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1、第四章相似图形 例1.已知：A、B两地的实际距离是80千米，在某地图上测得这两地之间的距 离为lcni,则该地图的比例尺为_ o现量得该地图上太原到北京的距离 为6.4cm,则两地的实际距离为_ (用科学记数法表示 ) 。相距50千 米的C、D两地在该地图上的距离为_ o 64 x 8000000 = 51200000cm = 512km = 5.12 x 10 2km 答案：1： 8000000； 5. 12X102km； 0.625cm 二. 线段的比 : 同一长度单位的两条线段AB、CD的长度分别为m、n,那么这两条线段的比 AB ： CD = m： n或，其中AB、CD分别叫做这个线段
2、比的前项和后项，如果CD n 把巴表示成比值k,那么 =kHl c = V ，d = V3 C. a = 4, b = 6, c = 5, d = 10 D. a = 2, b = V5, C = 715, d = 23 解：先按从小到大的顺序排列后，再用两内项积与两外项积比较 A. c二2, a=3, d=4, b=6, cb=ad=12 B. a = 1, b = V2, d = V3, c = V6, ac = bd = V6 C. a = 4, c = 5, b = 6,( 1 = 10, ad be D. a = 2, b = V5, d = 2/3, c = V15, ac = b
3、d = 2V15 例4. (1 )已知爲b, p, q是成比例线段，其屮a二4cm, b二5cm, q二6cm,则 X = 2A/2 X /. 1： 72 =2： 2V2 四. 比例的基本性质： 成比例线段屮，两个外项的积等于两个内项的积，若- = WJad = bc, b d 反之也成立，若ad = bc,则- = 或或？ =匕或2 =匕。 b d b a c d c a 例5? (1)若5a = 7b,则仝= o (2)若8x-5y = O,则兰= x + y ，o x-y y (3) 已知：書 求亠0 y (4) 已知四条线段满足a mn -b , 把它改写成比例式正确的是 A. a:
4、b=m: n B. a:m=b:n C. a:m=n:b I), a: n=b: m (5) 若，则 m n m 、nZ间的关系是 A. mn C. m=n D. m| = |n| 解： (1) 2 b 5 (2) 8x = 5y = y 5 8 x = 5k, y = 8k x + y _ 5k + 8k _ 13k 13 x y -5k-8k -3k 3 (3) 8(x + y) = llx (2) 已知1, V2, 2三个数，请再添一个数，写出一个比例式_ 解: rl 5p=24 p=4-8 8x + 8y = llx 8y = 3x x _ 8 y = 3 (4)C (5)D m =
5、rr lml=lnl 五. 合比性质、等比性质： uz 址a c hlll a b c d a c 合比：若 - = 则一=；一或 =- b d b d b a d c 等比： = = = = k (若b + d + f+ +nH0) b d f n a + c + e+ + m b + d + f + . +n 例6. ( 1)若仝= = 2 =丄，则a + 2c-3e = b d f 7 b + 2d-3f - -IF AD AE / . AB EC AB EC (2)如图：已知 =4,求 , , , DB EC DB AE AD AC (3)AABC和AABG屮，上？ -二虫J = =
6、且AA.BjC.的周长 1 1 1 AQ BC A,C, 5 1 1 1 为50cm,求/XABC的周长。 (4)若一-=- =-=k, 贝ijk = b + c a + c a + b - 1i 3 A. 或一1 B.- C.-l D.- 22 2 解：(1) 仝=仝 =丄 b d f 7 b n b + c -a k =丄或k = -1 2 七. 黄金分割： 1?点C把线段AB分成两条线段AC和BC( AOBC),如果箸笠 , 那么称 线段AB被点C 黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比。 2?黄金比为卫二h In 0.618： 1 2 例7. (1)把长为8c
7、m的线段进行黄金分割，较长线段的长是_ AC (2)若点C是线段AB的黄金分割点，则一匕= AB a 2c -3e 5 b _ 2d - -3f -7 a + 2c 3e _ 5 b + 2d-3f -7 (2)令AD=4k, DB=k, AE=4n, EC=n AB AD + DB 4k + k 5k _ 5 DB - DB _ k k - 1 EC n _ 1 AE - 4n 4 AB AD + DB 4k + k 5k _ 5 AD - AD 一4k 4k 4 EC EC n n 1 AC 一AE + EC 4n + n 5n 5 (3) AB + BC + AC A j Bj + BC
8、 +A 3 “5 1 AABC _ 3 1 AABC 3 1AA 】 BG 一5 50 “ 5 】 AABC = =30 (4) 当a + b + czO时， a + b + c 2(a + b + c) 当a + b + c = 0时，b + c 二 :-a a a 2 （3）已知：线段AB,作线段AB的黄金分割点C。 （4）如果等腰三角形的底与腰的比为0.618,则称为“黄金三角形” , 请你作 出一个黄金三角形。 y/5 1 2 AC = d 2 AC = 4A/5-4 （2） AC可能是较人线段也可能是较小线段 A C B I 1 1 选D AC _ V5-1 AB _ 2 AC BC
