[初二数学]初二数学暑假总复习资料.doc.pdf

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1、初二救摩署假总套习资列 第一部今今式 【知识网络】 【思想方法】 1.转化思想 转化是 i 种重要的数学思想方法，应用非常广泛，运用转化思想能把复杂的问题转化为简单问题, 把生疏的 问题转化为熟悉问题，本章很多地方都体现了转化思想，如，分式除法、分式乘法；分式加减运算的基本思想： 异分母的分式加减法、同分母的分式加减法；解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程，从而得到分 式方程的解等 . 2.建模思想 本章常用的数学方法有：分解因式、通分、约分、去分母等，在运用数学知识解决实际问题时，首先要构 建一个简单的数学模型，通过数学模型去解决实际问题，经历“实际问题- 分式方程模型 - 求解

2、- 解释解的合理性叩勺数学化过程，体会分式方程的模型思想，对培养通过数学建模思想解决 实际问题具有重要意义. 3.类比法 本章突出了类比的方法，从分数的基本性质、约分、通分及分数的运算法则类比引出了分式的基本性质、 约分、通分及分式的运算法则，从分数的一些运算技巧类比引出了分式的一些运算技巧，无一不体现了类比思想 的重要性，分式方程解法及应用也可以类比一元一次方程. 第一徘今式的运篦 【知识要点】1 ?分式的概念以及基本性质； 2?与分式运算有关的运算法则 3.分式的化简求值 ( 通分与约分 ) 4.幕的运算法则 【主要公式】1?同分母加减法则上 = 虫( OH0) a a a a 八rn 亠

3、宀、亠 E b、d be , da be 土 da / c 2. - 异分母加减法则：一 = 一 = - (QHO,CHO); a c ac ac ac 分式的基本性质 分式概念 分式乘除法则I 口分式加减法则I 分式方程的解法 I 分式 分式方程的应用I - 解决一些 简单的实 际问题 小八亠“工、亠人、亠b d bd b c b d bd 3 ?分式的乘法与除法：一? = , J = ?= a c ac a d a c ac 4.同底数幕的加减运算法则: 实际是合并同类项 6?积的乘方与幕的乘方:(ab) m= am b n, 7?负指数幕：ar 5?同底数幕的乘法与除法;al a n =

4、3 = a n_ mn (a m) a 下列分式的值为零 : (2) x 6.Y + 5 () 今式輪基漳彊质女韦矣龜锲 1.分式的基木性质：4二仝胆二也 . B BxM B+M 2.分式的变号法则：三=-三=-亠=片 -b +b -b b 题型一：化分数系数、小数系数为整数系数 【例1】不改变分式的值，把分子、分母的系数化为整数. 8.乘法公式与因式分解: 平方差与完全平方式 (a+b)(a-b)二a?- b? ; (aztb) 1 - a2 3 zt2ab+b 2 ( 一八今式更丈及韦关龜锲 题型一：考查分式的定义 【例1】下列代数式中：兰丄兀，土AXL是分式的有 : 兀 2 yja +

5、b x + y x-y 题型二：考查分式有意义的条件 【例2】当兀有何值时，下列分式有意义 (1) 口(2)亠(3)亠(4) -* x + 4 x2 +2 x2 -3 ( 5) 题型三：考查分式的值为0的条件 【例3】当兀取何值时，下列分式的值为0. (1)(2) x+3 x-4 题型四：考查分式的值为正、负的条件 【例4】( 1)当x为何值时，分式丄为正；8-x (2)当x为何值时，分式7 p 为负; 3 + 仕-1)2 (3)当x为何值时，分式二为非负数. x + 3 练习： 1.当X取何值时，下列分式有意义: ( 1) ! 6 | x | -3 (3) 1 1+- X (1) Y + 5

6、 (2) / J0 X +2x + 3 1 _2 (1)2“_3 尹 (2) 0.2a-0.03b ft 1 ().04t/ + b x + v 3 4 题型二：分数的系数变号 【例2】不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的首项的符号变为正号. (1)土上(2) 一二( 3) -X-y a-b -h 题型三：化简求值题 【例3】已知：丄 +丄=5,求 2一3卩+ 2y 的值x y x + 2xy + y 提示：整体代入，x + y = 3xy,转化出丄 +丄. x y 【例4】己知：兀丄2,求F+丄的值 . X X 2 【例5】若| 兀-y + l|+(2x-3)2 =0,求一 - 的值 .

