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1、3.2 函数模型及其应用 3. 2.1几类不同增长的函数模型 、点击考点 1.数学模型为一次函数的问题 - ?次函数也是最常见的一种函数模型，在初中就已经接触过。 例 某人开汽车以60km/h的速度从A地到150km远的B地， 在B地停留lh后， 再以50km/h 的速度返回A地，把汽午离开A地的距离X(km)表示为吋间/(h)( 从A地出发吋开始 ) 的函数，并 画出函数的图象；再把车速v(km/h)表示为吋间f(h)的函数，并画出函数的图象. 解汽车离开A地的距x km与时间/h之间的关系是： 60r, 虫0,2.5, 兀=0冃QH1）的函数叫做指数函数，而在牛: 产、生活实际中，以函y
2、= ha x + k 作为模型的应用问题很常见. 例某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%,若初时含杂质2%, 每 过滤一次町使杂质含量减少丄，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？（已知： 3 lg2 = 0.3010,lg3 = 0.4771 ） 分析每次过滤杂质含量降为原來的2,过滤几次后杂质含量为?（-） w ,结合按市 3100 3 场要求杂质含量不能超过0.1%,即可建立数学模型 . 解析依题意，得（-r , 即（2）” 1 +咏 q 7.4,考虑到neN,即至少要过滤8次才能达到市场要求。 Ig3-lg2 4.数学模型为对数函数的问题 形如y = lOgt/
3、 X（GOH.GH1 ）的函数叫做对数函数，01时?，此函数为增函数； 0% ，即“如意卡”便宜； 2 当96-时，刃0)时，试把该公司生产并销售这种产品 所得的年利润表示为当年产量兀的两数. (2)当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？ 解析(1)当05时，产品只能出售500件. (5 兀兀2)_(0.5 + 0.25 兀)(0 5). 2 (2)当05时，/(%) = 12-0.25%为单调减函数， ?= 10.75. 乂V 10.80 10.75 , A /(x)max =10.80 ,此时兀= 475 ( 件), ?当年产量为475件时，利润最大 . 点评求分段函数的最值和值域时，
4、应先分段分别求其最值和值域，再以各段的最大 值和最人者为函数的最人值，各段的最小值中最小者为函数的最小值；而各段的值域的并集 则是函数的值域。 第三章 单元知识梳理与能力整合 、考点聚焦 1.数形结合的思想 数形结合的思想是本章重要的数学思想。 例1某公司试销一种成木单价为500元/ 件的新产规 定试销时的销伟单价不低于成木单价，又不高于800元/ 经试销 调查，发现销伟量y （件）与销代 : 单价（元/ 件）可近似 一 次函数y = kx + b的关系（如图所示）。 （1）根据图象，求一次函数y = kx + b的表达式；（2） 销伟总价一成木总价）为S元。试用销伟单价x表示毛利润S；试问销
5、售单价定为多少时, 该 公司可获得最人毛利润？最人毛利润是多少？此时的销代: 最是多少 ? 解析（1）由图象知，当x = 600时，y = 400；当x = 700时，y = 300,代入y =也+ /? 中，得 函 数 与 方 程 函數的零点、与其对应方程 根的关系 用二分法求方程的近似解 函数的应用函 数 模 型 及 其 应 用 解 决 具 体 问 题 基本思想总结 设公司获得的毛利润（毛利润二 几类不同增长的函数模型 iin , 件， 看作 400 = 600“方k = -X. 300 = 700k+ b, 、b = 1000. y = -x +1000(5000, 所以在区间(2,3)
6、上，方程x 2-2x- = 0 有一解，记为旺 取2与3的平均数2.5 因为/(2.5) = 0.25 0,所以2 v 坷 0 ? w (2,2.5) /(2.25) 0= 和2.25,2.5) /(2.375) 0 ? w (2.375,2.5) /(2.375) 占w (2.375,2.4375) 因为2375与2.4375粕确到0.1的近似值都为2.4,所以此方程的近似解为兀严2.4. 利用同样的方法，还可以求出方程的另一个近似解。 点评利用函数图象的性质求方程的根，这是因为若f(a) ? /0) /(/?)37 C,故选C。 bT 半夜 点评图形是函数的另一种表示方法，有时很难用解析式
