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1、初中数学Math知识概要 本部分内容是在对比九义”教材与“新课标“基础上结合长期的教改实践, 较为详实地提 炼出了整个初中数学Math中关于数与代数 、“统计与概率“ ?“生活中的图形“、“平面图形与三角 函数“ 四个领域的双基内容，以供同学们在演练中备查基础知识. 主要内容包括数与式. 方程与不等式 . 函数，它们都是研究数量关系和变化规律的数学Math模型, 可以帮肋人们从数量关系的角度更准确. 清晰地认识、 描述和把握现实世界, 以 下分别将各模块知识点加 以整理收集 . 一. 实数 （一）实数的组成 有限小数或无限循坏小數 实数 4 ?开不尽方的数 无理敛 ?含有次的敛无卩艮不循坏小敛
2、 有持定结构的数 1. 有理数 任意一个有理数都可以写成分数左的形式，其中p与q是整数且最大公约数是1.这是q 有理数的重要特征，例：是无理数而不是分数. 3 第一部分数与代 2. 无理数 A. 它包含两层意思：一是无限小数；二是不循环?二者缺一不可 . B. 它有三种形式 : 开不尽方根，如/3 特殊常数，如圆周率 特定结构的无限小数，如0.1010010001.( 每两个1之间依次多一个0). 3、判断一个实数的属性( 如有理数、无理数 ) ，应遵循：一化简，二辨析，三判断. 要注意 : 神似 “或形似 “者8不能作为判断的标准 . ( 二)实数中的几个概念 1、 相反数 A.实数Q的相反
3、数是a. B.Q和b互为相反数 o a + b = 0. 2、 倒数 A.实数Q(QHO)的倒数是丄 . a B.Q和b互为倒数oab = l。C.注意0没有倒数 . 3、绝对值A.个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝 对值 是o.即;? 駕 | 糾=丿0 (a = 0) -a (a 0) B. 实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原 点的距离 . C. 几个非负数的和等于零则每个非负数都等于零。 女Q : 若薦+ |A| + C2 =0 则a = 0 , b = 0 , c = 0. 4、n次平方根 A. 平方根 , 算
4、术平方根：设被开方数0，称需叫Q的算术平方根，土丽叫G的平方 正数有两个平方根，它们互为相反数 . 0的平方根是0.负数没有平方根 . B. 立方根：需叫实数Q的立方根 . 一个正数有一个正的立方根. 0的立方根是0. 一负数有一负的立方根. C. 算术平方根与绝对值的联系： y轴两侧判b ,左同右异中为0 ; 1的两侧判2a + b ,左同右异中为0 ; -1两侧判加 -b , 左异右同中为0. H. 函数图象的平移：左右平移变x , 左+右? ；上下平移变常数项，上+下? ; 平移结果先知道，反 向平移是诀窍；平移方式不知道，通过顶点来寻找。 I?对称:y = ax 2 +hx + c关于
5、x轴对称的解析式为-y = ax 2 +加+ c , 关于y轴对称的解 析式为尹 =a(-x) 2 + b(x) + c , 关于原点轴对称的解析式为一歹二G(-X)2 +b(x) + c , 在顶 点处翻折后的解析式为y = -a(x-h) 2 +k (a相反，定点坐标不变1 J.结论： 二次函数尹 =Q/+加+ c( Q工0)与x轴只有一个交点o二次函数的顶点在x 轴上 =() ; 二次函数y = d/ + bx + c( G H 0)的顶点在y轴上 o 二次函数的图象关于y轴对称o b = 0 ; 二次函数y - ax 2 +bx + c(a H 0) 经过原点，则u c = 0。 K.