7、 4x-2y 练习： 1.不改变分式的值，把下列分式的分子、分母的系数化为整数. ) 0.03x-0.2y 0.08x + 0? 5y 4.若席+2。+沪_6 + 10 = 0,求2d的值 . 3 a + 5b 5.女口果lvxv2,试化简 +凶. 2-x| x-11 x () 今式的运尊 1 ?确定最简公分母的方法： 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； 最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幕. 2.确定最大公因式的方法：最大公因式的系数取分子、分母系数的最大公约数; 取分子、分母相同的字母因式的最低次幕. 题型一：通分 【例1】将下列各式分别通分. c b a -2ab“

8、3a 2c“ -5h2c 1 _ x _ 2 x 2 -x “ -2x + x2 x2 -x-2 题型二：约分 (2) 3 0Aa+-h5 1 1 , -a b 4 10 2.已知：x + - = 3, Xx4 +x 2 +1 的值. 3. C知：*十 3, 求2a + 3ab - 2b b-ab-a 的值. a b a-b“ 2b-2a (4) 心口 题型三：分式的混合运算 【例3】计算 : 题型四：化简求值题 【例4】先化简后求值 2 （1）已知：X = - , 求分子1一一 （-1）-（-丄）的值 ; X 2-4 4 X2 x （2）已知：兰 =上=兰，求笃+2.：-3：的; 2 3 4

9、 x2 +y2+z2 （3）已知：a 2-3a + = 0,试求（ / 一_ ）（-1）的值. a 2 a 题型五：求待定字母的值 【例5】若 = 4-，试求的值 . X 2 -1 X+1 练习： 1.计算 2G+ 5 a -1 2a -3 1 - 2(6/+ 1) 2(67 + 1) 2(6/+ 1) 【例2】约分 : (3) H +x-2 x2 -x-6 (1) 込)3.(二)2 *竺几 -c -ab a 旦)20 “4)2 x+ y y + x (3) m + 2n n + n一m m - n n m (4) 2 a , - a-l ； a一1 (5) 2x 4x3 1 一兀1 + x

10、l+x 2 8x 7 l + h 1 + x 8 (6) ( X - l)(x + 1) + ( X + l)(x + 3) + (x + 3)(x + 5) (7) x 2 -2x + 4_2) F) X2-4 (1) 1 2 1 - 1 - ( x 2)(兀- 3) (x - l)(x -3) (x- l)(x - 2) 2.先化简后求值 (3) a-b + c a 2b + 3c F a + b-c b-c + a (5) (a b + 4ab a-b )(a + b- 4ab a + b b-2c a- a 1 -4 1 _ _ s_ ci+ 2 a 2 -2a + a2 - 1 其屮

11、a满足a 2 -a = 0 . 2 _ 2 _ (2)已知x:p = 2:3,求(+刃? ( 二1) 3“各的值 . xy X y L 5x-4 A B (x-l)(2x-l) 7T2X-1 ( 四八 整撤描赦幕鸟科曇祀赦体 题型一：运用整数指数專计算 【例1计算：( 1)( 严)-3 . cT)3 (3) (a + b)%-b)5 2 V(a-bY2(a + b) (2) (3x 3y2z_,)2 ?(5xy_2z3)2 (4)? +刃3心- 刃-22心+刃-6 题型二：化简求值题 【例2】已x + x l =5 ,求(1) X 2 +X-2 的值；( 2)求J+厂 4 的值. 题型三：科学

12、记数法的计算 【例3】计算：(1) (3X10 3 )X(8.2X10 _2 ) 2； (2) (4xl0 -3)2 -s-(2xl0-2)3. 练习： 1.计算：(1) (|-|)-(|)_2-|-|+(1-A/3) +(-O.25)2007 - 42008 (2) (3一0宀7一2)-2.(加-2” ) -3 ?庆尸 / 疔(3a 3b2y(ab3)2 (4) 4(兀- 刃2(“刃-22 2(x + yYx-y)- 2 2.已知F_5X + I = O,求( 1) x + x“ 1 , (2) x2 + x-2 的值. 第二讲今式方程 【知识要点】1.分式方程的概念以及解法； 2.分式方程