7、表示，因为两个变量Z间的 变 化只有一个定性的关系，而很难定量分析。 例2甲、乙两人连续6年对某农村卬鱼养殖业的规模（产量）进行调查，提供了两个 方IM的信息如图所示。 甲鱼池數 甲调杏表明：每个甲鱼池平均出产量从第一年1力只甲鱼上升到第6年2万只。 乙调杏表明：甲鱼池个数由第1个30年减少到第6年10个. 请你根据提供的信息说明： （1）笫2年卬鱼池的个数及全县出产甲鱼的总数； （2）到第6年这个县的甲鱼养殖业的规模比第1年是扩大了还是缩小了？说明理由； （3）哪一年的规模最大？说明理由。 解析首先根据图彖可知，两种调查信息都符合一次函数，因此，町以采用待定系数法求 出函数的解析式，下面的问
8、题就容易解决了。 （1）由图可知 , 直线沟 + 经过1）和（6,2） nJ求得 = 0.2,b = 0.8. yiV =0.2（x + 4）. 17 同理可得y=4（-X + ）. 第2年甲他池的个数为26个，全县出产甲血的总数为 26x1.2 = 31.2 （万只） . 37 C（屮午） 平均 ft 208645 Ti ? ? ? ? ? ? n 0 6-0040 327 - 0 12 3 4 5 6 年 甲 0 12 3 4 5 6 年 乙 降 - 上午 （2）规模缩小，原因是： 第一年出产甲鱼总数30万只， 而笫6年出产甲鱼总数为20万 只。 （3）设第兀年规模最大，即求 17 沟?比
9、=0.2（x + 4） ? 4（-x + ） = -0.8x 2 +3.6%+ 27.2 的最人值 . 3.6 2x(0.8) y甲? y乙=-0.8x4 + 3.6x 2 + 27.2 = 31.2最大. 即第二年规模最大，为31.2万只。 点评本题首先要读懂图，能够由图设岀函数解析式，用待定系数法求出解析式，具次，要会 使用所求得的解析式解决新问题，在实际问题屮，还要注意兀的取值范囤，如木例屮 9 XG N*,当兀=吋，只能取x = 2. 4 2.与儿何图形有关的应用问题 我们还会经常遇到有些应用问题与平而儿何图形有关，在求数学模型时，要注意平而儿何的 有关性质的应用。 例1设计一个水槽
10、, 其横截面为等腰梯形（如图所示）, 满 足条件AB+BC+CD=d （常数），ZABC = 120 .写出横截而积y 长兀 间的关系式，并求它的定义域和值域。 解设AB = CD = x,则BC = a-2x,作BE丄AD于E, ? ZABC = 120 ,? ZBAD = 60 , A/3 x f, 于是 BE二右“亍A梯形血积 尸丄?逼血 -2x + = -班疋+占 2 2 4 2 由实际问题的意义可知： G0, n n a 一兀0,n 0 v x v? 2 a-2x 0. 疝。巧3A/3Z心巧 - 兀“ +ax- - (x严 - 42 4 3 12 例2某房地产公司要在荒地ABCDE
11、（如图）上划出 长方形地面建造一幢公寓， 问：如何设计才能使公寓占地血人？ 并求出最人面积（尺寸如图，单位：m）? 解析当一端点在BC上，只有在B点时长方形BBQC 积 最人， I）要求 与腰 . ?当x = 时，y有最人值 即值域为(0,2. 12 一块 积最 的面 12 /. S| = SBCDB = 5600 m 2. 当一端点在EA边上时，只有在A点时长方形AA.DE的面积授大 , S? = AADE = 6000 ml 当一端点在AB边上时，设该点为M,如图构造长方形M7VDP,并补岀长方形OCDE, 设MQ = x（0 = -0.05x 2 + 0.35x + 0.7. 将D点的坐
12、标代入，得 g(4) = -0.05 x 42 + 0.35 x 4 + 0.7 = 1.3,与实际误差为0.07. 2 (3)对于幕函数型h(x) = axb,将A、B两点的坐标代入，有 /z(l) = a-b = 1, h(2)= 迈 a + b = 1.2. 解得a ? 0.4中途停下，则5 = 50( 定值) ，至 此排 除A；修好车后，仍保持匀速行进，$增大，排除B；修好车后，李老师加快了速度，因此s = $o + Mr,但v r vf即这时直线的斜率变大了，因此排除D。 答案C 2、在测量某物理量的过程中，因仪器和观察的误差，使得n次测量分别得到， % 共门个数据，我们规定所测冕的
