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1、难点 8 奇偶性与单调性 (二) 函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出. 本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识. 难点磁场 ( )已知偶函数f(x)在(0， +)上为增函数， 且 f(2)=0,解不等式f log2(x 2+5x+4) 0. 案例探究 例 1 已知奇函数f(x)是定义在 (3，3)上的减函数， 且满足不等式f(x3)+f(x23)3x2,即 x2+x60,解得 x2 或 xf(0)对所有 0, 2 都成立？若存在，求出符合条件 的所有实数m 的范围，若不存在，说明理由. 命题意图： 本题属于探索性问题，主要考查
2、考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运 算能力，属题目. 知识依托： 主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二 次函数在给定区间上的最值问题. 错解分析： 考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思 想方法 . 技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题. 解： f(x)是 R 上的奇函数，且在0，+)上是增函数，f(x)是 R 上的增函数 .于是不 等式可等价地转化为f(cos23)f(2mcos 4m), 即 cos232mcos4m,即 cos2mcos+2m20. 设 t=cos,则问题等价地转化为函数g(t)=t2m
3、t+2m2=(t 2 m ) 2 4 2 m +2m2在 0， 1上的值恒为正，又转化为函数g(t)在 0，1上的最小值为正. 当 2 m 0m1 与 m0 4221,即 m2 时， g(1)=m10m1.m2 综上，符合题目要求的m 的值存在，其取值范围是m4 22. 锦囊妙计 本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有： (1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭 知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力. (2)应用问题 .在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价 转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、 抽象的式子转化为
4、基本的简单的式子去解决. 特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题. 歼灭难点训练 一、选择题 1.( )设 f(x)是( ,+)上的奇函数， f(x+2)=f(x),当 0x1 时，f(x)=x,则 f(7.5) 等于 ( ) A.0.5 B.0.5 C.1.5 D.1.5 2.( )已知定义域为(1，1)的奇函数y=f(x)又是减函数，且f(a3)+f(9a 2)lg k x1 . 7.( )定义在 ( ,4上的减函数f(x)满足f(msinx)f(m21 4 7 +cos 2x)对 任意 x R 都成立，求实数m 的取值范围 . 8.( )已知函数y=f(x)= cbx ax
5、1 2 (a,b,cR,a0,b0)是奇函数，当x0 时， f(x) 有最小值2，其中 bN 且 f(1) 3 2 1. f( 3 1 )f( 3 2 )f(1),f( 3 1 )f( 3 2 )f(1). 答案： f( 3 1 ) f( 3 2 )f(1) 三、 5.解：函数f(x)在( ,0）上是增函数，设x1x20,因为 f(x)是偶函数，所以 f(x1)=f(x1),f(x2)=f(x2),由假设可知x1x20,又已知f(x)(0，+)上是减函数，于是 有 f( x1)f(x2),即 f(x1)f(x2),由此可知，函数 f(x)在( ,0)上是增函数 . 6.解： (1）a=1. (
6、2)f(x)= 12 12 x x (xR)f -1(x)=log 2 x x 1 1 (1x1). (3)由 log2 x x 1 1 log2 k x1 log2(1x)log2k,当 0k2 时，不等式解集为x|1k x1;当 k2 时，不等式解集为x|1x1. 7.解： 1sinsin 4 7 21 sin4 cos 4 7 21sin 4cos 4 7 21 4sin 2 2 2 xxmm xm xmxm xm xm 即，对x R 恒成立 , 2 1 2 3 3 mm m 或 m 2 3 ,3 2 1 . 8.解： (1)f(x)是奇函数，f( x)=f(x),即cbxcbx cbx
7、 ax cbx ax11 22 c=0,a0,b0,x0,f(x)= bx x b a bx ax11 2 2 2 b a ，当且仅当x= a 1 时等号成立， 于是 2 2 b a =2,a=b 2,由 f(1) 2 5 得 b a1 2 5 即 b b1 2 2 5 ,2b 25b+20,解得 2 1 b 2， 又 bN,b=1,a=1,f(x)=x+ x 1 . (2)设存在一点 (x0,y0)在 y=f(x)的图象上， 并且关于 (1，0）的对称点 (2x0,y0)也在 y=f(x) 图象上，则 0 0 2 0 0 0 2 0 2 1)2( 1 y x x y x x 消去 y0得 x022x01=0,x0=12. y=f(x)图象上存在两点(1+2,22),(12,22)关于 (1，0)对称 .