13、产生增根的原因 3.分式方程的应用题 【主要方法】1 ?分式方程主要是看分母是否有外未知数； 2.解分式方程的关健是化分式方程为整式方程; 方程两边同乘以最简公分母. 3.解分式方程的应用题关健是准确地找出等量关系，恰当地设末知数. 3.已知: 4.当G为何整数时，代数式 399a + 805 a + 2 的值是整数，并求出这个整数值. (-) 今式方程龜鰹今析 题型一：用常规方法解分式方程 【例1】解下列分式方程 (1) = - ；(2)丄一丄=0； (3) 一一=1； (4) = x-1 x x-3 xx-1 x 2 -1 x + 34 x 提示易出错的几个问题：分子不添括号；漏乘整数项；

14、约去相同因式至使漏根；忘记验根. 题型二：特殊方法解分式方程 【例2】解下列方程 (2)斗凹二曰 + 土 x + 6 x + 8 x + 9 x + 5 【例3】解下列方程组 题型三：求待定字母的值 【例4】若关升的分式方程总亠占有增根，求加的值. 【例5】若分式方程昔“的解是正数，求。的取值范圉. _2 Q 提示 :x = - 0且兀工2, ?av2且。工 -4? 3 题型四：解含有字母系数的方程 【例6】解关于兀的方程 提示 :(1) a,b,c,d是已知数 ; 题型五：列分式方程解应用题 练习 : + JL Xy2 丄+ 1 1 = V Z 3 111 F= z X (1)亠+ 心=4；

15、 x + 1 X 提示：换元法，设冷 =y :( 2)裂项法，凹=1+丄 x + 6 x + 6 1.解下列方程 : X 1 2x (1) + = 0； x +1 1 - 2x (2) “哙 、2x 3 (3) - =2 ； x + 2 x-2 冷 - =1 +字 x +x X-X X -1 x x-9x+1 x-8 - +- = - 1- x 2 x 7 x1 x 6 2.解关于x的方程 : 3.如果解关于x的方程厶 + 2 =一会产生增根，求力的值. x-2 x-2 4.当k为何值时，关于x的方程二 - + 1的解为非负数 . x + 2 (x - )(x + 2) (二) 今式方程的特妹

16、解注 解分式方程，主要是把分式方程转化为整式方程，通常的方法是去分母，并且要检验，但对一些特殊的分式 方程，可根据其特征，采取灵活的方法求解，现举例如下: 交叉相乘法 例1.解方程：丄二丄 X x + 2 二、化归法 例2.解方程： - - =0 x-1 x 2 -1 三、左边通分法 例3：解方程： - 一=8 x-7 7-x 四、分子对等法 例4.解方程：丄 + =丄+ (aHb) a x b x 五、观察比较法 例厂解方私為 +罟# 六、分离常数法 x + 1 x + 8 x + 2 x + 7 - 1 = 1 x + 2 x + 9 x + 3 x + 8 七、分组通分法 1111 -

17、1 - = - 1 x + 2 x + 5 x + 3 x + 4 () 今式方程求将良常母值的方试 例1.若分式方程口二且无解，求加的值。 x 2 2 x 例2.若关于兀的方程 + 4 = 不会产生增根，求佥的值。 X-1 X 2 -1 X+1 例？. 若关于兀分式方程土+士二土有增根，独的值。 (5) 5x 4_2x + 5 1 2x 4 3x 2 2 (6)丄x+1 x+5 x+2x+4 (7) 5 己知关于“的分式方程雪H 无解 , 试求a的值 . 例6.解方程 : 例7.解方程 : 例4.若关于x的方程-r+4z=4- ! -有增根“I ，求p的值。 X -X + X X -1 一、

18、基础知识 L L 1.定义：一般地，形如y = - （k为常数，kfo）的函数称为反比例函数。y二一还可以写成y = kx- x x 2.反比例函数解析式的特征： 等号左边是函数尹，等号右边是一个分式。分子是不为零的常数 （也叫做比例系数） , 分母中 含有自变量X,且指数为L 比例系数20 （3）自变量x的取值为一切非零实数。 函数尹的収值是一切非零实数。 3.反比例函数的图像 图像的画法：描点法 列表（应以0为中心，沿0的两边分别取三对或以上互为相反的数） 描点（有小到大的顺序） 连线（从左到右光滑的曲线） 反比例函数的图像是双曲线，y =-（力为常数，20）中自变量XHO,函数值yHO,