9、 一 亦_1 _ 2_厉 + 1 _ 3_厉 AB AB - 2 2 ?点C即为所求 （4） （5）略 八. 相似多边形及性质 : 1.对应角相等，对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形，相似多边形对 V5-1 2 V5 + 1 2 y5 + 3 2- (5) 用作黄金分割点的方法作出一个黄金矩形。 解: 壬血：1 AB 2 ? ABAC A C B 应边的比叫做相似比。 2.相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方，对应线段比 等于相似比。 例9. （1）如图，两个矩形是否相似？ 6 i 6624 6 / 40 （2）下列判断正确的是（） A.两个平行四边形一定和似 C.两个菱形
10、一定相似 （3）下列各图形屮，一定相似的是（ A.两个平行四边形 C.底角相等的两个等腰梯形 (4)已知四边形ABCD ? 四边形ABCD,且ZA = 56 , ZB = 48, ZC = 150, 则ZD = _ o (5)已知四边形ABCD? 四边形A B C D, 且AB： BC： CD： DA二7： 6： 5： 4,若四边形A B C D周长为44,则A B = _ , B C = _ , Cf D，= _ , D，A，= _ o (1) 40 , 24 解：40-2x6 24-2x6 .? ? 不相似 (2)D (3) D (4) 106 (5)四边形 “B C D的四边长的比也为7
11、： 6： 5： 4,分别设为7x, 6x, 5x, 4x B.两个矩形一定和似 D.两个正方形一定相似 B.两个直角三角形 D.有一个角为60。的两个菱形 /. 7x + 6x + 5x + 4x = 44 22x = 44 x = 2 ?AB匕14, BC=12, CfD f=10, Df A f =8 例io. (1)若四边形A1B1C1D1 四边形A2B2C2D2且S四边形AM.D/ S四边形A2B2C2D2 (2)两个相似三角形对应边上的高的比为4： 9,它们的周长比为_ , 面积比为 _ o (3)两个相似多边形地块的相似比为3： 4,面积差为28占 则它们的面积 分别为 _ o 解
12、：(1)面积比等于相似比的平方，相似比二1： 3 A,B, +B,C1 +C1DI+DIA1是四边形A,B1C,D1的周长 A2B7+B9C9 +C7D2 +DA 是四边形A9B2C2D2的周长 周长比等于相似比丄 3 (2)4： 9； 16： 81 (3)面积比为9： 16,设两个相似地块分别为9x, 16x 16x-9x = 28 7x = 28 x = 4 9x = 36, 16x = 64 它们的面积分别为36cm2, 64cm2 九. 相似三角形性质与判定： 1.三角对应相等，三边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形。记作ABC ADEFo 2.和似三角形对应角和等，对应边成比例，对
13、应线段成比例(对应高、对应中 线、对应角平分线 ) 。 周长比等于相似比，而积比等于相似比的平方。 9,则 A) B) +BC + C1D1 +DA A o B2 + + C9 D2 + A 3.判定： (1)两角对应相等，两三角形相似。 (2)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 (3)三边对应成比例，两三角形相似。 例11? (1)如图，在AABC中，DE/BC, AD = 3BD, SAABC =48,求SAADEo (2)如图，在4ABC中，正方形EFGH的两个顶点E、F在BC ,另两个顶点G、H 分别 在AC、AB上，BC=15cm, BC边上的高AD二10cm,求正方形的面积。
14、 鯉.(1) v DE/BC /DT ? AD _ AD _ 3BD _ 3 AB - AD + BD 一3BD + BD - 4 SADE = 27 (2)设正方形边长为x 则HG = HE = MD = GF=EF=x AM = AD-MD = 10-x ? ZA = ZA ? AADE ?AABC ? Zl = ZB ?Z ADE s AABC ? ZHAG = ZBAC ? AAHG ?AABC 10-x _ x 10 “75 15(10-x) = 10x 150-15x = 10x -15x-l()x = -150 -25x = -150 x = 6 (cm) S|E方形 =& =3
15、6 （cm） 2 十. 利用三角形相似测距离（高度） 例12. AE是斜靠在墙壁上的长梯，梯脚B距墙80cm,梯上点D距墙70cm, BD 长 55cm,求梯子的长。 解：由题知：DEI AC, BC丄AC （/. DE/BC （垂直于同一条直线的两条直线互相平行） ? Z1 = ZC = 90 v ZA = ZA ( 公共角 ) ?止方形HEFG? HG /BC /. Z1 = ZB AM _ HG AD _ BC （相似三角形对应高的比等于相似比） ? AADE ?AABC DE _ AD BC _ AB DE _ AD BC _ AD + BD 70 _ AD 80 _ AD + 55
16、70(AD + 55) = 80AD 80AD-70AD = 3850 10AD = 3850 AD = 385cm AB = AD + BD = 385 + 55 = 440 (cm) 例13.-人拿着一 - 支刻有厘米分布的小尺，站在距电线杆约30米的地方，把手臂 向前伸直， 小尺竖直， 看到尺上约12个单位恰好遮住电线杆，已知手臂约60厘米， 求电线杆高。 解：如图所示，曲题知： CH=30 米二3000cm BE二60 厘米EF二12 厘米 EF AE BE FE GH _ AH * CH _ GH 60 12 _ 3000 - GH 60GH = 36000 GH = 600 (cm)或6 ( 米) 答：电杆高6米。 ? BE 丄 AC, CH 丄AC ? zi = ZC = 90 ? ? ZBAE = ZCAH BE z. AABE AACH /. - = AE CH AH ?FE丄 CH, GH 丄CH ? ? FE/GH ? ? Z2 = ZG ? ? ZEAF = ZHAG AAEF ?AAHG