13、物理量的“最佳近似值” 3是这样一个最：与其他近似值 比较a与各数据差的平方和最小?依次规定，从色，推出的a二 _ ? (1994 年全国高考试题 ) 分析：此题应排除物理因素的T?扰，抓准题中的数量关系，将问题转化为函数求最值问题. 解: 由题意可知 , 所求a应使y=a-a x) 2 + (a-a 2) 2+(a-art)2 最小 由于y=na 2-2( 6Z, +6Z2+-+tzz?)a+(6Z1 2 +? 2 2 +?+?, 2). 若把a看作自变量，则y是关于a的二次函数，于是问题转化为求二次函数的最小值. 因为n 0, 二次函数f(a)图象开口方向向上 . 当沪丄 (+禺+?+。“
14、) ，y有最小值 . n 所以a=(% +勺+。“) 即为所求? n 3、用长为m的铁丝弯成下部为矩形，上部为半圆形的框架，若矩形底边长为2x,求此框 架的 面积y与x的函数式，并写出它的定义域. 分析：所求框架面积由矩形和半圆组成，数量关系较为明确，而且题中已设出变量，所以属 于函数关系的简单应用 . /17 7 V 7TX 解：如图，设AB-2x,则CD弧长于是AD= 2 m -2x- 7UC 7Z%2 - 1 - 2 2 Hn疗+ 4 2 即y=- x + nix 2 2x 0 再由m-2x-7ix A - 0 因此y=2x ? I) 解Z得OVxV 2 +龙 即函数式是y二-兀+ “
15、? X2+mx 2 m 定义域是：（0, - ）? 71 + 2 4、按复利计算利率的一种储蓄，本金为d元，每期利率为厂，设本利和为y,存期为x, 写出本 利和y随存期兀变化的函数式 ?如果存入本金1000元, 每期利率2.25%,试计算5期 后的本利和是 多少？ 解析已知本金为Q元. 1期后的本利和为y = a + ax r = aQ + r）； 2期后的本利和为y2 = a （l + r） + a （l + r）r = + r） 2 ； 3期后的本利和淡y3 = d（l +厂尸； x期后的本利和为y = 6/（1 + r） x . 将67 = 1000（元），厂 =2.25%,兀=5代入上
16、式得 y = 1000x（1 + 2.25%） 5 = lOOOx 1.02255. 由计算器算得y = 1117.68（%）. 答案复利函数式为y = a（l + r） x, 5 期后的本利和为1117.68 G. 5、分别就a = 2,a = 和a =丄I出i出函数y = a x , y = log“兀的图象，并求方程a x = log“ x 的解的个数。 解析利用Excel.图形计算器或其他画图软件，可以方便地画出函数的图象，随着Q由 大 变小，有下列3种情形，如图所示。 根据图象，我们可以知道，当a = 2,a = 和时，方程 / = 解的个数分别是 0,2,1. 6、某个体经营者把开
17、始六个月试销A、B两种商品的逐月投资为所获纯利润列成下表： 投资A种商品金额（万元） 12 345 6 获纯利润（万元）0.651.391.85 21.841.40 投资B种商品金额（万元） 12 345 6 获纯利润（万元）0.250.490.7611.261.51 该经营者准备下月投入12万元经营这两种产品， 但不知投入A、B两种商品各多少才最合算， 请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大的利润，并按你的方案求出该经营者 下月可获得的最大纯利润（结果保留两位有效数字）。 解析以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在肯角坐标系屮画岀散点图如图所示: 据此，可考虑用下列函数分别描述上
18、述两组数据Z间的对应关系。 y = _a(_x_4)2 + 2(a0), y = bx.? 把兀=1,),，= 0.65代入0式，得0.65 = d(l 4)2 + 2,解得d = 0.15. 故前六个月所获纯利润关于月投资A商品的金额的函数关系式可近似地用y =-0.15(兀4尸 + 2表示，再把兀=4, y = l代入式，得b = 0.25,故前六个月所获利润关于月投资B种商品的金 额的函数关系可近似地用y = 0.25兀表示。 设下月投资A种商品兀万元 , 则投资B种商品为(12-x)万元, 可获纯利润 y = 05(x 一4)2 + 2 + 0.25(12-x) =0.15界+0.95无+2.6, Jmax 4x(-0.15)x2.6-0.95? =4x(0.15) “丄 故下月分别投资A、B两种商站3.2万元和8.8万元，可获最大纯利润万元。