19、所以 x 双曲线是不经过原点，断开的两个分支，延伸部分逐渐靠近坐标轴，但是永远不与坐标轴相交。反比例 函数的图像是是轴对称图形（对称轴是y = xiy = -x）o 反比例函数y = -（工0）中比例系数A:的几何意义是：过双曲线y =-（広工0）上任意引兀 X X 轴y轴的垂线，所得矩形面积为网。 4.反比例函数性质如下表： k的取值 图像所在象限函数的增减性 k o一、二象限在每个象限内，尹值随x的增大而减小 k兀20勺 X 则下列各式正确的是（） A.儿 X 儿B.儿 儿 X C. X 儿 必D. X 儿 y2 【解析】可直接以数的角度比较大小，也可用图像法，还可取特殊值法。 ? X x

20、2 0 x3, .? - y3 y y2所以选A 解法二：用图像法，在直角坐标系屮作出y = -的图像 描出三个点，满足X兀2 0兀3观察图像直接得到 儿71尹2选A 解法三：用特殊值法?歼兀20屯， ? ?令兀1二2,兀2 =1,兀3 =一1?北=-py2二一1，尹3 =1， ? 尹3尹1 尹2 【例3如果一次函数y = mx + n （mo ）与反比例函数夕 =色匸巴的图像相交于点（丄,2）,那么x 2 该直线与双曲线的另一个交点为（） 【解析】 ?直线为y = 2x +1,双曲线为y二丄解方程组 x X =-1 2 12=2 【例4如图，在RZOB 中，点力是直线y = x + m与 双

21、曲线y = 在第一象限的交点，且 ? ?直线y = mx + 与双曲线尹 = 1 c 尹+心2解得 3/7 解法一：由题意得戸=一一 y = 2x1 1 y =- 兀 1 y2 =一 兀 2 解: 因为直线尹= x + m与双曲线y = it点/ ，设/ 点的坐标为（心 , 儿）?X 则有卩4 +加，卩4 =一?所以加 =1卩4? 又点A在第一象限，所以OB = |心| = xB = | 儿| = yA . 所以S “OB =*0? /3 = *心尹/ =* ?而已知Sf伽=2. 所以加=4. 三、练习题 2 1.反比例函数尹二一一的图像位于（） x A.第一、二象限B.第一、三象限C.第二、

22、三象限D.第二、四象限 2. 若尹与x成反比例，兀与z成正比例，则尹是乙的（A、正 比例函数B、反比例函数C、一次函数 ） D、不能确定 3. 如果矩形的面积为6cm 2,那么它的长尹 cm与宽xcm之间的函数图彖大致为（） 4.某气球内充满了一定质量的气体，当温度不变时， 气球内气体的气压P （ kPa ）是气体体积V （ m3） 的反比例函数，其图象如图所示. 当气球内气压大于120 kPa时, 气球将爆炸 . 为了安全起见，气球的体积应（） A、不小于扣B、小于討 4 C、不小于一川 5 则加的值是 x 4 D、小于一m 5 5.如图，A、C是函数y二丄的图彖上的任意两点，过A作兀轴的垂

23、足为B,过C作y轴 的垂线，垂足为D,记Rt A AOB的面积为 , ，Rt +1 6.关 于x 的一 次函 数y二-2x+m和反比例函数y二的图象都经过点A(-2, 1). x 求:(1) 一次函数和反比例函数的解析式；( 2)两函数图象的另一个交点B的坐标 ; (3) AAOB的面积 . 7.如图所示 , 一次函数y= ax+ b的图象与反比例函数- 的图象交于A、B两点占x轴交于点C.已 知点A的坐标为 ( 一2, 1), 点B的坐标为 (*, ni). (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)根据图象写出使一次函数的值小于反比例函数的值的/ 的取值范围 . 8.某蓄水池的排水管每