6、二次函数的解析式： 一般式：7 = a/+bx + C(Q H 0)，用于已知三点。 顶点式：y = ax-hf +k，用于已知顶点坐标或最值或对称轴。 C. 交点式：y = a(.x- Xllx-x2)，其中“、兀2是二次函数与X轴的两个交点的横坐标。若已 知对称轴和在X轴上的截距，也可用此式。 3、反比例函数 A.反比例函数的定义： k的 符号 k0k0o图象过一、三象限o 在每 象限内，y的值随x值的增大而减小； ? ? XZZ丘v 0 o图象过二、四象限 在每一象限内，尹的值随X值的增大而增大。 顺口溜：反比性质很特殊，一三k正二四负 ; 一增一减k为正，同增同减k是负。 C. 反比例
7、函数是既是轴对称图形, 又是中心对称图形。对称中心是原点。 D. k的几何意义 设P(x, y)是反比例函数y =-图象上任一点，过点P作x轴、y轴的垂线，垂足为A , AgOPA 的面积 =丄0444 =-xy = -k. 2 2 2 B. 矩形OAPB的面积二OADPA = |xy| =陶。 这就是系数k的几何意义 . 并且无论P怎样移 动,2PA 的面积和矩形OAPB的面积都保持不变。 矩形PCEF面积二4関, 平行四边形PDEA面积二2因 说明：k决定双曲线的位置Ak0o图象在一、三象限内.B.kvOo图象在二四象限内 . 第二部分统计与概率 主要内容是学习现实生活中的数据和客观世界中
8、的随机现象，它通过对数据的收集、整理、描述 和分析以及对事件发生的可能性的刻画, 来帮助人们做出合理的推断和预测，以下分别从各个知识点加 以整理概述 . 统计初步 ( ) 总体和样本 1、总体和个体：在统计中，我们把所要考察的对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做 个体. 2、样本和样本容量：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本，样本中个体的数目叫做样 本容量 . 样本容量没有单位。 3、数据收集与处理的有关概念 A. 普查: 为了一定的目的而对考察对象进行的全面调查称为普查； B. 从总体中抽取一部分个体进行调查称为抽样调查。 C. 利用抽样收集数据时应注意考虑以下三点： 被调查的
9、对象不得太少. 被调查的对象应有随机性. 被调查的数据应是真实的. （二）反映数据集中趋势的特征数 1、平均数 _ 1 A. x, # x2 , .的平均数：X = （X+忑+. ?+ ） n B. 加权平均数 : 如果n个数据中，X、岀现/ 次,x2岀现次 耳出现力次（这里 + 厶+?+Zt ，则 x f + + + xkfk A +Z C. 平均数的简化计算：当一组数据旺，兀2，暂中各数据的数值较大，并且都与常数G接 近时，设xx-a . x2-a , -a的平均数为x，贝x = x + ci. 2、中位数：将一组数据按从小到大的顺序排列，处在最中间位置上的数据叫做这组数据 的中位数，如果
10、数据的个数为偶数，中位数就是处在中间位置上两个数据的平均数. 3、众数：在一组数据中，岀现次数最多的数据叫做这组数据的众数，一组数据的众数可 能不止一个 . 4、极差：最大值减去最小值的差. ( 三)反映数据波动大小的特征数 1、 方差 A. Xj zx2 ,?的方差: 2 _（X _兀）2 +（兀2 _兀）2 +?+（ _ 以组距为纵坐标的直方图，叫做频率分布直方图. 图中每个小长方形的高等于该组的频率除以组距。 每个小长方形的面积等于该组的频率。 所有小长方形的面积之和等于各组频率之和等于1、 样本的频率分布反映样本中各数据的个数分另IJ占样本容量n的比例的大小，总体分布反映 总体中各组数
11、据的个数分别在总体中所占比例的大小, 一般是用样本的频率分布去估计总体的频率分 布. 2、研究频率分布的方法：得到一组数据的频率分布的方法, 通常是先整理数据，后画频率分布直 方图. 其步骤是： 计算最大值与最小值的差. 决定纟国巨与组数 . 决定分点 列频率分布表 . 绘频率分布直方图 . （五）各种统计图的特点 1、条形统计图：能清楚地表示出每个项目的具体数目. 2、折线统计图：能清楚地反映事物的变化情况. 3、扇形统计图：能清楚表示出各部分在总体中所占的百分比. 二概率 1、必然事件 : 对于一个事件，如果每一次都能发生或者百分之百发生的事件称为必然事 件. 不可能事件：对于一个事件，一
