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1、压轴题高分策略之函数的模型与应用（解析版） 【考点剖析】 1.最新考试说明： （1）了解指数函数、对数函数以及幕函数的增长特征，知道直线上升、指数增长等不同函数的类 型增长的含义 . （2）了解函数模型（指数函数、对数函数、幕函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数 模型）的广泛应用 . 2.命题方向预测： （1）将实际问题会抽象成数学模型.（2 ）用函数思想解决数学问题.（3 ）熟练掌握几种常见 的函数模型（一次函数二次函数指数函数，对数函数, 幕函数，分段函数）.（4）考查解决函数应用 问题的能力，阅读能力、建立函数模型的能力，求解函数模型的能力. 【知识梳理】 1、使用函数模型解决实际
2、问题 （1）题目特点：叙述中体现两个变量之间的关系（涉及的量也许有多个，但均能够用两个核心变 量进行表示）。以其中一个为自变量，则另一个变量可视为自变量的函数，进而搭建出函数模型，再 根据导数 , 均值不等式等工具求出最值 （2 ）需用到的数学工具与知识点： 分段函数：当自变量的不同取值导致解析式不同时，可通过建立分段函数来体现两个变量之间的 关系，在题目中若有多种情况, 且不同的情况对应不同的计算方式，则通常要用分段函数进行表示。 导数：在求最值的过程中，若函数解析式不是常见的函数（二次函数，对勾函数等），则可利用 导数分析其单调性，进而求得最值 均值不等式：在部分解析式中（可构造和为定值或
3、积为定值）可通过均值不等式迅 速的找到最值。 分式函数的值域问题：可通过分离常数对分式进行变形, 并利用换元将其转化为熟悉的函数求解 (3 )常见的数量关系： 面积问题：可通过寻底找高进行求解，例如： 平行四边形面积二底X高 梯形面积飞X(上底+下底)X咼 三角形面积底X高 商业问题： 总价二单价X数量禾1润=营业额 - 成本二货物单价X数量 - 成本 利息问题 : 利息=本金X利率本息总和 =本金 +利息=本金X利率+本金 (4)在解决实际问题时要注意变量的取值范围应与实际情况相符，例如：涉及到个数时, 变量应取正整数。涉及到钱， 速度等问题 , 变量的取值应该为正数。 2、使用线性规划模型
4、解决实际问题 (1)题目特点：叙述中也有两个核心变量，但条件多为涉及两核心变量的不等关系，且所求是关于两个核心变量的表 达式，这类问题通常使用线性规划模型来解决问题 (2 )与函数模型的不同之处 函数模型：体现两核心变量之间的等量关系，根据一个变量的范围求另一个变量的范围( 或最值 ) 线性规划模型：体现关于两变量的不等关系，从而可列出不等式组，要解决的是含两个变量的表达式的最值。 (3)解题步骤：根据题目叙述确定未知变量( 通常选择两个核心变量，其余变量用这 两个进行表示） , 并列出约束条件和目标函数，然后利用数形结合的方式进行解决 （4）注意事项：在实际问题中，变量的取值有可能为整数，若
5、最优解不是整数，则可在最优解附近寻找几对整点， 代入到目标函数中并比较大小 【典例1【2016髙考四川文科】某公司为激励创新，计划逐年加大研发奖金投入若该公司2015年全年投入研发 资金130万元，在此基础上 , 每年投入的研发资金比上一 年增长12% z则该公司全年投入的硏发资金开始超过200万元的年份是（） （参考数据 :lgl.l2=0.05 , lgl.3=0.11, lg2=0.30） （A）2018 年（B） 2019 年（C）2020 年（D）2021 年 【答案】B 【解析】 设从2015年后第垃年该公司全年投入的研发资金幵始超过 【考点走位】1?増长率问题：2?常用对数的应用
6、. 【思路点拨】本题考查等比数列的实际应用. 在实际问题中平均増长率问题可以看作是等比数列的应用，解题时要注 意把哪个作为数列的首项，然后根据等比数列的通项公式写出通项，列出不等式或方程就可解得结论 . 【典例2【2015高考四川，文8某食品的保鲜时间 错误! 未找到引用源。 （单位：小 时）与储藏温度 错误! 未找 到引用源。 （单位： C）满足函数关系 错误! 未找到引用源。（错误! 未找到引用源。 为自然对数的底数，错误! 未找 到引用源。 为常数） ?若该食品在错误味 找到引用源。 C的保鲜时间是 错误! 未找到引用源 。小时，在 错误! 未找到引 用源。 C的 保鲜时间是 错误! 未
7、找到引用源。 小时，则该食品在 错误! 未找到引用源。 C的保鲜时间是（ ） （舛16小时（冈20小时（024小时（0）21小时 200万元，由已知得 130x(l + 12%r2008.-.l.ir 两 边 取 常 用 对 数 得 200 130 lg2-lgl.3 lgl-12 罟故选氏学科网 【答案】C 192=? 19?1 “s得丿1 山，于是当x=33时，尸严（严尸? =（ 32 , x 2 x2 DC ? AN 二DC AN _ 3x ND AN-AD ?”、 ?斗4冷卜二丄二依题蕙可得 : x-2 * 32 二 丫 一。 3工-32x + 64 A0(X0、| 解得：xe(2号)U( 单调递増，在 ; 单调递减 /(X)在X =岁取得最犬值、即X = 3.3