24、小时排水8几6小时可将满池水全部排空. (1)蓄水池的容积是多少？ (2)如果增加排水管，使每小吋的排水量达到Q S),那么将满池水排空所需的时间十( 力) 将如 何变化？ (3)写出十与Q的关系式 . (4)如果准备在5小时内将满池水排空，那么每小时的排水量至少为多少？ (5)已知排水管的最大排水量为每小时12力，那么最少需多长时间可将满池水全部排空？ 的面积为S2则( ) A. S) S2B. Si 0时，y随x的增大而增大 0.当xvO时，尹随x的增大而减小 2.已知反比例函数y = -(kO)的图象经过点( 1, -2),则这个函数的图象一定经过( ) A、( 2, 1) B、(2,

25、-1) C、(2, 4) D、(-1, -2) k 3.在同一直角坐标平面内，如果直线y = k,x与双曲线尹 =二没有交点，那么血和他的关系一定是 x ( ) A.何 + 他二0 B. k、? k 2 0 D.何二? 4.反比例函数y=;的图象过点P ( 1.5, 2),则 (3)y=-2 吋，x 的值。 9.己知问 = ：3,且反比例函数y= X + h 的图象在每个象限内，尹随x的增大而增大，如果点(a,3)在双 曲线上川 二1+b,求d是多少？ X 第三部今句股定理 一、基础知识点 : 1.勾股定理 内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方； 表示方法：如果直角三角形的两直角边分

26、别为a , b , 斜边为 c , 那么/ +只=c 2 2 ?勾股定理的证明 勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是 图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 根据同一种图形的面积不同的表示方法，列岀等式，推导出勾股定理常见方法如下： 方法一：4SA + S正方形EFGH = S 正方形ABO ?4xab + （/ ）- a） - c , 化间 口Ji止? 方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积. 四个直角 三角形的面积与小 正方形面积的和为5 = 4x丄ab + 疋=2ab + c2大正方形面积为 2 所以a 2

27、 +b2 =c2 S梯形=*(a + b) (a + b), S梯形=2SMDE + SMBE =2ab + c 2 , 化简得证 C.勾股定理的适用范围 勾股定理揭示了直角三角形三条边Z间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，对于锐角三角形 和钝角三角形的三边就不具有这一特征。 D.勾股定理的应用已知直角三角形的任意两边长，求第三边在MBC中，ZC = 90 , J/PJ c = la 2 +b2 , h = y/c2 - a2 , a = lc2 -b2知道直角三角形一边，可得另外两边之 . 间 的数量 关系可运用勾股定理解决一些实际问题 5 ?勾股定理的逆定理 如果三角形三边长a, b

28、, c满足a 2b2 那么这个三角形是直角三角形，其中c 为斜边。 勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形” 来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时，可用两小边的平方和a 2+b2 与较长边的平方扌作比较，若它们相等时， 以a, b, c为三边的三角形是直角三角形； 若a 2+b2c2, 时，以a, b, c为三边的三角形是锐角三角形； 定理中a, b, c及a 2+b2=c2 只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a , b, c满足a 2+c2=b2 f那么以a, b, c 为三边的三角形是直角三角形，但是b为斜边 6 ?勾股数

29、能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即a 2h2=c2 中，a, b, c为正整数时 , 称a, b, c为一组勾股数 记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5； 6,8,10； 5,12,13； 7,24,25等 用含字母的代数式表示组勾股数：n 2 - l,2n,n2 +1 （ /?2, n 为正整数）；2n + ,2n 2 +2n,2n2 +2/? + 1 （ 为正整 数）tn 2 -n2,2tnn,m2 +w2 （m n, m , n为正整数） 7? 勾股定理的应用 勾股定理能够帮助我们解决直角三角形屮的边长的计算或直角三角形屮线段之I可的关系的证明问 方法三 :

30、A 题. 在使用勾股定理时，必须把握直角三角形的前提条件，了解直角三角形屮，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进 行汁算，应设法添加辅助线( 通常作垂线 ) ，构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解 . 8?勾股定理逆定理的应用 勾股定理的逆定理能帮助我们通过三角形三边之间的数量关系判断一个三角形是否是直角三角形，在具体推算过程中，应用 两短边的平方和与最长边的平方进行比较，切不可不加思考的用两边的平方和与第三边的平方比较而得到错误的结论. 9?勾股定理及其逆定理的应用 勾股定理及其逆定理在解决一些实际问题或具体的儿何问题中，是密不可分的一个整体. 通常既要通过逆定理判定一个三角形