12、定不能发生的事件称为不可能事件. 2、等可能事件 : 一个事件只有两种结果，即一正一反, 并且他们的可能性相同则称为等 可能事件 . 等可能事件必须具备条件均等及随机性. 4、几种概率 A. 必然事件概率为1 ;记作P（必然事件）二1 B. 不可能事件概率为0 ”记作P（不可能事件）=0 C. 如果A为不确定事件，那么OF 2、切线的判定定理 : 经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线为圆的切线. 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径. 推论: 经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. 经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心。 3、A.三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆. B三角形内切
13、圆半径公式 在一般三角形中，心，在Rt中,r = a + b C a+b+c 2 （四）圆和圆的位置关系 1、圆和圆的位置关系 A.判定（d为圆心距，R和r为两圆的半径）： 两圆外离 o d 7? + r 两圆外切o d = Ri ? 两圆相交 o R-r Qd R-r B相切两圆的性质定理：如果两个圆相切，那么切点一定在连心线上. C相交两圆的性质定理: 相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦. （五）正多边形和圆 1、正多边形的概念 : 各边都相等且各角都相等的多边形是正多边形 2、多边形的有关计算 A.定理：正n边形的半径和边心距把正n边形分成2个全等的直角三角形。 3601 20 1 Q
14、A 0 陀. 公式: 中心角乞 =边长,=27?sin 边心距鬥=7?cos n n n 3、圆周长、弧长：c - 2R 扇形弧长：1 =曙 180 4、圆、扇形、弓形的面积: n/rr 2 1 扇形的面积公式：S扇形=阴=尹 弓形面积公式：S弓形=S扇形 s 1、 圆柱的母线长等于圆柱的高， 2、 圆柱的侧而展开图是一个矩形长等于底面圆周长，宽等于母线长。 3、S圆柱侧=2龙厂/ 4、S圆柱表=2S底+ S侧=2岔2 + 2 耐 1 = 2 兀心+ /） 垂线。 也可将图对折看，对称以后关系现。角平分线平行线, 等腰三角形来添。 线作法歌诀汇编 辅助线。找岀规律 分线，可向两边作 5、圆柱
15、3、 n 兀 I 180 初中几何常见辅助 添加 JL 彳可 5、S阴锥表 =S 底+ S侧=7T 广+ 7T” = 7TA* （厂+/ ） 凭经验。图中有角平 1、 圆锥的侧而展开图是一个扇形, 関锥的母线长等于扇形的半径，底 面圆的周长等于扇形的弧长。 2、r 2 +h2 =12 角平分线加垂线 , 三线合一试试看。线段垂直平分线, 常向两端把线连。 要证线段倍与半 , 延长缩短可试验。三 角形中有中线，延长中线等中线。梯形 里面作高线 , 平移一腰试试看。证相似， 比线段，添线平行成习惯。直接证明有 困难，等量代换少麻烦。半径与弦长计 算, 弦心距来中间站。切线长度的计算 , 勾股定理最
16、方便。是直径，成半圆，想 成直角径连弦。圆周角边两条弦，直径 和弦端点连。要想作个外接圆，各边作 出中垂线。 如果遇到相交圆，不要忘作 公共弦。 若是添上连心线，切点肯定在 上面。辅助线 , 是虚线 , 画图注意勿改 变。基本作图很关键， 平时掌握要熟练。 三角形中两中点，连接则成中位线。平 行四边形出现，对称中心等分点。平行 移动对角线 , 补成三角形常见。等积式 子比例换，寻找线段很关键。斜边上面 作高线，比例中项一大片。圆上若有一 切线，切点圆心半径连。要想证明是切 线, 半径垂线仔细辨。弧有中点圆心连， 垂径定理要记全。弦切角边切线弦，同 弧对角等找完。还要作个内接圆，内角 平分线梦圆
17、。内外相切的两圆，经过切 点公切线。 要作等角添个圆，证明题目 少困难。假如图形较分散 , 对称旋转去 实验。 解题还要多心眼，经常总结方法 显。 切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。分析综合方法选，困难再多也会减。 B. 5* 2 =_(# +%2 +. + X；) - 兀2 n 说明：当X, z x2 z.x”为较小的整数时 , 用该公式计算方差较简便. 5 , X2, X”方差为$2 ,设Q、b 为常数, 则x、b ,兀2 一：， ? 一：的方差为;axx-b , ax2-b , .axn -b 的方差为 / 说明x2 ,兀各数据较大且与常数Q较接近时，用该法计算方 差较简便 . 2、标准差：方差 ( ”) 的算术平方根叫做标准差. ( 四)频率分布 1、有关概念 A. 分组：将一组数按照统一的标准分成若干组，称为分组，当数据在100 个以内时，通常分成512组. B. 频数：每个小组内的数据的个数叫做该组的频数，各个小组的频数之和 等于数据总数 n. C濒率：每个小组的频数与数据总数n的比值叫做这一小组的频率，各小组 频率之和为 D. 频率分布表 : 将一组数据的分组及各组相应的频数、频率所列成的表格 叫做频率分布表 . E. 频率分布直方图：将频率分布直方表中的结果，. 以数据的各分点为横 坐标，以频率除