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1、对数函数中与二次函数有关的问题 一、对数函数与二次函数的有关复合函数的单调性问题 例1?求函数y = k)g(x22x 3)的单调区间，并用单调定艾给予证明. 2 解：定义域x“ 2兀一3 0 x v 1 单调减区间是(3,4-00)设Xj,X2 G (3,+oo)且州 -3) (%2 兀)( 兀2 + 西 一2) T x2 x 3 :. x2-xx 0 兀2 + 西 一2 0 7 ? 1 (%|2兀3) ( 禺?2x? 3) 又底数0 v vl ?y2 -)1 0 且a$1 当al时，函数t=2-tz x0 是减函数 由y=log6Z (2?d“)在0, 1上X的减函数，知y二log是增函数
2、， ?al 由xw 0, 1时，2-a x 2-a0,得 aV2, l0是增函数 . 由y=log“ (2-6f v)在0, 1 上x的减函数，知y=log “t是减函数， .02-10, A0 0 且aHl)的图象关于直线y 二兀对称， 记g(x) = /(x)/(x) + 2/(2)-l,若y = g(x)在区间-,2是增函数，则实数G的取值范围是 ( ) A. 2,+oo) B. (0,1) U (1,2) C. 1,1) D. (0丄 2 2 解析：已知函数y = /(x)的图象与函数y = a x (a 0 且QH1 ) 的图象关于直线y = x对 称，则 /(x) = log “
3、x,记g(x) = /(x)/(x) + /(2)-1 = (log“ x) 2 + (log“ 2 -1) loga x ? 当时，若y = g(x) 在区间,2 是增函数，y = logrt x为增函数，令t = logax , te 1loa 2-1 1 log “一，log “2,要求对称轴 - - Wlog“一，矛盾；当0 Ht,若y = g(x)在 22 2 区间 丄,2上是增函数，y = logax为减函数 , 令t = logax, telogrt 2,logfl-,要求对 称轴-呃2-1 三bg丄，解得。 w丄，所以实数a的取值范围是(0,丄 ，选D. 2 2 2 2 二、对
4、数函数与二次函数的有关复合函数的定义域、值域问题 例4求下列函数的定义域、值域： (1)y = log2(x 2 +2x4-5) (2) y = log, (-x2 + 4x + 5) 3 (3) y = Jlog“(_xj(0 Jvl). 解： (1)V X 2+2 X + 5 = (X + 1) 2+44 对一切实数都恒成立 ?函数定义域为R 从而log2(x 2 +2x + 5) log 2 4 = 2 即函数值域为2,4-oo). (2)要使函数有意义，则须： x + 4x + 5 0 = x 4-x 5 v 0 = -1 0 (2) 由：-llogn- ? ? ? yJloga- 例
5、5 已知函数y = log“( 兀$ + /nr+l)(a a 0,a / 1) (1)若定义域为(-oo,+oo),求m的取值范围； (2)若值域为 (-oo,+oo),求m的取值范围 . 解：(1)由题意知，X+mr + lA 0对任意实数x恒成立 所以 = 2-4Y0 解得：2 Y m Y 2 (3)设v = x 2 4-Awx+l, 则y = logw v 因为函数y的值域是 (,4-00), 所以A = /7?-40 解得：m 2或加0 即/? 2x(-)2x + 2(-)x-l0 b b 即b2x(-y + 1 + V2 (-) x +1 - /2 0 b b ?沪AO,? + 1
6、 + VAO b :.(-/ + 1-V2 0 即/ 二log “ ，.Ig(x)二log“ 1 x1 -a x-a (2)由题意得兀一3G=(G+2)3a=2?+20; - = - - 0, x-a ( + 3) a 又c/0且dHl,?0Vd2a /(x)=x 24+3?2 在d+2,a+3上为减函数，(x)=log(x 2 4ax+3a 2)在 a+2,a+3上为减函数， 从而“( 兀) max二 (d+2)=log “(4 4a), ( ￥) mi尸 (d+3)=log “(9 6G), 于是所求问题 Ovavl 转化为求不等式组-l的解 logrt(4-4?)0 lg G 0 ga 2或lgc v 2 -4 0 /, +t2 0 J(4 +弓) ，-4人匕5 2巧 x1,则tvO在此题中，注意换元后，其变量的定义域的变化。