31、是直角三角形，又要用勾股定 理求出边的长度，二者相辅相 成，完成对问题 的解决 . 常见图形： 10v互逆命题的概念 如果一个命题的题设和结论分別是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。如果把其中一个叫做原命 题，那么另一个叫做它的逆命题。 二、经典例题精讲 题型一：直接考查勾股定理 例题1例1. 在ABC屮，ZC = 90 . (1)已知MC = 6, BC = S.求力3的长 (2)已知力3 = 17, AC = 5,求BC的长分析：直接应用勾股定理a 2+b2=c2 题型二：利用勾股定理测 量长度 例题2如果梯子的底端离建筑物9米，那么15米长的梯子nJ以到达建筑物的高度是

32、多少米？解析：这是一道大家熟知 的典型的“知二求一”的题。把实物模型转化为数学模型后，. 已知斜边 长和一条直角边长，求另外一条直角边的长度，可以直接利用勾股定理! 例题3如图(8),水池中离岸边D点1. 5米的C处，直立长着一根芦苇，出水部分BC的长是0. 5米，把芦苇拉到岸边，它的顶端B恰好落到D点，并求水池的深度AC. 解析：x2+l. 5 2= ( x+0. 5) 题型三：勾股定理和逆定理并用 解之得x=2. 例题4如图3,正方形ABCD中，E是BC边上的中点，F是AB上- 点，且施 R那么8EF 是直角三角形吗？为什么？ 设：B长度为4a,那么FB=ao 注：本题利用了四次勾股定理，

33、是掌握勾股定理的必练习题。 题型四：利用勾股定理求线段长度一一 例题5如图4,已知长方形ABCD屮AB二8cm, BC=10cm,在边CD上取一点E, 将AADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F,求CE的长. 解析：解题Z前先弄清楚折亞 屮的不变量。合理设元是关键。 :.x=3 （cm）,即CE=3 cm 注：本题接下来还可以折痕的长度和求重叠部分的面积。 题型五：利用勾股定理逆定理判断垂直一一 例题6如图5,壬师傅想要检测桌子的表面AD边是否垂直与AB边和CD边，他测得AD二80cm, AB二 60cm, BD=100cm, AD边与AB边垂直吗？怎样去验证AD边与CD边是否垂直？ （于实物

34、一般比较大，长度不容易用直尺来方便测量。我们通常截取部分长度来 验证。） 例题7有一个传感器控制的灯，安装在门上方，离地高4. 5米的墙上，任何东西只要移至5米以 内，灯就自动打开，一个身高1.5米的学生，要走到离门多远的地方灯刚好打开？ 解析：首先要弄清楚人走过去，是头先距离灯5米还是脚先距离灯5米，可想而知应该 是头先距离灯5米。转化为数学模型， 如图6所示，A点表示控制灯，BM 表示人的高度，BC MN,BC丄AN当头（B点）距离A有5米时，求BC的长度。己知AN=4. 5米，所以AC二 3米，由勾股定理，可计算BC二4米. 即使要走到离门4米的时候灯刚好打开。 题型六：旋转问题 : 变

35、式1：如图，P是等边三角形ABC内一点，PA=2, PB=2A/3,PC=4,求AABC的边长 . 分析：利用旋转变换，将ABPA绕点B逆时针选择60, 将三条线段集中到同一个三角形斗根据它 们的数量关系，由勾股定理可知这是一个直角三角形. 变式2、如图，AABC为等腰直角三角形，ZBAC=90 , E、F是BC上的点，HZEAF-45 0 , 题型七：关于翻折问题 试探究BEl CFS防2间的关系，并说明理由. 图 4 图 5 例1、如图，矩形纸片ABCD的边AB=10cm, BC=6cm, E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折柱，点B 恰好落在CD边上 的点G处，求BE的长. 变式：如图，A

36、D是ZABC的屮线，ZADC=45 , 把ZADC沿直线AD翻折，点C落在点 U的位置，BC=4, 题型八：关于勾股定理在实际中的应用： 例1、 如图， 公路MN和公路PQ在P点处交汇，点A处有一所中学 , AP=160 米，点A到公路MN的距离为80米，假使拖拉机行驶时，周围100米以 内会受到噪音影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方 向行驶时，学校是 否会受到影响，请说明理由；如果受到彩响，已知拖拉机的速度是18千米 / 小时，那么学校受到影响的时间为多少？ 题型九：关于最短性问题 例5、如右图1 19,壁虎在一座底面半径为2米，高为4米的油罐的下底边沿A处，它发现在自己的正上方油罐上边缘

