+l0；第（2）小题注意是方稈，可允许m-2=0；第 （3）小题二次三项式是完全平方式，则A=0；第（4）小题可用配方法，也可用A法：设2X2-3X+4 =y,移项得2x 2-3x+4-y=0, 将y看做常数，方程必有实根, 二 =9一8 （4-y） 20,解得yN , 8 23 即2x 2-3x +4的最小值为 8 考点四一元二次方程的应用（增长率，市场经济，直角勾股等） 例5 （1）商场在促销活动中，将标价为200元的商品，在打a折的基础上再打a折销售，现该商 品的售价为128元，则a的值是（） A. 0.64 B. 0.8 C. 8
8、D. 6.4 ? （2）（沈阳屮考）某漓场购进一批单价为20元的日用商品 . 如果以单价30元销售，那么半月内可 销售出400件. 根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高元，销售量相 应减少20件，当销售单价是 _ 元时，才能在半月内获得最大利润. 例6如图1,有一块塑料长方形模板ABCD,长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板 PHF的直角顶点P落在AD边上（不与A、D重合），在AD 适当移动三角板顶点P. （1）能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能，请你求出这时AP的长；若不能，请说 明理由； （2）如图2,再次移动三角板位置，使三角板顶点
9、P在AD 移动，直角边PH始终通过点B,另一 - 直角边PF与DC延长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cm?若能，请你求出这时AP的长; 若不 能，请你说明理由 . 反思：利用一元二次方程解决实际问题，往往要找到题意屮的相等关系，当遇到直角三角形时常想 到勾股定理，方程应用中的存在问题可用b 2-4ac 来解决 . 考点五可化为一元二次方程的解法探究 例7请阅读下列解方程 X4-2X2-3=0 的过程 . 解：设X?二y,则原方程可变形为y2-2y-3=0 由(y-1) J4,得y】 =3, y2=-l. 当y=3, X 2=3, ?*.Xi= V3 , x 2=, 当x 2=-l,
10、 无解. 所以，原方程的解为x1=V3, X2=-V3? IVI I 图2 这种解方程的方法叫做换元法. 用上述方法解下面两个方程： (1) X 4-X2 -6=0； (2) (X 2+2 X) 2-2 (X2+2X) -3=0. 反思：换元法可将高次方程化为一元二次方程. 换元后得新方程的解时，不能半途而废，须求出原方程的 解. 校内练习 1. 关于x的方程(m+1) x 2 +2mx-3=0是一元二次方程，则m的取值范围是 ( ) A.任意实数B. mH-1 C. ml D. m0 2. 把一块长与宽之比为2 : 1的铁皮的四角各剪去一个边长为10cm的小正方形，折起四边，可以 做成一个无
11、盖盒子，如果这个盒子的容积为1500cm 3 ,那么铁皮的长和宽各是多少？若设铁皮的宽为xcm, 则正确的方程是 ( ) A. (2x-20) (x-20) =1500 B. (2x-10) (x-20) =1500 C. 10 (2x-20) (x-20) =1500 D. 10 (x-10)(x-20) =1500 3. 如果m, n是菱形的对角线，且是方程 X2-2013X+2014=0的两个根，则菱形的面积为_ . 4. ( 南充中考 ) 己知关于x的一元二次方程(m?3) x-m=0. （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为Xi、X2，且XiW-x?,求m的
12、值. 5. （遂宁中考）阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题. 计算：XX（1+14 2 3 4 2 34 52 3 4 5 2 34 令丄+丄+丄 =t,则原式 =(1-t) (t+-) 1 4 -t?一 t+t 2 _ 1 2 3 45555 55 （1）计 算： 1 1 111 11 1 1 1 1 (1- - - ? - )X (- -1- _10, 方程有两个不相等的实数根； (2) Vx 2- (m-3) x-m=0, 方程的两实根为x】、x2,且XI2+X22-XIX2=7, (Xi+x2) 2-3X IX2=7, (m-3) 2- 3X (-m) =7,解得,m2=2,即m
13、 的值是1 或2? 5. ( 1 ) 设+ + + - - = t, 贝原式 = (1-t ) X ( t+ - )?(1-t - ) X 2 3 4 2015 2016 2016 1 2 t 2 _ 1 t=t -t - -t+t + - . 2016 2016 2016 2016 (2)设x2 + 5x + l=t,原方程可化为：t (t+6) =7, t 2 + 6t-7 = 0, (t + 7) (tl) =0, 得耳= -7, t2 = l,当t=-7 时，X 2 + 5X + 1 = -7,方程无解；当t = l 时，X2+ 5X + 1 = 1,解得X = 0, x2 =5.所以原方程的解为：Xi = 0, x2 = 5. 6. (1)当销售单价定为每千克55元时，月销售量为：500- (55-50) X 10=450 ( 千克) ，所以月销售利润 为：(55-40) X450=6750 元； (2)由于水产品不超过10000一40=250kg,定价为X 元, 则(x-40) 500-10 (x-50) =8000,解得：Xi=80, X2=60.当x讦80 时, 进货500-10 (80-50) =200kg250kg,舍去 . 答：商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应为80 元.