37、的 B处有一只害虫，便决定捕捉这只害虫，为了不引起害虫的注意，它故意不走直线，而是绕着油罐, 沿一条螺旋路线，从背 后对害虫进行突然袭击. 结果，壁虎的偷袭得到成功，获得了一顿美餐. 请问壁虎至少要爬行多少路程才能捕到害虫？（兀 取3.14,结果保留1位小数，可以用计算器计算）变式：如图为一棱长为3cm 的正方体，把所有面都分为9个小正方形，其 边长都是1cm,假设一只蚂蚁每秒爬行2cm,则它从下地面A点 沿表面爬行至右侧面的B点，最少要花几秒钟? 求BC的长. 图 1-19 一、选择题 1.下列各数组中，不能作为直角三角形三边长的 是（） A. 9, 12, 15 B. 5, 12, 13

38、C. 6, & 10 D. 3,5,7 3.将直角三角形的各边都缩小或扩大同样的倍数后，得到的三角形（） A.可能是锐角三角形B.不可能是直角三角形 C.仍然是直角三角形D.可能是钝角三角形 4.在测量旗杆的方案屮，若旗杆高为21m,目测点到杆的距离为15m,则目测点到杆顶的距离为（设目高为 lm）（） A. 20m B. 25m C. 30m 5. 等腰三角形底边长为10cm,腰长为13cm,则腰上的高为 A. 12cm B. C. ? 6.已知直角三角形一个锐角60 ,斜边长为1,那么此直角三角形的周长是（） 二、填空题 7._ 如图,64、400 分别为所在正方形的面积，则图屮字母A所代

39、表的正方形面积是_ 8.如图，一根树在离地而9米处断裂，树的顶部落在离底部12米处. 树折断Z前有 _ 米. 9.已知甲往东走了4km,乙往南走了3km,这时甲、乙两人相距_ . 10.个长方形的长为12cm,对角线长为13cm,则该长方形的周长为_ . 11?以直角三角形的三边为边向形外作正方形P、Q、K,若SP=4, SQ=9,则Sk= _ 12.直角三角形两条直角边的长分别为5、12,则斜边上的高为_ . 13.在厶ABCV ，/B=8cm, BC=15cm,要使ZB = 90。，则/C 的长必为 _ cm. 三、解答题 11. P为正方形ABCD内一点 , 将zABP绕B顺时针旋转90

40、到ZkCBE的位置 , 若BP=a.求：以PE为边长的正方 形的面积 . D. 35m B.3 C.V3+2 V3+3 2 （第 5 题） 第6題 12?己知: 如图13, AABC 中，AB=10, BC=9, AC=17.求BC 边上的高 . 13. 从旗杆的顶端系一条绳子，垂到地面还多2米，小敏拉起绳子下端绷紧，刚好接触地面，发现绳子下端距离旗 杆底部8米，小敏马上计算出旗杆的高度，你知道她是如何解的吗？ 13. 如下图，一个牧童在小河的南4km的A处牧马，而他的小屋位于他的南代皿东8km处，他想把他的马牵到小 河边去饮水，然后回家. 他要完成这件事情所走的最短路程是多少？ 小河 牧童川

41、 I I LL 1、如图，ZC=90 , AC=3, BC=4, AD= 12, BD= 13, AABD的形状， 并说明理由。 北 东 判断 第四梆今四边形 一.基础知识 （一）四边形由一般到特殊的演变示意图 平行四边形矩形菱形正方形等腰梯形 定 义有两组对边分别平行 的四边形是平行四边 形 有一个角是直角 的平行四边形是 矩形。 有一组邻边相 等的平行四边 形是菱形。 有一组邻边相等 且有一个角是直 角的平行四边形。 两腰相等的 梯形是等腰 梯形。 性 质 1对边平行且相等。2 对角相等，邻角互补。 3对角线互相平分 1四个角都是直 角。 2对角线相等。 1四条边都相 等。 2两条对角线

42、互 相垂直，并 且每 一条对角线平 分一 组对角。 具有平行四边形、 矩形、菱形 的所有 特征。 1两腰相等 两底平行 2同一底上 的两角相等 3两条对角 线相等 判 定 1定义 : 2判定定理： （1）两组对边分别 相等的四边形是平行 四边形。 （2）两组对角分别 相等的四边形是平行 四边形。 （3）一组对边平行 且相等的四边形是平 行四边形。 （4）对角线互相平 分的四边形是平行四 边形。 1定义： 2判定定理： （1）对角线相 等的平行四边形 是矩形。 （2）有三个角 是直角的四边形 是矩形。 1定义： 2判定定理： （1）一组邻 边相等的平行 四边形是菱形。 （2）对角线 互相垂直的四

43、 边形是菱形。 （1）先证明是 矩 形再证明一组 邻边相等。 （2）先证明是 菱形再证一个角 是直角。 1定义：先 判 断是梯形在 证明 两腰相 等。 2同一底上 的两个角相 等的梯形是 等腰 梯形。 3对角线相 等的梯形是 等腰梯形。 对称性轴对称图形轴对称图形轴对称图形轴对称图形 （二）特殊四边形 （三）1-三角形中位线定理：三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三遍的一半。 2.由矩形的性质得到直角三角形的一个性质：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 二、例题 例 1：如图 1,平行四边形 ABCD 中，AE 丄 BD, CF 丄 BD,垂足分别为 E、 F.求证： ZBAE=

44、ZDCF. 证明： ?四边形ABCD是平行四边形 , /.ZABE=ZCDF, AB= CD. 又?.?AE_LBD, CFBD, ZAEB=ZCFD = 90 , .?.AABEACDF. AZBAE=ZDCF. 例 2如图 2,矩形 ABCD 中，AC 与 BD 交于 O点，BE 丄 AC 于 E, CF 丄 BD 于 F. 求证： BE = CF. 证明： ?四边形 ABCD 是矩形， ?OB = OC. 又 TBE 丄 AC, CF BD, A ZBEO =ZCFO = 90. VZBOE=ZCOF. ? ABOE ACOF.? BE = CF. 评注：本题主要考查矩形的对角线的性质以

45、及全等三角形的判定. 例3已知：如图3,在梯形ABCD中，ADBC, AB = DC,点E、F分别在AB、CD上, 且BE = 2EA, CF = 2FD?求证：ZBEC=ZCFB. 证明： ?在梯形ABCD 中，AD: BC, AB = DC, ? ? 梯 形 ABCD 是等腰梯形 .?ZABC =ZDCB. 又 TAB = DC, BE = 2EA, CF = 2FD, ?BE = CF. ?.?BC = CB, /.ABECACBF. /.ZBEC=ZCFB,例 4如图 6, E、F分别是ABCD的AD、BC边上的点，且AE = CF. (1)证：ABEACDF； (2)若M、N分别是B

46、E DF的中点，连结MF、EN,试判断四边形MFNE 是怎样的 四边形，并证明你的结论. (1)证明：I?四边形ABCD是平行四边形， .*.AB = CD, ZA=ZC. ( 2)解析：四边形MFNE是平行四边形 . VAABEACDF, ?.ZAEB 二ZCFD, BE = DF. 又N分别是BE、DF的中点，?.ME二FN. I四边形ABCD是平行四边形，? ? ZAEB =ZFBE. A ZCFD=ZFBE. ?EBDF,艮卩MEFN. ?四边形MFNE是平行四边形 . 评注：木题是一道猜想型问题. 先猜想结论，再证明其结论. VAE = CF,AAABEACDF. D C （图 6）

47、 例 5 如图 7, ABCD 的对角线 CAC 的垂直平分线与边AD, BC 分别相交于点E, F. 求证：四边形 AFCE 是菱形 . 证明：?四边形 ABCD 是平行四边形 , ?AD BC?ZE AC =ZFCA? TEF 是 AC 的垂直平分线， AOA = OC, ZEOA=ZFOC, EA=EC. ?: AEOAAFOC ?: AE = CE. ? ? 四边形 AFCE 是平行四边形 . 乂 ? ? EA=EC, ? ? 四边形 AFCE 是菱形 . 例 6如图 9,四边形 ABCD 是矩形， O 是它的中心， E、F 是对角线 AC 上的点 . (1)如果 _ , 则厶 DECABFA ( 请你填上一个能使结论成立的 一个条件 ) ； (2)证明你的结论 . 解析：本题是一道条件开放型